Teorema del punto fijo de Brouwer

Teorema en topología

El teorema del punto fijo de Brouwer es un teorema de punto fijo en topología , llamado así por LEJ (Bertus) Brouwer . Establece que para cualquier función continua que mapea un conjunto convexo compacto no vacío a sí mismo, hay un punto tal que . Las formas más simples del teorema de Brouwer son para funciones continuas desde un intervalo cerrado en los números reales a sí mismo o desde un disco cerrado a sí mismo. Una forma más general que la última es para funciones continuas desde un subconjunto compacto convexo no vacío del espacio euclidiano a sí mismo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K}$

Entre cientos de teoremas de punto fijo , ^[1] el de Brouwer es particularmente conocido, debido en parte a su uso en numerosos campos de las matemáticas. En su campo original, este resultado es uno de los teoremas clave que caracterizan la topología de los espacios euclidianos, junto con el teorema de la curva de Jordan , el teorema de la bola peluda , la invariancia de la dimensión y el teorema de Borsuk-Ulam . ^[2] Esto le da un lugar entre los teoremas fundamentales de la topología. ^[3] El teorema también se utiliza para demostrar resultados profundos sobre ecuaciones diferenciales y se cubre en la mayoría de los cursos introductorios sobre geometría diferencial . Aparece en campos improbables como la teoría de juegos . En economía, el teorema de punto fijo de Brouwer y su extensión, el teorema de punto fijo de Kakutani , juegan un papel central en la prueba de la existencia del equilibrio general en las economías de mercado, tal como lo desarrollaron en la década de 1950 los ganadores del premio Nobel de economía Kenneth Arrow y Gérard Debreu .

El teorema fue estudiado por primera vez en vista del trabajo sobre ecuaciones diferenciales de los matemáticos franceses Henri Poincaré y Charles Émile Picard . La demostración de resultados como el teorema de Poincaré-Bendixson requiere el uso de métodos topológicos. Este trabajo a finales del siglo XIX dio lugar a varias versiones sucesivas del teorema. El caso de las aplicaciones diferenciables de la esfera cerrada n -dimensional fue demostrado por primera vez en 1910 por Jacques Hadamard ^[4] y el caso general de las aplicaciones continuas por Brouwer en 1911. ^[5]

Declaración

El teorema tiene varias formulaciones, dependiendo del contexto en el que se utilice y de su grado de generalización. La más simple se da a veces de la siguiente manera:

En el avión

Toda función continua desde un disco cerrado hacia sí mismo tiene al menos un punto fijo. ^[6]

Esto puede generalizarse a una dimensión finita arbitraria:

En el espacio euclidiano

Toda función continua desde una bola cerrada de un espacio euclidiano hacia sí misma tiene un punto fijo. ^[7]

Una versión un poco más general es la siguiente: ^[8]

Conjunto compacto convexo

Toda función continua desde un subconjunto compacto convexo no vacío K de un espacio euclidiano hasta K mismo tiene un punto fijo. ^[9]

Una forma aún más general es más conocida con un nombre diferente:

Teorema del punto fijo de Schauder

Toda función continua desde un subconjunto compacto convexo no vacío K de un espacio de Banach hasta K mismo tiene un punto fijo. ^[10]

Importancia de las condiciones previas

El teorema se cumple únicamente para funciones que son endomorfismos (funciones que tienen el mismo conjunto que el dominio y el codominio) y para conjuntos no vacíos que son compactos (por lo tanto, en particular, acotados y cerrados) y convexos (u homeomorfos a convexos). Los siguientes ejemplos muestran por qué son importantes las condiciones previas.

La funciónFcomo un endomorfismo

Considere la función

${\displaystyle f(x)=x+1}$

con dominio [-1,1]. El rango de la función es [0,2]. Por lo tanto, f no es un endomorfismo.

Limitación

Considere la función

${\displaystyle f(x)=x+1,}$

que es una función continua de a sí misma. Como desplaza cada punto hacia la derecha, no puede tener un punto fijo. El espacio es convexo y cerrado, pero no acotado. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cerradura

Considere la función

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

que es una función continua desde el intervalo abierto (−1,1) hasta sí misma. Como x = 1 no forma parte del intervalo, no hay un punto fijo de f(x) = x. El espacio (−1,1) es convexo y acotado, pero no cerrado. Por otra parte, la función f sí tiene un punto fijo para el intervalo cerrado [−1,1], a saber, f (1) = 1.

Convexidad

La convexidad no es estrictamente necesaria para el teorema del punto fijo de Brouwer. Debido a que las propiedades involucradas (continuidad, ser un punto fijo) son invariantes bajo homeomorfismos , el teorema del punto fijo de Brouwer es equivalente a formas en las que se requiere que el dominio sea una bola unitaria cerrada . Por la misma razón, se cumple para todo conjunto que sea homeomorfo a una bola cerrada (y por lo tanto también cerrado , acotado, conexo , sin agujeros , etc.). ${\displaystyle D^{n}}$

El siguiente ejemplo muestra que el teorema del punto fijo de Brouwer no funciona para dominios con agujeros. Considere la función , que es una función continua desde el círculo unitario hasta sí mismo. Dado que -x≠x se cumple para cualquier punto del círculo unitario, f no tiene un punto fijo. El ejemplo análogo funciona para la esfera n -dimensional (o cualquier dominio simétrico que no contenga el origen). El círculo unitario es cerrado y acotado, pero tiene un agujero (y por lo tanto no es convexo). La función f sí tiene un punto fijo para el disco unitario, ya que toma el origen hasta sí mismo. ${\displaystyle f(x)=-x}$

Una generalización formal del teorema de punto fijo de Brouwer para dominios "sin agujeros" se puede derivar del teorema de punto fijo de Lefschetz . ^[11]

Notas

No se requiere que la función continua en este teorema sea biyectiva o sobreyectiva .

