Teorema de no clonación

Teorema en la ciencia de la información cuántica

En física , el teorema de no clonación establece que es imposible crear una copia independiente e idéntica de un estado cuántico desconocido y arbitrario , una afirmación que tiene profundas implicaciones en el campo de la computación cuántica, entre otros. El teorema es una evolución del teorema de no ir de 1970 escrito por James Park, ^[1] en el que demuestra que no puede existir un esquema de medición no perturbador que sea a la vez simple y perfecto (el mismo resultado se derivaría de forma independiente en 1982 por William Wootters y Wojciech H. Zurek ^[2] así como Dennis Dieks ^[3] el mismo año). Los teoremas antes mencionados no impiden que el estado de un sistema se enrede con el estado de otro, ya que la clonación se refiere específicamente a la creación de un estado separable con factores idénticos. Por ejemplo, se podría utilizar la puerta NOT controlada y la puerta Walsh-Hadamard para entrelazar dos qubits sin violar el teorema de no clonación, ya que ningún estado bien definido puede definirse en términos de un subsistema de un estado entrelazado. El teorema de no clonación (como se entiende generalmente) se refiere sólo a los estados puros, mientras que la afirmación generalizada sobre los estados mixtos se conoce como teorema de no difusión .

El teorema de no clonación tiene un dual invertido en el tiempo , el teorema de no eliminación . Juntos, estos sustentan la interpretación de la mecánica cuántica en términos de teoría de categorías y, en particular, como una categoría compacta de daga . ^{[4] [5]} Esta formulación, conocida como mecánica cuántica categórica , permite, a su vez, establecer una conexión entre la mecánica cuántica y la lógica lineal como lógica de la teoría cuántica de la información (en el mismo sentido que la lógica intuicionista surge de la teoría cerrada cartesiana). categorías ).

Historia

Según Asher Peres ^[6] y David Kaiser , ^[7] la publicación de la prueba del teorema de no clonación en 1982 por Wootters y Zurek ^[2] y por Dieks ^[3] fue motivada por una propuesta de Nick Herbert ^[8]. para un dispositivo de comunicación superluminal usando entrelazamiento cuántico, y Giancarlo Ghirardi ^[9] había demostrado el teorema 18 meses antes de la prueba publicada por Wootters y Zurek en su informe de arbitraje de dicha propuesta (como lo demuestra una carta del editor ^[9] ) . Sin embargo, Juan Ortigoso ^[10] señaló en 2018 que Park ya entregó en 1970 una prueba completa junto con una interpretación en términos de la falta de mediciones simples no perturbadoras en la mecánica cuántica. ^[1]

Teorema y prueba

Supongamos que tenemos dos sistemas cuánticos A y B con un espacio de Hilbert común . Supongamos que queremos tener un procedimiento para copiar el estado del sistema cuántico A , sobre el estado del sistema cuántico B, para cualquier estado original (ver notación bra-ket ). Es decir, empezando por el Estado , queremos acabar con el Estado . Para hacer una "copia" del estado A , lo combinamos con el sistema B en algún estado inicial desconocido, o en blanco, independiente del cual no tenemos conocimiento previo. ${\displaystyle H=H_{A}=H_{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$

El estado del sistema compuesto inicial se describe entonces mediante el siguiente producto tensorial : (a continuación omitiremos el símbolo y lo mantendremos implícito). $${\displaystyle |\phi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}.}$$ ${\displaystyle \otimes }$

Sólo hay dos operaciones cuánticas permitidas con las que podemos manipular el sistema compuesto:

• Podemos realizar una observación , que colapsa irreversiblemente el sistema en algún estado propio de un observable , corrompiendo la información contenida en los qubits . Obviamente esto no es lo que queremos.
• Alternativamente, podríamos controlar el hamiltoniano del sistema combinado y, por tanto, el operador de evolución temporal U ( t ), por ejemplo, para un hamiltoniano independiente del tiempo, . La evolución hasta un tiempo fijo produce un operador unitario U en , el espacio de Hilbert del sistema combinado. Sin embargo, ningún operador unitario U puede clonar todos los estados. ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle H\otimes H}$

El teorema de no clonación responde negativamente a la siguiente pregunta: ¿Es posible construir un operador unitario U , actuando sobre , bajo el cual el estado en el que se encuentra el sistema B siempre evoluciona hacia el estado en el que se encuentra el sistema A, independientemente del estado? ¿En qué se encuentra el sistema A? ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}=H\otimes H}$

Teorema  :  no existe un operador unitario U tal que para todos los estados normalizados y para algún número real dependiendo de y . ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |e\rangle _{B}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle U(|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B})=e^{i\alpha (\phi ,e)}|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle e}$

El factor de fase extra expresa el hecho de que un estado mecánico-cuántico define un vector normalizado en el espacio de Hilbert sólo hasta un factor de fase, es decir, como elemento del espacio de Hilbert proyectizado .

