En matemáticas , el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott , demostrado por Michael Atiyah y Raoul Bott en la década de 1960, es una forma general del teorema del punto fijo de Lefschetz para variedades suaves M , que utiliza un complejo elíptico en M. Este es un sistema de operadores diferenciales elípticos en haces de vectores , que generaliza el complejo de Rham construido a partir de formas diferenciales suaves que aparece en el teorema del punto fijo original de Lefschetz.
La idea es encontrar el reemplazo correcto para el número de Lefschetz , que en el resultado clásico es un número entero que cuenta la contribución correcta de un punto fijo de un mapeo suave.
Intuitivamente, los puntos fijos son los puntos de intersección de la gráfica de f con la diagonal (gráfica del mapeo de identidad) en , y el número de Lefschetz se convierte así en un número de intersección . El teorema de Atiyah-Bott es una ecuación en la que el LHS debe ser el resultado de un cálculo topológico (homológico) global y el RHS una suma de las contribuciones locales en puntos fijos de f .
Contando codimensiones en , un supuesto de transversalidad para la gráfica de f y la diagonal debería garantizar que el conjunto de puntos fijos sea de dimensión cero. Suponiendo que M es una variedad cerrada, debería garantizar que el conjunto de intersecciones sea finito, lo que produciría una suma finita como el RHS de la fórmula esperada. Se necesitan más datos relacionados con el complejo elíptico de haces de vectores , es decir, un mapa de haces
para cada j , de modo que los mapas resultantes en secciones dan lugar a un endomorfismo de un complejo elíptico . Tal endomorfismo tiene número de Lefschetz.
que por definición es la suma alterna de sus trazas en cada parte graduada de la homología del complejo elíptico.
La forma del teorema es entonces
Aquí traza significa la traza de en un punto fijo x de f , y es el determinante del endomorfismo en x , con la derivada de f (la no desaparición de esta es una consecuencia de la transversalidad). La suma exterior está sobre los puntos fijos x y la suma interior sobre el índice j en el complejo elíptico.
Al especializar el teorema de Atiyah-Bott en el complejo de Rham de formas diferenciales suaves se obtiene la fórmula de punto fijo original de Lefschetz. Una aplicación famosa del teorema de Atiyah-Bott es una prueba sencilla de la fórmula del carácter de Weyl en la teoría de los grupos de Lie . [ se necesita aclaración ]
La historia temprana de este resultado está entrelazada con la del teorema del índice Atiyah-Singer . Hubo otras aportaciones, como lo sugiere el nombre alternativo teorema del punto fijo de Woods Hole que se utilizó en el pasado (refiriéndose propiamente al caso de puntos fijos aislados). [1] Una reunión de 1964 en Woods Hole reunió a un grupo variado:
Eichler inició la interacción entre teoremas de punto fijo y formas automórficas . Shimura jugó un papel importante en este desarrollo al explicárselo a Bott en la conferencia de Woods Hole en 1964. [2]
Como lo expresa Atiyah: [3]
[en la conferencia]...Bott y yo nos enteramos de una conjetura de Shimura sobre una generalización de la fórmula de Lefschetz para mapas holomórficos. Después de mucho esfuerzo nos convencimos de que debería haber una fórmula general de este tipo [...]; .
y fueron conducidos a una versión para complejos elípticos.
Según recuerda William Fulton , que también estuvo presente en la conferencia, el primero en presentar una prueba fue Jean-Louis Verdier .
En el contexto de la geometría algebraica , la afirmación se aplica a variedades suaves y propias en un campo algebraicamente cerrado. Esta variante de la fórmula de punto fijo de Atiyah-Bott fue probada por Kondyrev y Prikhodko (2018) expresando ambos lados de la fórmula como rastros categóricos elegidos apropiadamente .