Ilustraciones

El teorema tiene varias ilustraciones del "mundo real". A continuación se ofrecen algunos ejemplos.

1. Tome dos hojas de papel cuadriculado del mismo tamaño con sistemas de coordenadas sobre ellas, coloque una plana sobre la mesa y arrugue (sin rasgar ni rasgar) la otra y colóquela, de cualquier manera, sobre la primera de modo que el papel arrugado no sobresalga de la plana. Habrá entonces al menos un punto de la hoja arrugada que se encuentra directamente sobre su punto correspondiente (es decir, el punto con las mismas coordenadas) de la hoja plana. Esto es una consecuencia del caso n = 2 del teorema de Brouwer aplicado a la función continua que asigna a las coordenadas de cada punto de la hoja arrugada las coordenadas del punto de la hoja plana inmediatamente debajo de él.
2. Tome un mapa común de un país y supongamos que ese mapa está colocado sobre una mesa dentro de ese país. Siempre habrá un punto "Usted está aquí" en el mapa que representa ese mismo punto en el país.
3. En tres dimensiones, una consecuencia del teorema del punto fijo de Brouwer es que, por mucho que revuelvas un delicioso cóctel en un vaso (o pienses en un batido de leche), cuando el líquido se haya detenido, algún punto del líquido acabará exactamente en el mismo lugar del vaso que antes de que hicieras cualquier acción, suponiendo que la posición final de cada punto es una función continua de su posición original, que el líquido después de agitarlo está contenido dentro del espacio que ocupaba originalmente y que el vaso (y la forma de la superficie agitada) mantienen un volumen convexo. Pedir un cóctel agitado, no agitado, anula la condición de convexidad (la "agitación" se define como una serie dinámica de estados de contención inercial no convexos en el espacio vacío debajo de una tapa). En ese caso, el teorema no se aplicaría y, por lo tanto, todos los puntos de la disposición del líquido están potencialmente desplazados del estado original. ^{[ cita requerida ]}

Enfoque intuitivo

Explicaciones atribuidas a Brouwer

Se supone que el teorema se originó a partir de la observación de Brouwer de una taza de café gourmet. ^[12] Si uno revuelve para disolver un terrón de azúcar, parece que siempre hay un punto sin movimiento. Llegó a la conclusión de que, en cualquier momento, hay un punto en la superficie que no se mueve. ^[13] El punto fijo no es necesariamente el punto que parece estar inmóvil, ya que el centro de la turbulencia se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, ya que el punto fijo original puede volverse móvil cuando aparece otro punto fijo.

Se dice que Brouwer añadió: "Puedo formular este espléndido resultado de otra manera: tomo una hoja horizontal y otra idéntica que arrugo, aplasto y coloco sobre la otra. Entonces un punto de la hoja arrugada está en el mismo lugar que en la otra hoja". ^[13] Brouwer "aplana" su hoja como si fuera una plancha, sin eliminar los pliegues y las arrugas. A diferencia del ejemplo de la taza de café, el ejemplo del papel arrugado también demuestra que puede existir más de un punto fijo. Esto distingue el resultado de Brouwer de otros teoremas de punto fijo, como el de Stefan Banach , que garantizan la unicidad.

Caso unidimensional

En una dimensión, el resultado es intuitivo y fácil de demostrar. La función continua f está definida en un intervalo cerrado [ a ,  b ] y toma valores en el mismo intervalo. Decir que esta función tiene un punto fijo equivale a decir que su gráfica (verde oscuro en la figura de la derecha) intersecta la de la función definida en el mismo intervalo [ a ,  b ] que aplica x a x (verde claro).

Intuitivamente, cualquier línea continua desde el borde izquierdo del cuadrado hasta el borde derecho debe necesariamente intersecar la diagonal verde. Para demostrarlo, considere la función g que asigna x a f ( x ) −  x . Es ≥ 0 en a y ≤ 0 en  b . Por el teorema del valor intermedio , g tiene un cero en [ a ,  b ]; este cero es un punto fijo.

Se dice que Brouwer expresó esto de la siguiente manera: "En lugar de examinar una superficie, probaremos el teorema sobre un trozo de cuerda. Empecemos con la cuerda en un estado desplegado, luego doblémosla nuevamente. Aplanemos la cuerda doblada nuevamente. Nuevamente un punto de la cuerda no ha cambiado su posición con respecto a su posición original en la cuerda desplegada". ^[13]

Historia

El teorema del punto fijo de Brouwer fue uno de los primeros logros de la topología algebraica y es la base de teoremas de punto fijo más generales que son importantes en el análisis funcional . El caso n = 3 fue demostrado por primera vez por Piers Bohl en 1904 (publicado en Journal für die reine und angewandte Mathematik ). ^[14] Más tarde fue demostrado por LEJ Brouwer en 1909. Jacques Hadamard demostró el caso general en 1910, ^[4] y Brouwer encontró una prueba diferente en el mismo año. ^[5] Dado que estas primeras pruebas eran todas pruebas indirectas no constructivas , eran contrarias a los ideales intuicionistas de Brouwer . Aunque la existencia de un punto fijo no es constructiva en el sentido del constructivismo en matemáticas , ahora se conocen métodos para aproximar puntos fijos garantizados por el teorema de Brouwer. ^{[15] [16]}

Antes del descubrimiento

Para flujos en un área no delimitada, o en un área con un "agujero", el teorema no es aplicable.

El teorema se aplica a cualquier área con forma de disco, donde garantiza la existencia de un punto fijo.