Para demostrar el teorema, seleccionamos un par arbitrario de estados y en el espacio de Hilbert . Como se supone que U es unitario, tendríamos que. Dado que se supone que el estado cuántico está normalizado, obtendríamos ${\displaystyle |\phi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle e|e\rangle \equiv \langle \phi |_{A}\langle e|_{B}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{A}\langle e|_{B}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |_{A}\langle \phi |_{B}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}\equiv e^{-i(\alpha (\phi ,e)-\alpha (\psi ,e))}\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.}$$ ${\displaystyle |e\rangle }$ $${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |^{2}=|\langle \phi |\psi \rangle |.}$$

Esto implica que cualquiera de los dos o . Por tanto, según la desigualdad de Cauchy-Schwarz, o o es ortogonal a . Sin embargo, este no puede ser el caso de dos Estados arbitrarios . Por tanto, una única U universal no puede clonar un estado cuántico general . Esto prueba el teorema de la no clonación. ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=1}$ ${\displaystyle |\langle \phi |\psi \rangle |=0}$ ${\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\beta }|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Tomemos como ejemplo un qubit. Puede representarse mediante dos números complejos , llamados amplitudes de probabilidad ( normalizados a 1 ), es decir tres números reales (dos ángulos polares y un radio). Copiar tres números en una computadora clásica usando cualquier operación de copiar y pegar es trivial (hasta una precisión finita), pero el problema se manifiesta si el qubit se transforma unitariamente (por ejemplo, mediante la puerta cuántica de Hadamard ) para polarizarse (cuya transformación unitaria es una sobreyectiva). isometría ). En tal caso, el qubit puede representarse mediante sólo dos números reales (un ángulo polar y un radio igual a 1), mientras que el valor del tercero puede ser arbitrario en dicha representación. Sin embargo, la realización de un qubit (un fotón codificado por polarización, por ejemplo) es capaz de almacenar todo el soporte de información del qubit dentro de su "estructura". Por tanto, ninguna evolución unitaria universal U puede clonar un estado cuántico arbitrario según el teorema de no clonación. Tendría que depender del estado (inicial) del qubit transformado y, por lo tanto, no habría sido universal .

Generalización

En el enunciado del teorema, se hicieron dos suposiciones: el estado a copiar es un estado puro y la copiadora propuesta actúa mediante una evolución temporal unitaria. Estos supuestos no causan pérdida de generalidad. Si el estado que se va a copiar es un estado mixto , puede "purificarse ", es decir, tratarse como un estado puro de un sistema mayor. Alternativamente, se puede dar una prueba diferente que funcione directamente con estados mixtos; en este caso, el teorema a menudo se conoce como teorema de no transmisión. ^{[11] [12]} De manera similar, se puede implementar una operación cuántica arbitraria introduciendo una ancilla y realizando una evolución unitaria adecuada. ^{[ se necesita aclaración ]} Por lo tanto, el teorema de no clonación se cumple con total generalidad.

Para las extensiones de las computadoras cuánticas, el teorema de no clonación sigue siendo válido si se utilizan computadoras cuánticas de postselección o bidireccionales. ^[13] Sin embargo, se afirma que agregar una curva temporal cerrada permite clonar el estado cuántico. ^[14]

