La teoría de funciones geométricas es el estudio de las propiedades geométricas de funciones analíticas . Un resultado fundamental de la teoría es el teorema de mapeo de Riemann .
Los siguientes son algunos de los temas más importantes de la teoría de funciones geométricas: [1] [2]
Un mapa conforme es una función que preserva los ángulos localmente. En el caso más común la función tiene dominio y rango en el plano complejo .
Más formalmente, un mapa,
se llama conformal (o preservador de ángulos ) en un punto si preserva los ángulos orientados entre curvas con respecto a su orientación (es decir, no solo la magnitud del ángulo). Los mapas conformes preservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitamente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .
En análisis matemático complejo , un mapeo cuasiconformal , introducido por Grötzsch (1928) y nombrado por Ahlfors (1935), es un homeomorfismo entre dominios planos que, de primer orden, lleva pequeños círculos a pequeñas elipses de excentricidad acotada .
Intuitivamente, sea f : D → D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconforme si la derivada de f en cada punto asigna círculos a elipses con excentricidad limitada por K.
Si K es 0, entonces la función es conforme .
La continuación analítica es una técnica para ampliar el dominio de una función analítica determinada . La continuación analítica a menudo logra definir más valores de una función, por ejemplo en una nueva región donde una representación de serie infinita en términos de la cual se definió inicialmente se vuelve divergente.
Sin embargo, la técnica de continuación gradual puede tropezar con dificultades. Estos pueden tener una naturaleza esencialmente topológica, dando lugar a inconsistencias (definiendo más de un valor). Alternativamente, pueden tener que ver con la presencia de singularidades matemáticas . El caso de varias variables complejas es bastante diferente, ya que las singularidades no pueden ser puntos aislados, y su investigación fue una de las principales razones para el desarrollo de la cohomología de la gavilla .
Los temas en esta área incluyen superficies de Riemann para funciones algebraicas y ceros para funciones algebraicas.
Una superficie de Riemann , estudiada por primera vez por Bernhard Riemann y que lleva su nombre, es una variedad compleja unidimensional . Las superficies de Riemann pueden considerarse como versiones deformadas del plano complejo : localmente cerca de cada punto parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toroide o varias láminas pegadas entre sí.
El punto principal de las superficies de Riemann es que se pueden definir funciones holomorfas entre ellas. Las superficies de Riemann se consideran hoy en día el escenario natural para estudiar el comportamiento global de estas funciones, especialmente funciones multivaluadas como la raíz cuadrada y otras funciones algebraicas , o el logaritmo .
Los temas de esta área incluyen "Principio de máximo; lema de Schwarz, principio de Lindelöf, análogos y generalizaciones". [3]
Una función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo se llama univalente si es inyectiva .
Se puede demostrar que si y son dos conjuntos abiertos conexos en el plano complejo, y
es una función univalente tal que (es decir, es sobreyectiva ), entonces la derivada de nunca es cero, es invertible y su inversa también es holomorfa. Más, uno tiene por la regla de la cadena.
Los términos alternativos de uso común son schlicht (en alemán significa simple, simple) y simple . Es un hecho notable, fundamental para la teoría de las funciones univalentes, que la univalencia se preserva esencialmente bajo la convergencia uniforme.
Sea un punto en una región simplemente conexa y que tenga al menos dos puntos límite. Entonces existe una función analítica única que se asigna biyectivamente al disco unitario abierto tal que y .
Aunque el teorema de mapeo de Riemann demuestra la existencia de una función de mapeo, en realidad no exhibe esta función. A continuación se ofrece un ejemplo.
En la figura anterior, considere y como dos regiones simplemente conectadas diferentes de . El teorema de mapeo de Riemann proporciona la existencia de mapeo en el disco unitario y existencia de mapeo en el disco unitario. Por lo tanto, hay un mapeo uno a uno de on . Si podemos demostrar que , y en consecuencia la composición, es analítica, entonces tenemos un mapeo conforme de on , demostrando que "cualesquiera dos regiones simplemente conectadas diferentes del plano completo pueden mapearse conformemente entre sí".