A finales del siglo XIX, el viejo problema ^[17] de la estabilidad del sistema solar volvió a ser el centro de atención de la comunidad matemática. ^[18] Su solución requería nuevos métodos. Como señaló Henri Poincaré , que trabajó en el problema de los tres cuerpos , no hay esperanza de encontrar una solución exacta: "Nada es más apropiado para darnos una idea de la dificultad del problema de los tres cuerpos, y en general de todos los problemas de dinámica donde no hay una integral uniforme y las series de Bohlin divergen". ^[19] También señaló que la búsqueda de una solución aproximada no es más eficiente: "cuanto más busquemos obtener aproximaciones precisas, más divergirá el resultado hacia una imprecisión creciente". ^[20]

Estudió una cuestión análoga a la del movimiento de la superficie en una taza de café. ¿Qué podemos decir, en general, sobre las trayectorias en una superficie animada por un flujo constante ? ^[21] Poincaré descubrió que la respuesta se puede encontrar en lo que ahora llamamos las propiedades topológicas en el área que contiene la trayectoria. Si esta área es compacta , es decir, cerrada y acotada , entonces la trayectoria se vuelve estacionaria o se aproxima a un ciclo límite . ^[22] Poincaré fue más allá; si el área es del mismo tipo que un disco, como es el caso de la taza de café, necesariamente debe haber un punto fijo. Este punto fijo es invariante bajo todas las funciones que asocian a cada punto de la superficie original su posición después de un corto intervalo de tiempo  t . Si el área es una banda circular, o si no es cerrada, ^[23] entonces este no es necesariamente el caso.

Para comprender mejor las ecuaciones diferenciales, nació una nueva rama de las matemáticas. Poincaré la llamó análisis situs . La Encyclopædia Universalis francesa la define como la rama que "trata las propiedades de un objeto que son invariantes si se deforma de cualquier manera continua, sin desgarrarse". ^[24] En 1886, Poincaré demostró un resultado que es equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer, ^[25] aunque la conexión con el tema de este artículo aún no era evidente. ^[26] Un poco más tarde, desarrolló una de las herramientas fundamentales para comprender mejor el análisis situs, ahora conocido como el grupo fundamental o, a veces, el grupo de Poincaré. ^[27] Este método puede usarse para una prueba muy compacta del teorema en discusión.

El método de Poincaré era análogo al de Émile Picard , un matemático contemporáneo que generalizó el teorema de Cauchy-Lipschitz . ^[28] El enfoque de Picard se basa en un resultado que luego sería formalizado por otro teorema del punto fijo , llamado así en honor a Banach . En lugar de las propiedades topológicas del dominio, este teorema utiliza el hecho de que la función en cuestión es una contracción .

Primeras pruebas

Jacques Hadamard ayudó a Brouwer a formalizar sus ideas.

A principios del siglo XX, el interés por el análisis situs no pasó desapercibido. Sin embargo, la necesidad de un teorema equivalente al que se analiza en este artículo aún no era evidente. Piers Bohl , un matemático letón , aplicó métodos topológicos al estudio de las ecuaciones diferenciales. ^[29] En 1904 demostró el caso tridimensional de nuestro teorema, ^[14] pero su publicación no fue notada. ^[30]

Finalmente, Brouwer fue quien le dio al teorema su primera patente de nobleza. Sus objetivos eran diferentes a los de Poincaré. Este matemático se inspiró en los fundamentos de las matemáticas, especialmente en la lógica matemática y la topología . Su interés inicial residía en un intento de resolver el quinto problema de Hilbert . ^[31] En 1909, durante un viaje a París, conoció a Henri Poincaré , Jacques Hadamard y Émile Borel . Las discusiones que siguieron convencieron a Brouwer de la importancia de una mejor comprensión de los espacios euclidianos, y fueron el origen de un fructífero intercambio epistolar con Hadamard. Durante los siguientes cuatro años, se concentró en la demostración de ciertos grandes teoremas sobre esta cuestión. En 1912 demostró el teorema de la bola peluda para la esfera bidimensional, así como el hecho de que cada aplicación continua de la bola bidimensional a sí misma tiene un punto fijo. ^[32] Estos dos resultados en sí mismos no eran realmente nuevos. Como observó Hadamard, Poincaré había demostrado un teorema equivalente al teorema de la bola peluda. ^[33] El aspecto revolucionario del enfoque de Brouwer fue su uso sistemático de herramientas recientemente desarrolladas como la homotopía , el concepto subyacente del grupo de Poincaré. Al año siguiente, Hadamard generalizó el teorema en discusión a una dimensión finita arbitraria, pero empleó métodos diferentes. Hans Freudenthal comenta sobre los respectivos roles de la siguiente manera: "En comparación con los métodos revolucionarios de Brouwer, los de Hadamard eran muy tradicionales, pero la participación de Hadamard en el nacimiento de las ideas de Brouwer se asemeja más a la de una partera que a la de un mero espectador". ^[34]

El enfoque de Brouwer dio sus frutos, y en 1910 también encontró una prueba que era válida para cualquier dimensión finita, ^[5] así como otros teoremas clave como la invariancia de la dimensión. ^[35] En el contexto de este trabajo, Brouwer también generalizó el teorema de la curva de Jordan a una dimensión arbitraria y estableció las propiedades relacionadas con el grado de una aplicación continua . ^[36] Esta rama de las matemáticas, originalmente concebida por Poincaré y desarrollada por Brouwer, cambió de nombre. En la década de 1930, el análisis situs se convirtió en topología algebraica . ^[37]

Recepción

John Nash utilizó el teorema de la teoría de juegos para demostrar la existencia de un perfil de estrategia de equilibrio.