Consecuencias

• El teorema de la no clonación impide el uso de determinadas técnicas clásicas de corrección de errores en estados cuánticos. Por ejemplo, las copias de seguridad de un estado en medio de un cálculo cuántico no se pueden crear ni utilizar para corregir errores posteriores. La corrección de errores es vital para la computación cuántica práctica y durante algún tiempo no estuvo claro si era posible o no. En 1995, Shor y Steane demostraron que sí lo es, al idear de forma independiente los primeros códigos de corrección de errores cuánticos , que eluden el teorema de no clonación.
• De manera similar, la clonación violaría el teorema de la no teletransportación , que dice que es imposible convertir un estado cuántico en una secuencia de bits clásica (incluso una secuencia infinita de bits), copiar esos bits a alguna nueva ubicación y recrear una copia de el estado cuántico original en la nueva ubicación. Esto no debe confundirse con la teletransportación asistida por entrelazamiento , que permite destruir un estado cuántico en un lugar y recrear una copia exacta en otro lugar.
• El teorema de no clonación está implícito en el teorema de no comunicación , que establece que el entrelazamiento cuántico no se puede utilizar para transmitir información clásica (ya sea de forma superluminosa o más lenta). Es decir, la clonación, junto con el entrelazamiento, permitiría que se produjera dicha comunicación. Para ver esto, consideremos el experimento mental EPR y supongamos que se pueden clonar estados cuánticos. Supongamos que partes de un estado Bell máximamente entrelazado se distribuyen a Alice y Bob. Alice podría enviar bits a Bob de la siguiente manera: si Alice desea transmitir un "0", mide el giro de su electrón en la dirección z , colapsando el estado de Bob a o . Para transmitir "1", Alice no le hace nada a su qubit. Bob crea muchas copias del estado de su electrón y mide el giro de cada copia en la dirección z . Bob sabrá que Alice ha transmitido un "0" si todas sus mediciones producen el mismo resultado; de lo contrario, sus mediciones tendrán resultados o con igual probabilidad. Esto permitiría a Alice y Bob comunicar bits clásicos entre sí (posiblemente a través de separaciones espaciales , violando la causalidad ). ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z+\rangle _{B}}$ ${\displaystyle |z-\rangle _{B}}$
• Los estados cuánticos no se pueden discriminar perfectamente. ^[15]
• El teorema de no clonación impide una interpretación del principio holográfico de los agujeros negros en el sentido de que hay dos copias de información, una en el horizonte de sucesos y la otra en el interior del agujero negro. Esto lleva a interpretaciones más radicales, como la complementariedad de los agujeros negros .
• El teorema de no clonación se aplica a todas las categorías compactas de daga : no existe un morfismo de clonación universal para ninguna categoría no trivial de este tipo. ^[16] Aunque el teorema es inherente a la definición de esta categoría, no es trivial ver que esto es así; la idea es importante, ya que esta categoría incluye cosas que no son espacios de Hilbert de dimensión finita, incluida la categoría de conjuntos y relaciones y la categoría de cobordismos .

Clonación imperfecta

Aunque es imposible hacer copias perfectas de un estado cuántico desconocido, es posible producir copias imperfectas. Esto se puede hacer acoplando un sistema auxiliar más grande al sistema que se va a clonar y aplicando una transformación unitaria al sistema combinado. Si la transformación unitaria se elige correctamente, varios componentes del sistema combinado evolucionarán hasta convertirse en copias aproximadas del sistema original. En 1996, V. Buzek y M. Hillery demostraron que una máquina de clonación universal puede crear un clon de un estado desconocido con una fidelidad sorprendentemente alta de 5/6. ^[17]

La clonación cuántica imperfecta se puede utilizar como un ataque de escucha a los protocolos de criptografía cuántica , entre otros usos en la ciencia de la información cuántica.

Ver también

• Grupo de Física Fundamental
• Monogamia de enredo
• Teorema de no transmisión
• Teorema de no comunicación
• Teorema de no eliminación
• Teorema de no esconderse
• Entrelazamiento cuántico
• Clonación cuántica
• Información cuántica
• Teletransportación cuántica
• Relaciones de incertidumbre más fuertes
• Principio de incertidumbre

