Teorema del punto fijo de Earle-Hamilton

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Earle-Hamilton es un resultado de la teoría de funciones geométricas que proporciona condiciones suficientes para que un mapeo holomórfico de un dominio abierto en un espacio de Banach complejo en sí mismo tenga un punto fijo. El resultado fue demostrado en 1968 por Clifford Earle y Richard S. Hamilton al mostrar que, con respecto a la métrica de Carathéodory en el dominio, el mapeo holomórfico se convierte en un mapeo de contracción al que se puede aplicar el teorema del punto fijo de Banach .

Declaración

Sea D un subconjunto abierto conexo de un espacio de Banach complejo X y sea f un mapeo holomórfico de D en sí mismo tal que:

• la imagen f ( D ) está acotada en norma;
• la distancia entre los puntos f ( D ) y los puntos en el exterior de D está limitada por debajo por una constante positiva.

Entonces el mapeo f tiene un punto fijo único x en D y si y es cualquier punto en D , las iteraciones f ⁿ ( y ) convergen a x .

Prueba

Reemplazando D por una ε-vecindad de f ( D ), se puede suponer que D está acotado en norma.

Para z en D y v en X , establezca

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)=\sup _{g}|g^{\prime }(z)v|,}}$

donde el supremo asume todas las funciones holomorfas g en D con | g ( z )| < 1.

Defina la longitud α de una curva diferenciable por partes γ:[0,1] D ​​por ${\displaystyle \rightarrow }$

${\displaystyle \displaystyle {\ell (\gamma )=\int _{0}^{1}\alpha (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}}$

La métrica de Carathéodory se define por

${\displaystyle \displaystyle {d(x,y)=\inf _{\gamma (0)=x,\gamma (1)=y}\ell (\gamma )}}$

para x e y en D . Es una función continua en D x D para la topología normal.

Si el diámetro de D es menor que R entonces, tomando funciones holomorfas adecuadas g de la forma

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=a(z)+b}}$

con a en X * y b en C , se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (z,v)\geq \|v\|/R,}}$

y de ahí que

${\displaystyle \displaystyle {d(x,y)\geq \|x-y\|/R.}}$

En particular, d define una métrica en D .

La regla de la cadena

${\displaystyle \displaystyle {(g\circ f)^{\prime }(z)=g^{\prime }(f(z))f^{\prime }(z)}}$

implica que

${\displaystyle \displaystyle {\alpha (f(z),f^{\prime }(z)v)\leq \alpha (z,v)}}$

y por tanto f satisface la siguiente generalización de la desigualdad de Schwarz-Pick :

${\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq d(x,y).}}$

Para δ suficientemente pequeño y y fijo en D , se puede aplicar la misma desigualdad al mapeo holomorfo

${\displaystyle \displaystyle {f_{\delta ,y}(z)=f(z)+\delta (f(z)-f(y))}}$

y produce la estimación mejorada:

${\displaystyle \displaystyle {d(f(x),f(y))\leq (1+\delta )^{-1}d(x,y).}}$

El teorema del punto fijo de Banach se puede aplicar a la restricción de f al cierre de f ( D ) en el que d define una métrica completa, definiendo la misma topología que la norma.

Otros teoremas holomórficos del punto fijo

En dimensiones finitas, la existencia de un punto fijo a menudo se puede deducir del teorema del punto fijo de Brouwer sin recurrir a la holomorfidad del mapeo. En el caso de dominios simétricos acotados con la métrica de Bergman , Neretin (1996) y Clerc (1998) demostraron que se aplica el mismo esquema de prueba que el utilizado en el teorema de Earle-Hamilton. El dominio simétrico acotado D = G / K es un espacio métrico completo para la métrica de Bergman. El semigrupo abierto de la complejización G _c que toma la clausura de D en D actúa mediante asignaciones de contracción , por lo que nuevamente se puede aplicar el teorema del punto fijo de Banach. Neretin extendió este argumento por continuidad a algunos dominios simétricos acotados de dimensión infinita, en particular el disco generalizado de Siegel de operadores simétricos de Hilbert-Schmidt con norma de operador menor que 1. El teorema de Earle-Hamilton se aplica igualmente bien en este caso.

Referencias

• Earle, Clifford J.; Hamilton, Richard S. (1970), Un teorema del punto fijo para asignaciones holomorfas , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. XVI, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, págs. 61–65
• Harris, Lawrence A. (2003), "Puntos fijos de asignaciones holomorfas para dominios en espacios de Banach", Abstr. Aplica. Anal. , 2003 (5): 261–274, CiteSeerX  10.1.1.419.2323 , doi : 10.1155/S1085337503205042
• Neretin, YA (1996), Categorías de simetrías y grupos de dimensiones infinitas , Monografías de la London Mathematical Society, vol. 16, prensa de la Universidad de Oxford, ISBN 0-19-851186-8
• Clerc, Jean-Louis (1998), "Compresiones y contracciones de espacios simétricos hermitianos", Math. Z. , 229 : 1–8, doi : 10.1007/pl00004648, S2CID  122333415