El teorema demostró su valor en más de una forma. Durante el siglo XX se desarrollaron numerosos teoremas de punto fijo, e incluso una rama de las matemáticas llamada teoría del punto fijo . ^[38] El teorema de Brouwer es probablemente el más importante. ^[39] También se encuentra entre los teoremas fundamentales sobre la topología de las variedades topológicas y se utiliza a menudo para demostrar otros resultados importantes como el teorema de la curva de Jordan . ^[40]

Además de los teoremas de punto fijo para funciones más o menos contractivas , hay muchos que han surgido directa o indirectamente del resultado en discusión. Una función continua de una esfera cerrada del espacio euclidiano a su frontera no puede ser la identidad en la frontera. De manera similar, el teorema de Borsuk-Ulam dice que una función continua de la esfera n -dimensional a R ⁿ tiene un par de puntos antípodas que se asignan al mismo punto. En el caso de dimensión finita, el teorema de punto fijo de Lefschetz proporcionó a partir de 1926 un método para contar puntos fijos. En 1930, el teorema de punto fijo de Brouwer se generalizó a los espacios de Banach . ^[41] Esta generalización se conoce como el teorema de punto fijo de Schauder , un resultado generalizado aún más por S. Kakutani a funciones con valores conjuntos . ^[42] Uno también encuentra el teorema y sus variantes fuera de la topología. Puede utilizarse para demostrar el teorema de Hartman-Grobman , que describe el comportamiento cualitativo de ciertas ecuaciones diferenciales cerca de ciertos equilibrios. De manera similar, el teorema de Brouwer se utiliza para la demostración del teorema del límite central . El teorema también puede encontrarse en pruebas de existencia para las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales . ^[43]

También se abordan otros ámbitos. En teoría de juegos , John Nash utilizó el teorema para demostrar que en el juego de Hex hay una estrategia ganadora para las blancas. ^[44] En economía, P. Bich explica que ciertas generalizaciones del teorema muestran que su uso es útil para ciertos problemas clásicos de la teoría de juegos y, en general, para los equilibrios ( ley de Hotelling ), los equilibrios financieros y los mercados incompletos. ^[45]

La celebridad de Brouwer no se debe exclusivamente a su trabajo topológico. Las pruebas de sus grandes teoremas topológicos no son constructivas ^[46] , y la insatisfacción de Brouwer con esto es en parte lo que lo llevó a articular la idea de constructividad . Se convirtió en el creador y defensor celoso de una forma de formalizar las matemáticas que se conoce como intuicionismo , que en ese momento se oponía a la teoría de conjuntos . ^[47] Brouwer desautorizó su prueba original del teorema del punto fijo.

Esquemas de prueba

Una prueba usando grado

La prueba original de Brouwer de 1911 se basaba en la noción del grado de una aplicación continua , derivada de ideas de la topología diferencial . Se pueden encontrar varias explicaciones modernas de la prueba en la literatura, en particular Milnor (1965). ^{[48] [49]}

Sea la bola unitaria cerrada en centrada en el origen. Supongamos, por simplicidad, que es continuamente diferenciable. Un valor regular de es un punto tal que el jacobiano de no es singular en cada punto de la preimagen de . En particular, por el teorema de la función inversa , cada punto de la preimagen de se encuentra en (el interior de ). El grado de en un valor regular se define como la suma de los signos del determinante jacobiano de sobre las preimágenes de bajo : ${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:K\to K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in B(0)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(0)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in B(0)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \,\det(df_{x}).}$

El grado es, en términos generales, el número de "láminas" de la preimagen f que se encuentran sobre un pequeño conjunto abierto en torno a p , y las láminas se cuentan de forma opuesta si están orientadas de forma opuesta. Por tanto, se trata de una generalización del número de vueltas a dimensiones superiores.

El grado satisface la propiedad de invariancia de homotopía : sean y dos funciones continuamente diferenciables, y para . Supóngase que el punto es un valor regular de para todo t . Entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H_{t}}$ ${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$

Si no hay un punto fijo del límite de , entonces la función ${\displaystyle K}$

${\displaystyle g(x)={\frac {x-f(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-f(y)\right|}}}$

está bien definido, y

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}}}$

define una homotopía de la función identidad a ella. La función identidad tiene grado uno en cada punto. En particular, la función identidad tiene grado uno en el origen, por lo que también tiene grado uno en el origen. En consecuencia, la preimagen no está vacía. Los elementos de son precisamente los puntos fijos de la función original f . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$ ${\displaystyle g^{-1}(0)}$

Se requiere algo de trabajo para que sea totalmente general. La definición de grado debe extenderse a valores singulares de f y, luego, a funciones continuas. La aparición más moderna de la teoría de la homología simplifica la construcción del grado y, por lo tanto, se ha convertido en una prueba estándar en la literatura.

Una prueba que utiliza el teorema de la bola peluda

El teorema de la bola peluda establece que en la esfera unitaria S de un espacio euclidiano de dimensión impar no existe ningún campo vectorial tangente w continuo que no se anule en ninguna parte en S. ( La condición de tangencia significa que w ( x ) ⋅ x = 0 para cada vector unitario x .) A veces el teorema se expresa con la afirmación de que "siempre hay un lugar en el globo sin viento". Una prueba elemental del teorema de la bola peluda se puede encontrar en Milnor (1978).

De hecho, supongamos primero que w es continuamente diferenciable . Mediante el escalado, se puede suponer que w es un vector tangente unitario continuamente diferenciable en S. Se puede extender radialmente hasta una pequeña envoltura esférica A de S. Para t suficientemente pequeño, un cálculo rutinario muestra que la aplicación f _t ( x ) = x + t w ( x ) es una aplicación de contracción en A y que el volumen de su imagen es un polinomio en t . Por otra parte, como aplicación de contracción, f _t debe restringirse a un homeomorfismo de S sobre (1 + t ² ) ^⁠1/2⁠ S y A sobre (1 + t ² ) ^⁠1/2⁠ A . Esto da una contradicción, porque, si la dimensión n del espacio euclidiano es impar, (1 + t ² ) ^{n /2} no es un polinomio.

Si w es solo un vector tangente unitario continuo en S , por el teorema de aproximación de Weierstrass , puede aproximarse uniformemente mediante una función polinómica u de A en el espacio euclidiano. La proyección ortogonal sobre el espacio tangente está dada por v ( x ) = u ( x ) - u ( x ) ⋅ x . Por lo tanto, v es polinomial y no se anula en ningún punto en A ; por construcción v /|| v || es un campo vectorial tangente unitario suave en S , una contradicción.

