Lema de Schwarz

Enunciado en análisis complejo

En matemáticas , el lema de Schwarz , llamado así por Hermann Amandus Schwarz , es un resultado de un análisis complejo sobre funciones holomorfas desde el disco unitario abierto hasta sí mismo. El lema es menos conocido que otros teoremas más profundos, como el teorema de aplicación de Riemann , que ayuda a demostrar. Sin embargo, es uno de los resultados más simples que capturan la rigidez de las funciones holomorfas.

Declaración

Sea el disco unitario abierto en el plano complejo centrado en el origen , y sea una función holomorfa tal que y en . ${\displaystyle \mathbf {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:\mathbf {D} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$

Entonces para todos , y . ${\displaystyle |f(z)|\leq |z|}$ ${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$ ${\displaystyle |f'(0)|\leq 1}$

Además, si para algún distinto de cero o , entonces para algún con . ^[1] ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ ${\displaystyle f(z)=az}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle |a|=1}$

Prueba

La prueba es una aplicación sencilla del principio del módulo máximo en la función

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\,&{\mbox{if }}z\neq 0\\f'(0)&{\mbox{if }}z=0,\end{cases}}}$

que es holomorfa en todo , incluso en el origen (porque es diferenciable en el origen y fija cero). Ahora bien, si denota el disco cerrado de radio centrado en el origen, entonces el principio de módulo máximo implica que, para , dado cualquier , existe en el límite de tal que ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{r}=\{z:|z|\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r<1}$ ${\displaystyle z\in D_{r}}$ ${\displaystyle z_{r}}$ ${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle |g(z)|\leq |g(z_{r})|={\frac {|f(z_{r})|}{|z_{r}|}}\leq {\frac {1}{r}}.}$

A medida que vamos obteniendo . ${\displaystyle r\rightarrow 1}$ ${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$

Además, supongamos que para algún valor distinto de cero , o . Entonces, en algún punto de . Por lo tanto, según el principio del módulo máximo, es igual a una constante tal que . Por lo tanto, , como se desea. ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ ${\displaystyle |g(z)|=1}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |a|=1}$ ${\displaystyle f(z)=az}$

Teorema de Schwarz-Pick

Una variante del lema de Schwarz, conocida como teorema de Schwarz-Pick (en honor a Georg Pick ), caracteriza los automorfismos analíticos del disco unitario, es decir, las aplicaciones holomórficas biyectivas del disco unitario a sí mismo:

Sea holomorfo. Entonces, para todo , ${\displaystyle f:\mathbf {D} \to \mathbf {D} }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

y, para todos , ${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.}$

La expresión

${\displaystyle d(z_{1},z_{2})=\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|}$

es la distancia de los puntos , en la métrica de Poincaré , es decir, la métrica en el modelo del disco de Poincaré para geometría hiperbólica en dimensión dos. El teorema de Schwarz-Pick establece esencialmente que una función holomorfa del disco unitario en sí mismo disminuye la distancia de los puntos en la métrica de Poincaré. Si la igualdad se cumple en todas las desigualdades anteriores (lo que equivale a decir que la función holomorfa preserva la distancia en la métrica de Poincaré), entonces debe ser un automorfismo analítico del disco unitario, dado por una transformación de Möbius que asigna el disco unitario a sí mismo. ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle f}$

Una afirmación análoga sobre el semiplano superior se puede hacer de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Sea holomorfo. Entonces, para todo , ${\displaystyle f:\mathbf {H} \to \mathbf {H} }$ ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}.}$

Esta es una consecuencia fácil del teorema de Schwarz-Pick mencionado anteriormente: solo hay que recordar que la transformada de Cayley mapea el semiplano superior conformemente sobre el disco unitario . Entonces, la función es una función holomorfa de sobre . Usando el teorema de Schwarz-Pick en esta función, y finalmente simplificando los resultados usando la fórmula para , obtenemos el resultado deseado. Además, para todos , ${\displaystyle W(z)=(z-i)/(z+i)}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle W\circ f\circ W^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle z\in \mathbf {H} }$

${\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{{\text{Im}}(f(z))}}\leq {\frac {1}{{\text{Im}}(z)}}.}$

Si la igualdad se cumple tanto para una como para la otra expresión, entonces debe ser una transformación de Möbius con coeficientes reales. Es decir, si la igualdad se cumple, entonces ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

con y . ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle ad-bc>0}$

Prueba del teorema de Schwarz-Pick

La prueba del teorema de Schwarz-Pick se deriva del lema de Schwarz y del hecho de que una transformación de Möbius de la forma

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z_{0}}}z-1}},\qquad |z_{0}|<1,}$

mapea el círculo unitario a sí mismo. Corrige y define las transformaciones de Möbius ${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle M(z)={\frac {z_{1}-z}{1-{\overline {z_{1}}}z}},\qquad \varphi (z)={\frac {f(z_{1})-z}{1-{\overline {f(z_{1})}}z}}.}$

Como y la transformación de Möbius es invertible, la composición se asigna a y el disco unidad se asigna a sí mismo. Por lo tanto, podemos aplicar el lema de Schwarz, que es decir ${\displaystyle M(z_{1})=0}$ ${\displaystyle \varphi (f(M^{-1}(z)))}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left|\varphi \left(f(M^{-1}(z))\right)\right|=\left|{\frac {f(z_{1})-f(M^{-1}(z))}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(M^{-1}(z))}}\right|\leq |z|.}$

Ahora, al llamar (que aún estará en el disco de la unidad), se obtiene la conclusión deseada. ${\displaystyle z_{2}=M^{-1}(z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|.}$

Para demostrar la segunda parte del teorema, reorganizamos el lado izquierdo en el cociente de diferencias y dejamos que tienda a . ${\displaystyle z_{2}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

Generalizaciones adicionales y resultados relacionados

El teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick proporciona un teorema análogo para variedades hiperbólicas.

El teorema de De Branges , anteriormente conocido como la conjetura de Bieberbach, es una extensión importante del lema, que proporciona restricciones a las derivadas superiores de en el caso de que sea inyectiva , es decir, univalente . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

El teorema de Koebe 1/4 proporciona una estimación relacionada en el caso que sea univalente. ${\displaystyle f}$

Véase también

• Interpolación Nevanlinna-Pick

Referencias

1. Teorema 5.34 en Rodríguez, Jane P. Gilman, Irwin Kra, Rubi E. (2007). Análisis complejo: en el espíritu de Lipman Bers (ed. [en línea]). Nueva York: Springer. p. 95. ISBN 978-0-387-74714-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (véase la sección 2.3) 
• S. Dineen (1989). El lema de Schwarz . Oxford. ISBN 0-19-853571-6.

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