En matemáticas , varios teoremas del punto fijo en espacios de dimensión infinita generalizan el teorema del punto fijo de Brouwer . Tienen aplicaciones, por ejemplo, a los teoremas de prueba de existencia para ecuaciones diferenciales parciales .
El primer resultado en el campo fue el teorema del punto fijo de Schauder , demostrado en 1930 por Juliusz Schauder (un resultado anterior en un sentido diferente, el teorema del punto fijo de Banach para mapeos de contracción en espacios métricos completos fue demostrado en 1922). Siguieron muchos otros resultados. Una forma en la que los teoremas de punto fijo de este tipo han tenido una mayor influencia en las matemáticas en su conjunto ha sido que un enfoque consiste en intentar trasladar métodos de topología algebraica , probados por primera vez para complejos simpliciales finitos , a espacios de dimensión infinita. Por ejemplo, la investigación de Jean Leray , quien fundó la teoría de la gavilla, surgió de los esfuerzos por ampliar el trabajo de Schauder.
Teorema del punto fijo de Schauder : Sea C unsubconjunto convexo cerrado no vacío de un espacio de Banach V. Si f : C → C es continua con una imagen compacta , entonces f tiene un punto fijo.
Teorema del punto fijo de Tikhonov (Tychonoff): Sea V un espacio vectorial topológico localmente convexo . Para cualquier conjunto convexo compacto no vacío X en V , cualquier función continua f : X → X tiene un punto fijo.
Teorema del punto fijo de Browder: Sea K un conjunto convexo acotado, cerrado y no vacío en un espacio de Banach uniformemente convexo . Entonces cualquier función no expansiva f : K → K tiene un punto fijo. (Una función se llama no expansiva si para cada uno y .)
Otros resultados incluyen el teorema del punto fijo de Markov-Kakutani (1936-1938) y el teorema del punto fijo de Ryll-Nardzewski (1967) para automapeos afines continuos de conjuntos convexos compactos, así como el teorema del punto fijo de Earle-Hamilton. (1968) para automapeos holomórficos de dominios abiertos.
Teorema del punto fijo de Kakutani : toda correspondencia que mapea un subconjunto convexo compacto de un espacio localmente convexo en sí mismo con un gráfico cerrado e imágenes convexas no vacías tiene un punto fijo.