La versión continua del teorema de la bola peluda se puede utilizar ahora para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer. Supongamos primero que n es par. Si hubiera una autoaplicación continua libre de punto fijo f de la bola unitaria cerrada B del espacio euclidiano n -dimensional V , establezca

${\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\,{\mathbf {x} }-(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).}$

Como f no tiene puntos fijos, se sigue que, para x en el interior de B , el vector w ( x ) es distinto de cero; y para x en S , el producto escalar
x ⋅ w ( x ) = 1 – x ⋅ f ( x ) es estrictamente positivo. A partir del espacio euclidiano original de n dimensiones V , construya un nuevo espacio auxiliar de
( n + 1 ) dimensiones W = V x R , con coordenadas y = ( x , t ).

${\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).}$

Por construcción , X es un campo vectorial continuo en la esfera unitaria de W , que satisface la condición de tangencia y ⋅ X ( y ) = 0. Además, X ( y ) no se desvanece en ninguna parte (porque, si x tiene norma 1, entonces x ⋅ w ( x ) es distinto de cero; mientras que si x tiene norma estrictamente menor que 1, entonces t y w ( x ) son ambos distintos de cero). Esta contradicción prueba el teorema del punto fijo cuando n es par. Para n impar, se puede aplicar el teorema del punto fijo a la esfera unitaria cerrada B en n + 1 dimensiones y la aplicación F ( x , y ) = ( f ( x ),0). La ventaja de esta prueba es que utiliza solo técnicas elementales; resultados más generales como el teorema de Borsuk-Ulam requieren herramientas de la topología algebraica . ^[50]

Una prueba que utiliza homología o cohomología

La prueba utiliza la observación de que el límite del n -disco D ⁿ es S ^{n −1} , la ( n − 1) -esfera .

Ilustración de la retracción F

Supongamos, por contradicción, que una función continua f  : D ⁿ → D ⁿ no tiene un punto fijo. Esto significa que, para cada punto x en D ⁿ , los puntos x y f ( x ) son distintos. Como son distintos, para cada punto x en D ⁿ , podemos construir un único rayo desde f ( x ) a x y seguir el rayo hasta que intersecta el límite S ^{n −1} (ver ilustración). Al llamar a este punto de intersección F ( x ), definimos una función F  :  D ⁿ  →  S ^{n −1} que envía cada punto en el disco a su punto de intersección correspondiente en el límite. Como caso especial, siempre que x mismo esté en el límite, entonces el punto de intersección F ( x ) debe ser x .

En consecuencia, F es un tipo especial de función continua conocida como retracción : cada punto del codominio (en este caso S ^{n −1} ) es un punto fijo de F .

Intuitivamente parece improbable que pueda haber una retracción de D ⁿ sobre S ^{n −1} , y en el caso n = 1, la imposibilidad es más básica, porque S ⁰ (es decir, los puntos finales del intervalo cerrado D ¹ ) ni siquiera está conexo. El caso n = 2 es menos obvio, pero se puede demostrar utilizando argumentos básicos que involucran a los grupos fundamentales de los respectivos espacios: la retracción induciría un homomorfismo de grupo sobreyectivo del grupo fundamental de D ² al de S ¹ , pero el último grupo es isomorfo a Z mientras que el primer grupo es trivial, por lo que esto es imposible. El caso n = 2 también se puede demostrar por contradicción basada en un teorema sobre campos vectoriales no nulos .

Sin embargo, para n > 2, probar la imposibilidad de la retracción es más difícil. Una forma de hacerlo es hacer uso de grupos de homología : la homología H _{n −1} ( D ⁿ ) es trivial, mientras que H _{n −1} ( S ^{n −1 ) es} cíclica infinita . Esto demuestra que la retracción es imposible, porque nuevamente la retracción induciría un homomorfismo de grupo inyectivo del último al primer grupo.

La imposibilidad de una retracción también se puede demostrar utilizando la cohomología de De Rham de subconjuntos abiertos del espacio euclidiano E ⁿ . Para n ≥ 2, la cohomología de De Rham de U = E ⁿ – (0) es unidimensional en grado 0 y n - 1, y se anula en caso contrario. Si existiera una retracción, entonces U tendría que ser contráctil y su cohomología de De Rham en grado n - 1 tendría que anularse, una contradicción. ^[51]

Una prueba que utiliza el teorema de Stokes

Al igual que en la prueba del teorema de punto fijo de Brouwer para aplicaciones continuas usando homología, se reduce a probar que no hay retracción continua F desde la bola B hasta su frontera ∂ B . En ese caso, se puede suponer que F es suave, ya que se puede aproximar usando el teorema de aproximación de Weierstrass o mediante convolución con funciones de protuberancia suaves no negativas de soporte suficientemente pequeño e integral uno (es decir, suavizando ). Si ω es una forma de volumen en la frontera, entonces por el teorema de Stokes ,

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0,}$

dando una contradicción. ^{[52] [53]}

En términos más generales, esto muestra que no hay retracción suave desde ninguna variedad compacta orientada suave no vacía M hasta su borde. La prueba que utiliza el teorema de Stokes está estrechamente relacionada con la prueba que utiliza homología, porque la forma ω genera el grupo de cohomología de De Rham H ^{n -1} (∂ M ) que es isomorfo al grupo de homología H _{n -1} (∂ M ) por el teorema de De Rham . ^[54]

Una prueba combinatoria

La BFPT se puede demostrar utilizando el lema de Sperner . Ahora presentamos un esquema de la demostración para el caso especial en el que f es una función del n - símplex estándar , hacia sí mismo, donde ${\displaystyle \Delta ^{n},}$

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Para cada punto también Por lo tanto la suma de sus coordenadas es igual: ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

Por lo tanto, por el principio del palomar, para cada debe haber un índice tal que la coordenada ésima de sea mayor o igual que la coordenada ésima de su imagen bajo f : ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

Además, si se encuentra en una subcara k -dimensional de entonces, mediante el mismo argumento, el índice se puede seleccionar entre las k + 1 coordenadas que no son cero en esta subcara. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle j}$

Ahora utilizamos este hecho para construir una coloración de Sperner. Para cada triangulación del color de cada vértice hay un índice tal que ${\displaystyle \Delta ^{n},}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

Por construcción, se trata de una coloración de Sperner. Por lo tanto, según el lema de Sperner, existe un símplex de dimensión n cuyos vértices están coloreados con todo el conjunto de n + 1 colores disponibles.

