En matemáticas , varios teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita generalizan el teorema de punto fijo de Brouwer . Tienen aplicaciones, por ejemplo, en los teoremas de prueba de existencia para ecuaciones diferenciales parciales .
El primer resultado en este campo fue el teorema de punto fijo de Schauder , demostrado en 1930 por Juliusz Schauder (un resultado anterior en una línea diferente, el teorema de punto fijo de Banach para aplicaciones de contracción en espacios métricos completos , se demostró en 1922). Siguieron muchos otros resultados. Una forma en la que los teoremas de punto fijo de este tipo han tenido una mayor influencia en las matemáticas en su conjunto ha sido que un enfoque consiste en tratar de trasladar los métodos de topología algebraica , demostrados por primera vez para complejos simpliciales finitos , a espacios de dimensión infinita. Por ejemplo, la investigación de Jean Leray , que fundó la teoría de haces, surgió de los esfuerzos por extender el trabajo de Schauder.
Teorema de punto fijo de Schauder : Sea C unsubconjunto convexo cerrado no vacío de un espacio de Banach V. Si f : C → C es continua con unaimagen compacta , entonces f tiene un punto fijo.
Teorema del punto fijo de Tikhonov (Tychonoff): Sea V un espacio vectorial topológico localmente convexo . Para cualquier conjunto convexo compacto no vacío X en V , cualquier función continua f : X → X tiene un punto fijo.
Teorema de punto fijo de Browder: Sea K un conjunto cerrado, no vacío y acotado convexo en un espacio de Banach uniformemente convexo . Entonces, cualquier función no expansiva f : K → K tiene un punto fijo. (Una función se llama no expansiva si para cada y .)
Otros resultados incluyen el teorema de punto fijo de Markov-Kakutani (1936-1938) y el teorema de punto fijo de Ryll-Nardzewski (1967) para automapeos afines continuos de conjuntos convexos compactos, así como el teorema de punto fijo de Earle-Hamilton (1968) para automapeos holomórficos de dominios abiertos.
Teorema de punto fijo de Kakutani : toda correspondencia que asigna un subconjunto convexo compacto de un espacio localmente convexo a sí mismo con un gráfico cerrado e imágenes convexas no vacías tiene un punto fijo.
