Lema de punto fijo para funciones normales

Resultado matemático en ordinales

El lema del punto fijo para funciones normales es un resultado básico de la teoría de conjuntos axiomática que establece que cualquier función normal tiene puntos fijos arbitrariamente grandes (Levy 1979: p. 117). Oswald Veblen lo demostró por primera vez en 1908.

Antecedentes y declaración formal

Una función normal es una función de clase de la clase Ord de números ordinales hacia sí misma tal que: ${\displaystyle f}$

• ${\displaystyle f}$es estrictamente creciente : siempre que . ${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$ ${\displaystyle \alpha <\beta }$
• ${\displaystyle f}$es continuo : para cada límite ordinal (es decir, no es ni cero ni sucesor), . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}}$

Se puede demostrar que si es normal entonces conmuta con suprema ; para cualquier conjunto de ordinales no vacíos, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}$.

De hecho, si es un ordinal sucesor entonces es un elemento de y la igualdad se sigue de la propiedad creciente de . Si es un ordinal límite entonces la igualdad se deriva de la propiedad continua de . ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sup A}$ ${\displaystyle f}$

Un punto fijo de una función normal es un ordinal tal que . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

El lema del punto fijo establece que la clase de puntos fijos de cualquier función normal no está vacía y, de hecho, es ilimitada: dado cualquier ordinal , existe un ordinal tal que y . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$

La continuidad de la función normal implica que la clase de puntos fijos es cerrada (el supremo de cualquier subconjunto de la clase de puntos fijos es nuevamente un punto fijo). Por tanto, el lema del punto fijo es equivalente a la afirmación de que los puntos fijos de una función normal forman una clase cerrada e ilimitada .

Prueba

El primer paso de la prueba es verificar que para todos los ordinales y que conmuta con suprema. Dados estos resultados, defina inductivamente una secuencia creciente estableciendo , y para . Vamos , entonces . Además, debido a que conmuta con suprema, ${\displaystyle f(\gamma )\geq \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n<\omega }}$ ${\displaystyle \alpha _{0}=\alpha }$ ${\displaystyle \alpha _{n+1}=f(\alpha _{n})}$ ${\displaystyle n\in \omega }$ ${\displaystyle \beta =\sup _{n<\omega }\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\beta )=f(\sup _{n<\omega }\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }f(\alpha _{n})}$

${\displaystyle \qquad =\sup _{n<\omega }\alpha _{n+1}}$

${\displaystyle \qquad =\beta }$

La última igualdad se deriva del hecho de que la secuencia aumenta. ${\displaystyle \langle \alpha _{n}\rangle _{n}}$ ${\displaystyle \square }$

Además, se puede demostrar que lo encontrado de esta manera es el punto fijo más pequeño mayor o igual a . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Aplicación de ejemplo

La función f  : Ord → Ord, f ( α ) = ω _α es normal (ver ordinal inicial ). Por tanto, existe un ordinal θ tal que θ = ω _θ . De hecho, el lema muestra que existe una clase cerrada e ilimitada de tal θ .

Referencias

• Levy, A. (1979). Teoría de conjuntos básica . Saltador. ISBN 978-0-387-08417-6. Republicado, Dover, 2002.
• Veblen, O. (1908). "Funciones crecientes continuas de ordinales finitos y transfinitos". Trans. América. Matemáticas. Soc . 9 (3): 280–292. doi : 10.2307/1988605 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1988605. Disponible a través de JSTOR.