Como f es continua, este símplex puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo una triangulación arbitrariamente fina. Por lo tanto, debe haber un punto que satisfaga la condición de etiquetado en todas las coordenadas: para todos ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}}$ ${\displaystyle j.}$

Como la suma de las coordenadas de y debe ser igual, todas estas desigualdades deben ser en realidad igualdades. Pero esto significa que: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(P)}$

${\displaystyle f(P)=P.}$

Es decir, es un punto fijo de ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f.}$

Una prueba de Hirsch

También hay una prueba rápida, de Morris Hirsch , basada en la imposibilidad de una retracción diferenciable. La prueba indirecta comienza señalando que la función f puede aproximarse mediante una función suave que conserve la propiedad de no fijar un punto; esto puede hacerse utilizando el teorema de aproximación de Weierstrass o mediante la convolución con funciones de protuberancia suaves . Luego se define una retracción como la anterior que ahora debe ser diferenciable. Dicha retracción debe tener un valor no singular, por el teorema de Sard , que también es no singular para la restricción al límite (que es simplemente la identidad). Por lo tanto, la imagen inversa sería una 1-variedad con límite. El límite tendría que contener al menos dos puntos finales, ambos de los cuales tendrían que estar en el límite de la bola original, lo que es imposible en una retracción. ^[55]

R. Bruce Kellogg, Tien-Yien Li y James A. Yorke convirtieron la prueba de Hirsch en una prueba computable al observar que la retracción está de hecho definida en todas partes excepto en los puntos fijos. ^[56] Para casi cualquier punto, q , en el límite, (asumiendo que no es un punto fijo) la única variedad con límite mencionada anteriormente existe y la única posibilidad es que conduzca desde q a un punto fijo. Es una tarea numérica fácil seguir dicho camino desde q al punto fijo, por lo que el método es esencialmente computable. ^[57] dieron una versión de seguimiento de caminos conceptualmente similar de la prueba de homotopía que se extiende a una amplia variedad de problemas relacionados.

Una prueba que utiliza el área orientada

Una variación de la prueba anterior no utiliza el teorema de Sardi y es la siguiente: Si es una retracción suave, se considera la deformación suave y la función suave ${\displaystyle r\colon B\to \partial B}$ ${\displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

Derivando bajo el signo de la integral no es difícil comprobar que φ ′ ( t ) = 0 para todo t , por lo que φ es una función constante, lo cual es una contradicción porque φ (0) es el volumen n -dimensional de la pelota, mientras que φ (1) es cero. La idea geométrica es que φ ( t ) es el área orientada de g ^t ( B ) (es decir, la medida de Lebesgue de la imagen de la pelota vía g ^t , teniendo en cuenta la multiplicidad y la orientación), y debería permanecer constante (como es muy claro en el caso unidimensional). Por otro lado, a medida que el parámetro t pasa de 0 a 1 la función g ^t se transforma continuamente de la función identidad de la pelota, a la retracción r , lo cual es una contradicción ya que el área orientada de la identidad coincide con el volumen de la pelota, mientras que el área orientada de r es necesariamente 0, pues su imagen es el borde de la pelota, un conjunto de medida nula. ^[58]

Una prueba usando el juego Hex

Una prueba bastante diferente dada por David Gale se basa en el juego de Hex . El teorema básico sobre Hex, demostrado por primera vez por John Nash, es que ningún juego de Hex puede terminar en tablas; el primer jugador siempre tiene una estrategia ganadora (aunque este teorema no es constructivo y no se han desarrollado estrategias explícitas por completo para tamaños de tablero de dimensiones 10 x 10 o mayores). Esto resulta ser equivalente al teorema de punto fijo de Brouwer para dimensión 2. Al considerar versiones n -dimensionales de Hex, se puede probar en general que el teorema de Brouwer es equivalente al teorema de determinación para Hex. ^[59]

Una prueba que utiliza el teorema del punto fijo de Lefschetz

El teorema de punto fijo de Lefschetz dice que si una función continua f de un complejo simplicial finito B a sí misma solo tiene puntos fijos aislados, entonces el número de puntos fijos contados con multiplicidades (que pueden ser negativas) es igual al número de Lefschetz.

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

y en particular si el número de Lefschetz no es cero entonces f debe tener un punto fijo. Si B es una bola (o más generalmente es contráctil) entonces el número de Lefschetz es uno porque el único grupo de homología simplicial no cero es: y f actúa como la identidad en este grupo, por lo que f tiene un punto fijo. ^{[60] [61]} ${\displaystyle H_{0}(B)}$

Una prueba en un sistema lógico débil

En matemáticas inversas , el teorema de Brouwer se puede demostrar en el sistema WKL ₀ y, a la inversa, sobre el sistema base RCA _0. El teorema de Brouwer para un cuadrado implica el lema débil de König , por lo que esto da una descripción precisa de la fuerza del teorema de Brouwer.

Generalizaciones

El teorema de punto fijo de Brouwer constituye el punto de partida de una serie de teoremas de punto fijo más generales .