Referencias

1. Park, James (1970). "El concepto de transición en mecánica cuántica". Fundamentos de la Física . 1 (1): 23–33. Código bibliográfico : 1970FoPh....1...23P. CiteSeerX  10.1.1.623.5267 . doi :10.1007/BF00708652. S2CID  55890485.
2. Wootters, William; Zurek, Wojciech (1982). "No se puede clonar un solo cuanto cuántico". Naturaleza . 299 (5886): 802–803. Código Bib :1982Natur.299..802W. doi :10.1038/299802a0. S2CID  4339227.
3. Dieks, Dennis (1982). "Comunicación por dispositivos EPR". Letras de Física A. 92 (6): 271–272. Código bibliográfico : 1982PhLA...92..271D. CiteSeerX 10.1.1.654.7183 . doi :10.1016/0375-9601(82)90084-6. hdl : 1874/16932. 
4. Báez, Juan; Quédate, Mike (2010). "Física, topología, lógica y computación: una piedra de Rosetta" (PDF) . Nuevas estructuras para la física . Berlín: Springer. págs. 95-172. ISBN 978-3-642-12821-9.
5. Coecke, Bob (2009). "Pinturalismo cuántico". Física Contemporánea . 51 : 59–83. arXiv : 0908.1787 . doi :10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.
6. Peres, Asher (2003). "Cómo obtuvo su nombre el teorema de la no clonación". Fortschritte der Physik . 51 (45): 458–461. arXiv : quant-ph/0205076 . Código Bib : 2003ParaPh..51..458P. doi :10.1002/prop.200310062. S2CID  16588882.
7. Káiser, David (2011). Cómo los hippies salvaron la física: ciencia, contracultura y renacimiento cuántico . WW Norton . ISBN 978-0-393-07636-3.
8. Herbert, Nick (1982). "FLASH: un comunicador superluminal basado en un nuevo tipo de medición cuántica". Fundamentos de la Física . 12 (12): 1171-1179. Código bibliográfico : 1982FoPh...12.1171H. doi :10.1007/BF00729622. S2CID  123118337.
9. Ghirardi, GianCarlo (2013), "Entanglement, Nonlocality, Superluminal Signaling and Cloning", en Bracken, Paul (ed.), Advances in Quantum Mechanics , IntechOpen (publicado el 3 de abril de 2013), arXiv : 1305.2305 , doi :10.5772 /56429, ISBN 978-953-51-1089-7, S2CID  118778014
10. Ortigoso, Juan (2018). "Doce años antes del teorema cuántico de no clonación". Revista Estadounidense de Física . 86 (3): 201–205. arXiv : 1707.06910 . Código Bib : 2018AmJPh..86..201O. doi : 10.1119/1.5021356. S2CID  119192142.
11. Barnum, Howard; Cuevas, Carlton M.; Fuchs, Christopher A.; Jozsa, Richard; Schumacher, Benjamín (8 de abril de 1996). "No se pueden transmitir estados mixtos sin desplazamientos". Cartas de revisión física . 76 (15): 2818–2821. arXiv : quant-ph/9511010 . Código bibliográfico : 1996PhRvL..76.2818B. doi : 10.1103/PhysRevLett.76.2818. PMID  10060796. S2CID  11724387.
12. Kalev, Amir; Gallina, Italia (29 de mayo de 2008). "Teorema de no radiodifusión y su contraparte clásica". Cartas de revisión física . 100 (21): 210502. arXiv : 0704.1754 . Código bibliográfico : 2008PhRvL.100u0502K. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.210502. PMID  18518590. S2CID  40349990.
13. Noor, Mah; Duda, Jarek (2024). "Teorema de no clonación para 2WQC y postselección". arXiv : 2407.15623 [cuántico-ph].
14. Ahn, Doyeol; Myers, Casey; Ralph, Timoteo; Mann, Robert (2013). "Clonación en estado cuántico en presencia de una curva temporal cerrada". Revisión física A. 88 (2). arXiv : 1207.6062 . doi : 10.1103/PhysRevA.88.022332.
15. Bae, Joonwoo; Kwek, Leong-Chuan (27 de febrero de 2015). "Discriminación estatal cuántica y sus aplicaciones". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 48 (8): 083001. arXiv : 1707.02571 . Código Bib : 2015JPhA...48h3001B. doi :10.1088/1751-8113/48/8/083001. ISSN  1751-8113. S2CID  119199057.
16. S. Abramsky, "No clonación en mecánica cuántica categórica", (2008) Técnicas semánticas para la computación cuántica , I. Mackie y S. Gay (eds), Cambridge University Press. arXiv : 0910.2401
17. Bužek, V.; Hilléry, M. (1996). "Copia cuántica: más allá del teorema de la no clonación". Física. Rev. A. 54 (3): 1844–1852. arXiv : quant-ph/9607018 . Código bibliográfico : 1996PhRvA..54.1844B. doi :10.1103/PhysRevA.54.1844. PMID  9913670. S2CID  1446565.

Otras fuentes

• V. Buzek y M. Hillery, Clonación cuántica , Physics World 14 (11) (2001), págs.