Teorema del punto fijo de Lawvere

Teorema en la teoría de categorías

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Lawvere es un resultado importante en la teoría de categorías . ^[1] Es una amplia generalización abstracta de muchos argumentos diagonales en matemáticas y lógica, como el argumento diagonal de Cantor , la paradoja de Russell , el primer teorema de incompletitud de Gödel y la solución de Turing al problema de Entscheidungs . ^[2]

Fue probado por primera vez por William Lawvere en 1969. ^{[3] [4]}

Declaración

El teorema de Lawvere establece que, para cualquier categoría cerrada cartesiana y dado un objeto en ella, si hay un morfismo sobreyectivo débilmente puntual de algún objeto al objeto exponencial , entonces todo endomorfismo tiene un punto fijo. Es decir, existe un morfismo (donde hay un objeto terminal en ) tal que . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B}$ ${\displaystyle b:1\rightarrow B}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle g\circ b=b}$

Aplicaciones

La contrapositiva del teorema es particularmente útil para demostrar muchos resultados. Afirma que si hay un objeto en la categoría tal que hay un endomorfismo que no tiene puntos fijos, entonces no hay ningún objeto con un mapa sobreyectivo de puntos débil . Algunos corolarios importantes de esto son: ^[2] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow B^{A}}$

• teorema de cantor
• El argumento diagonal de Cantor
• Lema diagonal
• La paradoja de Russell
• El primer teorema de incompletitud de Gödel
• Teorema de indefinibilidad de Tarski
• La prueba de Turing
• La paradoja de Löb
• Teorema del punto fijo de Roger
• teorema de arroz

Referencias

1. Soto-Andrade, Jorge; J. Varela, Francisco (1984). "Autorreferencia y puntos fijos: una discusión y una extensión del teorema de Lawvere". Acta Applicandae Mathematicae . 2 . doi :10.1007/BF01405490.
2. Yanofsky, Noson (septiembre de 2003). "Un enfoque universal de las paradojas autorreferenciales, la incompletitud y los puntos fijos". El Boletín de Lógica Simbólica . 9 (3): 362–386. arXiv : matemáticas/0305282 . doi : 10.2178/bsl/1058448677.
3. Lawvere, Francisco William (1969). "Argumentos diagonales y categorías cerradas cartesianas". Teoría de categorías, teoría de la homología y sus aplicaciones II (Apuntes de clase de matemáticas, vol 92). Berlín: Springer.
4. Lawvere, William (2006). "Argumentos diagonales y categorías cerradas cartesianas con comentario del autor". Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías (15): 1–13.