La generalización directa a dimensiones infinitas, es decir, usar la bola unitaria de un espacio de Hilbert arbitrario en lugar del espacio euclidiano, no es cierta. El problema principal aquí es que las bolas unitarias de espacios de Hilbert de dimensión infinita no son compactas . Por ejemplo, en el espacio de Hilbert ℓ ^​​2 de sucesiones reales (o complejas) sumables al cuadrado, considere la función f  : ℓ ² → ℓ ² que envía una sucesión ( x _n ) desde la bola unitaria cerrada de ℓ ² a la sucesión ( y _n ) definida por

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\quad {\text{ and}}\quad y_{n}=x_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1.}$

No es difícil comprobar que esta función es continua, tiene su imagen en la esfera unitaria de ℓ ² , pero no tiene un punto fijo.

Por lo tanto, todas las generalizaciones del teorema de punto fijo de Brouwer a espacios de dimensión infinita incluyen un supuesto de compacidad de algún tipo y, a menudo, también un supuesto de convexidad . Véase Teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita para una discusión de estos teoremas.

También existe una generalización de dimensión finita a una clase más grande de espacios: Si es un producto de un número finito de continuos encadenables, entonces cada función continua tiene un punto fijo, ^{[62] donde un continuo encadenable es un} espacio de Hausdorff compacto (usualmente pero en este caso no necesariamente métrico ) del cual cada recubrimiento abierto tiene un refinamiento abierto finito , tal que si y solo si . Los ejemplos de continuos encadenables incluyen espacios ordenados linealmente conexos compactos y en particular intervalos cerrados de números reales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{m}\}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle |i-j|\leq 1}$

El teorema del punto fijo de Kakutani generaliza el teorema del punto fijo de Brouwer en una dirección diferente: se mantiene en R ⁿ , pero considera funciones de valores de conjunto hemicontinuos superiores (funciones que asignan a cada punto del conjunto un subconjunto del conjunto). También requiere compacidad y convexidad del conjunto.

El teorema de punto fijo de Lefschetz se aplica a espacios topológicos compactos (casi) arbitrarios y da una condición en términos de homología singular que garantiza la existencia de puntos fijos; esta condición se satisface trivialmente para cualquier mapa en el caso de D ⁿ .

Resultados equivalentes

Existen varios teoremas de punto fijo que se presentan en tres variantes equivalentes: una variante de topología algebraica , una variante combinatoria y una variante que cubre conjuntos. Cada variante puede demostrarse por separado utilizando argumentos totalmente diferentes, pero cada variante también puede reducirse a las otras variantes de su fila. Además, cada resultado de la fila superior puede deducirse del que se encuentra debajo en la misma columna. ^[63]

Véase también

• Teorema del punto fijo de Banach
• Cálculo de punto fijo
• Composiciones infinitas de funciones analíticas
• Equilibrio de Nash
• Teorema de Poincaré-Miranda : equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer
• Combinatoria topológica

