Juego de palos

Concepto de teoría de conjuntos

En matemáticas , particularmente en lógica matemática y teoría de conjuntos , un conjunto club es un subconjunto de un ordinal límite que está cerrado según la topología de orden y es ilimitado (ver más abajo) en relación con el ordinal límite. El nombre club es una contracción de "cerrado e ilimitado".

Definición formal

Formalmente, si es un ordinal límite, entonces un conjunto es cerrado en si y solo si para cada si entonces. Por lo tanto, si el límite de alguna secuencia de es menor que entonces el límite también está en ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0,}$ ${\displaystyle \alpha \in C.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle C.}$

Si es un ordinal límite y luego es ilimitado en si para cualquier hay alguno tal que ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C\subseteq \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa ,}$ ${\displaystyle \beta \in C}$ ${\displaystyle \alpha <\beta .}$

Si un conjunto es cerrado y no acotado, entonces es un conjunto club . Las clases propias cerradas también son de interés (toda clase propia de ordinales es no acotada en la clase de todos los ordinales).

Por ejemplo, el conjunto de todos los ordinales límite contables es un conjunto club con respecto al primer ordinal incontable ; pero no es un conjunto club con respecto a ningún ordinal límite superior, ya que no es cerrado ni ilimitado. Si es un ordinal inicial incontable , entonces el conjunto de todos los ordinales límite es cerrado ilimitado en De hecho, un conjunto club no es otra cosa que el rango de una función normal (es decir, creciente y continua). ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle \kappa .}$

De manera más general, si es un conjunto no vacío y es un cardinal , entonces (el conjunto de subconjuntos de de cardinalidad ) es club si cada unión de un subconjunto de está en y cada subconjunto de de cardinalidad menor que está contenido en algún elemento de (ver conjunto estacionario ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle C}$

El filtro cerrado sin límites

Sea un ordinal límite de cofinalidad incontable Para algún , sea una secuencia de subconjuntos cerrados no acotados de Entonces también es cerrada no acotada. Para ver esto, uno puede notar que una intersección de conjuntos cerrados siempre es cerrada, así que solo necesitamos mostrar que esta intersección no es acotada. Así que fija cualquier y para cada n < ω elige de cada un elemento que sea posible porque cada uno no es acotado. Como esta es una colección de ordinales menores que, todos menores que su límite superior mínimo también deben ser menores que así que podemos llamarlo Este proceso genera una secuencia contable El límite de esta secuencia debe de hecho ser también el límite de la secuencia y como cada uno es cerrado y no es contable, este límite debe estar en cada uno y por lo tanto este límite es un elemento de la intersección que está por encima , lo que muestra que la intersección no es acotada. QED. ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \lambda \,.}$ ${\displaystyle \alpha <\lambda \,}$ ${\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle \,}$ ${\displaystyle \kappa \,.}$ ${\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{0}<\kappa \,,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}\,,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \beta _{n+1}\,.}$ ${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\ldots \,.}$ ${\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\ldots \,,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,}$ ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle C_{\xi }\,,}$ ${\displaystyle \beta _{0}\,,}$

De esto se desprende que si es un cardinal regular , entonces es un filtro propio no principal -completo en el conjunto (es decir, en el poset ). ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq \kappa :\exists C\subseteq S{\text{ such that }}C{\text{ is closed unbounded in }}\kappa \}}$ ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (\wp (\kappa ),\subseteq )}$

Si es un cardinal regular entonces los conjuntos de tréboles también están cerrados bajo intersección diagonal . ${\displaystyle \kappa \,}$

De hecho, si es regular y es cualquier filtro cerrado bajo intersección diagonal, que contiene todos los conjuntos de la forma para entonces debe incluir todos los conjuntos de clubes. ${\displaystyle \kappa \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$ ${\displaystyle \kappa \,,}$ ${\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}\,}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa \,,}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\,}$

Véase también

• Clubsuit  – en teoría de conjuntos, principio combinatorio según el cual, para cada 𝑆⊂ω₁ estacionario, existe una secuencia de conjuntos 𝐴_𝛿 (𝛿∈𝑆) tal que 𝐴_𝛿 es un subconjunto cofinal de 𝛿 y cada subconjunto ilimitado de ω₁ está contenido en algún 𝐴_𝛿Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Filtro (matemáticas)  – En matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado.
• Filtros en topología  – Uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Conjunto estacionario  – Concepto de teoría de conjuntos

Referencias

• Jech, Thomas , 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Lévy, Azriel (1979) Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag. Reimpreso en 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5 
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