La teoría de Nielsen es una rama de la investigación matemática que tiene su origen en la teoría topológica del punto fijo . Sus ideas centrales fueron desarrolladas por el matemático danés Jakob Nielsen y llevan su nombre.
La teoría desarrollada en el estudio del llamado número mínimo de una función f de un espacio compacto a sí mismo, denotada MF [ f ]. Esta se define como:
donde ~ indica homotopía de aplicaciones y #Fix( g ) indica el número de puntos fijos de g . El número mínimo era muy difícil de calcular en la época de Nielsen y sigue siéndolo hoy en día. El enfoque de Nielsen consiste en agrupar el conjunto de puntos fijos en clases, que se juzgan "esenciales" o "no esenciales" según si se pueden "eliminar" o no mediante una homotopía.
La formulación original de Nielsen es equivalente a la siguiente: Definimos una relación de equivalencia en el conjunto de puntos fijos de una autoaplicación f en un espacio X . Decimos que x es equivalente a y si y solo si existe un camino c de x a y con f ( c ) homotópico a c como caminos. Las clases de equivalencia con respecto a esta relación se denominan clases de Nielsen de f , y el número de Nielsen N ( f ) se define como el número de clases de Nielsen que tienen una suma de índice de punto fijo distinta de cero .
Nielsen demostró que
haciendo de su invariante una buena herramienta para estimar el mucho más difícil MF [ f ]. Esto conduce inmediatamente a lo que ahora se conoce como el teorema de punto fijo de Nielsen: cualquier mapa f tiene al menos N(f) puntos fijos.
Debido a su definición en términos del índice de punto fijo , el número de Nielsen está estrechamente relacionado con el número de Lefschetz . De hecho, poco después del trabajo inicial de Nielsen , Wecken y Reidemeister combinaron los dos invariantes en un único "número de Lefschetz generalizado" (más recientemente llamado traza de Reidemeister) .
![{\displaystyle {\mathit {MF}}[f]=\min\{\#\mathrm {Fix} (g)\,|\,g\sim f\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/752b4f858271a6ab93fedb9fe885fb7b9b1a821e)
![{\displaystyle N(f)\leq {\mathit {MF}}[f],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbe6d2c6654efdcf07f947aab854860bd78756c)