En matemáticas , un teorema del punto fijo es un resultado que dice que una función F tendrá al menos un punto fijo (un punto x para el cual F ( x ) = x ), bajo algunas condiciones en F que pueden expresarse en términos generales. [1]
El teorema del punto fijo de Banach (1922) proporciona un criterio general que garantiza que, si se cumple, el procedimiento de iteración de una función produce un punto fijo. [2]
Por el contrario, el teorema del punto fijo de Brouwer (1911) es un resultado no constructivo : dice que cualquier función continua desde la bola unitaria cerrada en el espacio euclidiano de n dimensiones hasta sí misma debe tener un punto fijo, [3] pero no No describe cómo encontrar el punto fijo (ver también el lema de Sperner ).
Por ejemplo, la función coseno es continua en [−1, 1] y la asigna a [−1, 1] y, por lo tanto, debe tener un punto fijo. Esto queda claro al examinar una gráfica esbozada de la función coseno; el punto fijo ocurre donde la curva coseno y = cos( x ) cruza la línea y = x . Numéricamente, el punto fijo (conocido como número de Dottie ) es aproximadamente x = 0,73908513321516 (por lo tanto, x = cos( x ) para este valor de x ).
El teorema del punto fijo de Lefschetz [4] (y el teorema del punto fijo de Nielsen ) [5] de la topología algebraica es notable porque proporciona, en cierto sentido, una forma de contar puntos fijos.
Hay una serie de generalizaciones al teorema del punto fijo de Banach y más; estos se aplican en la teoría PDE . Ver teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita .
El teorema del collage en compresión fractal demuestra que, para muchas imágenes, existe una descripción relativamente pequeña de una función que, cuando se aplica iterativamente a cualquier imagen inicial, converge rápidamente en la imagen deseada. [6]
El teorema de Knaster-Tarski establece que cualquier función que preserve el orden en una red completa tiene un punto fijo y, de hecho, un punto fijo más pequeño . [7] Véase también el teorema de Bourbaki-Witt .
El teorema tiene aplicaciones en interpretación abstracta , una forma de análisis de programas estáticos .
Un tema común en el cálculo lambda es encontrar puntos fijos de expresiones lambda dadas. Cada expresión lambda tiene un punto fijo, y un combinador de punto fijo es una "función" que toma como entrada una expresión lambda y produce como salida un punto fijo de esa expresión. [8] Un combinador de punto fijo importante es el combinador Y utilizado para dar definiciones recursivas .
En la semántica denotacional de los lenguajes de programación, se utiliza un caso especial del teorema de Knaster-Tarski para establecer la semántica de definiciones recursivas. Si bien el teorema del punto fijo se aplica a la "misma" función (desde un punto de vista lógico), el desarrollo de la teoría es bastante diferente.
La misma definición de función recursiva se puede dar, en teoría de computabilidad , aplicando el teorema de recursividad de Kleene . [9] Estos resultados no son teoremas equivalentes; El teorema de Knaster-Tarski es un resultado mucho más sólido que el que se utiliza en la semántica denotacional. [10] Sin embargo, a la luz de la tesis de Church-Turing, su significado intuitivo es el mismo: una función recursiva puede describirse como el punto menos fijo de una determinada función funcional, asignando funciones a funciones.
La técnica anterior de iterar una función para encontrar un punto fijo también se puede utilizar en teoría de conjuntos ; El lema de punto fijo para funciones normales establece que cualquier función continua estrictamente creciente de ordinales a ordinales tiene un (y de hecho muchos) puntos fijos.
Cada operador de cierre en un poset tiene muchos puntos fijos; estos son los "elementos cerrados" con respecto al operador de cierre, y son la razón principal por la que se definió el operador de cierre en primer lugar.
Toda involución en un conjunto finito con un número impar de elementos tiene un punto fijo; De manera más general, para cada involución en un conjunto finito de elementos, el número de elementos y el número de puntos fijos tienen la misma paridad . Don Zagier utilizó estas observaciones para demostrar en una frase el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , describiendo dos involuciones en el mismo conjunto de tripletas de números enteros, de las cuales se puede demostrar fácilmente que una de ellas tiene un solo punto fijo y la otra del cual tiene un punto fijo para cada representación de un primo dado (congruente con 1 mod 4) como suma de dos cuadrados. Como la primera involución tiene un número impar de puntos fijos, la segunda también lo tiene, y por tanto siempre existe una representación de la forma deseada. [11]