El lema de Schwarz , que lleva el nombre de Hermann Amandus Schwarz , es el resultado de un análisis complejo sobre funciones holomorfas del disco unitario abierto a sí mismo. El lema es menos famoso que teoremas más fuertes, como el teorema de mapeo de Riemann , que ayuda a demostrar. Sin embargo, es uno de los resultados más simples que captura la rigidez de las funciones holomorfas.
Lema Negra. Sea D = { z : | z | < 1} sea el disco unitario abierto en el plano complejo C centrado en el origen y sea f : D → D un mapa holomorfo tal que f (0) = 0.
Entonces, | f ( z )| ≤ | z | para todo z en D y | f′ (0)| ≤1.
Además, si | f ( z )| = | z | para algunos z distintos de cero o si | f′ (0)| = 1, entonces f ( z ) = az para alguna a en C con | un | (necesariamente) igual a 1.
El principio de máxima es una propiedad de las soluciones de determinadas ecuaciones diferenciales parciales , de tipo elíptica y parabólica . En términos generales, dice que el máximo de una función en un dominio se encuentra en el límite de ese dominio. Específicamente, el principio del máximo fuerte dice que si una función alcanza su máximo en el interior del dominio, la función es uniformemente constante. El principio del máximo débil dice que el máximo de la función se encuentra en la frontera, pero también puede volver a ocurrir en el interior. Existen otros principios máximos aún más débiles que simplemente limitan una función en términos de su máximo en la frontera.
La fórmula de Riemann-Hurwitz , que lleva el nombre de Bernhard Riemann y Adolf Hurwitz , describe la relación de las características de Euler de dos superficies cuando una es una cobertura ramificada de la otra. Por tanto, conecta la ramificación con la topología algebraica , en este caso. Es un resultado prototipo para muchos otros, y se aplica a menudo en la teoría de superficies de Riemann (que es su origen) y curvas algebraicas .
Para una superficie orientable S, la característica de Euler χ( S ) es
donde g es el género (el número de asas ), ya que los números de Betti son 1, 2 g , 1, 0, 0,.... En el caso de un mapa de cobertura de superficies ( no ramificado )
que es sobreyectiva y de grado N , deberíamos tener la fórmula
Esto se debe a que cada símplex de S debe estar cubierto exactamente por N en S ′, al menos si utilizamos una triangulación suficientemente fina de S , como tenemos derecho a hacerlo dado que la característica de Euler es una invariante topológica . Lo que hace la fórmula de Riemann-Hurwitz es agregar una corrección para permitir la ramificación ( hojas que se juntan ).
Ahora supongamos que S y S′ son superficies de Riemann y que el mapa π es analítico complejo . Se dice que el mapa π está ramificado en un punto P en S ′ si existen coordenadas analíticas cerca de P y π( P ) tales que π toma la forma π( z ) = z n y n > 1. Una forma equivalente de Pensar en esto es que existe una pequeña vecindad U de P tal que π( P ) tiene exactamente una preimagen en U , pero la imagen de cualquier otro punto en U tiene exactamente n preimágenes en U. El número n se llama índice de ramificación en P y también se denota por e P . Al calcular la característica de Euler de S ′ notamos la pérdida de e P − 1 copias de P por encima de π( P ) (es decir, en la imagen inversa de π( P )). Ahora elijamos triangulaciones de S y S′ con vértices en los puntos de rama y ramificación, respectivamente, y utilícelas para calcular las características de Euler. Entonces S′ tendrá el mismo número de d -caras dimensionales para d diferente de cero, pero menos vértices de los esperados. Por tanto, nos encontramos con una fórmula "corregida".
(Todos menos un número finito de P tienen e P = 1, por lo que esto es bastante seguro). Esta fórmula se conoce como fórmula de Riemann-Hurwitz y también como teorema de Hurwitz .