Notas

1. Por ejemplo, F & V Bayart Théorèmes du point fixe en [email protected] Archivado el 26 de diciembre de 2008 en Wayback Machine .
2. Consulte la página 15 de: D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN  2-13-037495-6
3. Más exactamente, según Encyclopédie Universalis: Il en a démontré l'un des plus beaux théorèmes, le théorème du point fixe, dont les application et généralisations, de la théorie des jeux aux équations différentielles, se sont révélées fondamentales. Luisen Brouwer de G. Sabbagh
4. Jacques Hadamard : Note sur quelques application de l'indice de Kronecker en Jules Tannery : Introducción a la théorie des fonctions d'une variable (Volumen 2), 2.ª edición, A. Hermann & Fils, París 1910, págs.437– 477 (francés)
5. Brouwer, LEJ (1911). "Über Abbildungen von Mannigfaltigkeiten". Mathematische Annalen (en alemán). 71 : 97-115. doi :10.1007/BF01456931. S2CID  177796823.
6. D. Violette Aplicaciones de la hoja de Sperner para los triángulos Boletín AMQ, V. XLVI N° 4, (2006) p 17. Archivado el 8 de junio de 2011 en Wayback Machine .
7. Página 15 de: D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) ISBN 2-13-037495-6 . 
8. Esta versión se deriva directamente de la anterior porque todo subconjunto compacto convexo de un espacio euclidiano es homeomorfo a una esfera cerrada de la misma dimensión que el subconjunto; véase Florenzano, Monique (2003). Análisis del equilibrio general: propiedades de existencia y optimalidad de los equilibrios. Springer. p. 7. ISBN 9781402075124. Recuperado el 8 de marzo de 2016 .
9. V. & F. Bayart Punto fijo y teorías del punto fijo en Bibmath.net. Archivado el 26 de diciembre de 2008 en Wayback Machine .
10. C. Minazzo K. Rider Théorèmes du Point Fixe et Applications aux Equations Différentielles Archivado el 4 de abril de 2018 en la Wayback Machine Université de Nice-Sophia Antipolis.
11. Belk, Jim. "¿Por qué la convexidad es un requisito para los puntos fijos de Brouwer?". Math StackExchange . Consultado el 22 de mayo de 2015 .
12. El interés de esta anécdota reside en su carácter intuitivo y didáctico, pero su exactitud es dudosa. Como muestra la sección de historia, el origen del teorema no es obra de Brouwer. Más de 20 años antes, Henri Poincaré había demostrado un resultado equivalente, y 5 años antes de Brouwer, P. Bohl había demostrado el caso tridimensional.
13. Esta cita proviene originalmente de una emisión televisiva: Archimède , Arte , 21 de septiembre de 1999
14. Bohl, P. (1904). "Über die Bewegung eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage". J. Reina Angew. Matemáticas . 127 (3/4): 179–276.
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17. Véase F. Brechenmacher L'identité algébrique d'une pratique portée par la debate sur l'équation à l'aide de laquelle sobre la determinación de las inégalités séculaires des planètes CNRS Fédération de Recherche Mathématique du Nord-Pas-de-Calais
18. Henri Poincaré ganó el concurso matemático del Rey de Suecia en 1889 por su trabajo sobre el problema de los tres cuerpos relacionado con él : Jacques Tits Celebraciones nacionales 2004 Sitio del Ministerio de Cultura y Comunicación
19. Henri Poincaré Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste T Gauthier-Villars, Vol 3 p 389 (1892) nueva edición París: Blanchard, 1987.
20. Cita de Henri Poincaré extraída de: PA Miquel La catégorie de désordre Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine , en el sitio web de l'Association roumaine des chercheurs francophones en sciences humaines
21. Esta cuestión fue estudiada en: Poincaré, H. (1886). "Sur les courbes definidos par les équations différentielles". Revista de Mathématiques Pures et Appliquées . 2 (4): 167–244.
22. Esto se desprende del teorema de Poincaré-Bendixson .
23. Multiplicación por ⁠1/2⁠ en ]0, 1[ ² no tiene punto fijo.
24. "Concerne les propriétés invariantes d'une figure lorsqu'on la déforme de manière continue quelconque, sans déchirure (por ejemplo, en el caso de la deformación de la esfera, les propriétés correlatives des objets tracés sur sa Surface". De C. Houzel M. Paty Poincaré, Henri (1854-1912) Archivado el 8 de octubre de 2010 en la Wayback Machine Encyclopædia Universalis Albin Michel, París, 1999, págs.
25. El teorema de Poincaré se enuncia en: VI Istratescu Fixed Point Theory an Introduction Kluwer Academic Publishers (réedición de 2001) p 113 ISBN 1-4020-0301-3 
26. Voitsekhovskii, MI (2001) [1994], "Teorema de Brouwer", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , ISBN 1-4020-0609-8
27. Dieudonné, Jean (1989). Una historia de la topología algebraica y diferencial, 1900-1960. Boston: Birkhäuser. pp. 17-24. ISBN 978-0-8176-3388-2.
28. Véase, por ejemplo: Émile Picard Sur l'application des méthodes d'approximations sucesivos à l'étude de sures équations différentielles ordinaires Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine Journal de Mathématiques p 217 (1893)
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33. Freudenthal, Hans (1975). "La cuna de la topología moderna, según la inedita de Brouwer". Historia Matemática . 2 (4): 495–502 [p. 495]. doi : 10.1016/0315-0860(75)90111-1 . ... esta última propiedad, bien que bajo las hipótesis más grandes, está demostrada por H. Poincaré
34. Freudenthal, Hans (1975). "La cuna de la topología moderna, según la inedita de Brouwer". Historia Mathematica . 2 (4): 495–502 [p. 501]. doi : 10.1016/0315-0860(75)90111-1 .
35. Si un subconjunto abierto de una variedad es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de dimensión n , y si p es un entero positivo distinto de n , entonces el conjunto abierto nunca es homeomorfo a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano de dimensión p .
36. JJ O'Connor EF Robertson Luitzen Egbertus Jan Brouwer .
37. El término topología algebraica apareció por primera vez en 1931 bajo la pluma de David van Dantzig: J. Miller Álgebra topológica en el sitio Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas (2007)
38. VI Istratescu Teoría del punto fijo. Una introducción Kluwer Academic Publishers (nueva edición 2001) ISBN 1-4020-0301-3 . 
39. "... El teorema del punto fijo de Brouwer, quizás el teorema del punto fijo más importante". pág. xiii VI Istratescu Teoría del punto fijo: una introducción Kluwer Academic Publishers (nueva edición 2001) ISBN 1-4020-0301-3 . 
40. Por ejemplo: S. Greenwood J. Cao Teorema del punto fijo de Brouwer y el teorema de la curva de Jordan Universidad de Auckland, Nueva Zelanda.
41. Schauder, J. (1930). "Der Fixpunktsatz in Funktionsräumen". Estudios Matemáticos . 2 : 171–180. doi : 10.4064/sm-2-1-171-180 .
42. Kakutani, S. (1941). "Una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer". Duke Mathematical Journal . 8 (3): 457–459. doi :10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
43. Estos ejemplos están tomados de: F. Boyer Théorèmes de point fixe et apps CMI Université Paul Cézanne (2008-2009) Copia archivada en WebCite (1 de agosto de 2010).
44. Para contexto y referencias, consulte el artículo Hex (juego de mesa) .
45. P. Bich Une extension discontinue du théorème du point fixe de Schauder, et quelques application en économie Archivado el 11 de junio de 2011 en el Wayback Machine Institut Henri Poincaré, París (2007)
46. Para una explicación detallada, consulte: Dubucs, JP (1988). "LJE Brouwer: Topología y constructivismo". Revista de Historia de las Ciencias . 41 (2): 133-155. doi :10.3406/rhs.1988.4094.
47. Más tarde se demostraría que el formalismo combatido por Brouwer también puede servir para formalizar el intuicionismo, con algunas modificaciones. Para más detalles, véase teoría de conjuntos constructivos .
48. Milnor 1965, págs. 1–19
49. Teschl, Gerald (2019). "10. El grado de mapeo de Brouwer". Temas de análisis funcional lineal y no lineal (PDF) . Estudios de posgrado en matemáticas. American Mathematical Society . Archivado (PDF) del original el 2022-10-09 . Consultado el 1 de febrero de 2022 .
50. Milnor 1978
51. Madsen y Tornehave 1997, págs. 39–48
52. Boothby 1971
53. Boothby 1986
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Referencias

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Enlaces externos

• Teorema del punto fijo de Brouwer para triángulos en el punto de corte
• Teorema de Brouwer Archivado el 19 de marzo de 2007 en Wayback Machine , de PlanetMath con prueba adjunta.
• Reconstrucción de Brouwer en MathPages
• Teorema del punto fijo de Brouwer en Imágenes de matemáticas.