Morfismo puntual-sobreyectivo

En teoría de categorías , un morfismo punto-sobreyectivo es un morfismo que "se comporta" como sobreyecciones en la categoría de conjuntos . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

La noción de sobreyectividad puntual es importante en el teorema de punto fijo de Lawvere , ^{[1] [2]} y fue introducida por primera vez por William Lawvere en su artículo original. ^[3]

Definición

Punto-sobreyectividad

En una categoría con un objeto terminal , se dice que un morfismo es punto-sobreyectivo si para cada morfismo , existe un morfismo tal que . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle y:1\rightarrow Y}$ ${\displaystyle x:1\rightarrow X}$ ${\displaystyle f\circ x=y}$

Punto débil-sobreyectividad

Si es un objeto exponencial de la forma para algunos objetos en , se puede definir una noción más débil (pero técnicamente más engorrosa) de sobreyectividad puntual. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Se dice que un morfismo es débilmente puntual-sobreyectivo si para cada morfismo existe un morfismo tal que, para cada morfismo , tenemos ${\displaystyle f:X\rightarrow B^{A}}$ ${\displaystyle g:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle x:1\rightarrow X}$ ${\displaystyle a:1\rightarrow A}$

${\displaystyle \epsilon \circ \langle f\circ x,a\rangle =g\circ a}$

donde denota el producto de dos morfismos ( y ) y es el mapa de evaluación en la categoría de morfismos de . ${\displaystyle \langle -,-\rangle :A\rightarrow B\times C}$ ${\displaystyle A\rightarrow B}$ ${\displaystyle A\rightarrow C}$ ${\displaystyle \epsilon :B^{A}\times A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

De manera equivalente, ^[4] se podría pensar en el morfismo como la transposición de algún otro morfismo . Entonces el isomorfismo entre los conjuntos hom nos permite decir que es débilmente puntual-sobreyectivo si y solo si es débilmente puntual-sobreyectivo. ^[5] ${\displaystyle f:X\rightarrow B^{A}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:X\times A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (X\times A,B)\cong \mathrm {Hom} (X,B^{A})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

Relación con funciones sobreyectivas enColocar

Establecer elementos como morfismos a partir de objetos terminales

En la categoría de conjuntos, los morfismos son funciones y los objetos terminales son singletons . Por lo tanto, un morfismo es una función de un singleton al conjunto : dado que una función debe especificar un elemento único en el codominio para cada elemento del dominio, tenemos que es un elemento específico de . Por lo tanto, cada morfismo puede considerarse como un elemento específico de sí mismo. ${\displaystyle a:1\rightarrow A}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a(x)\in A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a:1\rightarrow A}$ ${\displaystyle A}$

Por esta razón, los morfismos pueden servir como una "generalización" de elementos de un conjunto, y a veces se denominan elementos globales . ${\displaystyle a:1\rightarrow A}$

Funciones sobreyectivas y punto-sobreyectividad

Con esa correspondencia, la definición de morfismos puntuales-sobreyectivos se asemeja mucho a la de funciones sobreyectivas . Se dice que una función (morfismo) es sobreyectiva (puntual-sobreyectiva) si, para cada elemento (para cada morfismo ), existe un elemento (existe un morfismo ) tal que ( ). ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y:1\rightarrow Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x:1\rightarrow X}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f\circ x=y}$

La noción de sobreyectividad de punto débil también se asemeja a esta correspondencia, si tan sólo se observa que el objeto exponencial en la categoría de conjuntos no es nada más que el conjunto de todas las funciones . ${\displaystyle B^{A}}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$

Referencias

1. Lawvere, Francis William (1969). "Argumentos diagonales y categorías cerradas cartesianas". Teoría de categorías, teoría de homología y sus aplicaciones II (Lecture Notes in Mathematics, vol. 92). Berlín: Springer.
2. Lawvere, William (2006). "Argumentos diagonales y categorías cartesianas cerradas con comentarios del autor". Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías (15): 1–13.
3. Abramsky, Samso (2015). "De Lawvere a Brandenburger–Keisler: formas interactivas de diagonalización y autorreferencia". Revista de Ciencias de la Computación y de Sistemas . 81 (5): 799–812. arXiv : 1006.0992 . doi :10.1016/j.jcss.2014.12.001.
4. Reinhart, Tobías; Stengle, Sebastián. "Teorema de Lawvere" (PDF) . Universidad de Innsbruck .
5. Frumin, Dan; Massas, Guillaume. "Argumentos diagonales y teorema de Lawvere" (PDF) . Consultado el 9 de febrero de 2024 .