En matemáticas , la categoría Rel tiene como objetos la clase de conjuntos y como morfismos las relaciones binarias .
Un morfismo (o flecha) R : A → B en esta categoría es una relación entre los conjuntos A y B , por lo tanto R ⊆ A × B .
La composición de dos relaciones R : A → B y S : B → C está dada por
A Rel también se le ha llamado la "categoría de correspondencias de conjuntos". [2]
La categoría Rel tiene como subcategoría (amplia) la categoría de conjuntos Set , donde la flecha f : X → Y en Set corresponde a la relación F ⊆ X × Y definida por ( x , y ) ∈ F ⇔ f ( x ) = y . [nota 1] [3]
Un morfismo en Rel es una relación, y el morfismo correspondiente en la categoría opuesta a Rel tiene las flechas invertidas, por lo que es la relación inversa . Por lo tanto, Rel contiene su opuesto y es autodual . [4]
La involución representada al tomar la relación inversa proporciona la daga para hacer de Rel una categoría de daga .
La categoría tiene dos funtores en sí misma dados por el funtor hom : Una relación binaria R ⊆ A × B y su transpuesta R T ⊆ B × A pueden estar compuestas como RR T o como R T R . La primera composición da como resultado una relación homogénea en A y la segunda en B . Dado que las imágenes de estos funtores hom están en Rel mismo, en este caso hom es un funtor hom interno . Con su funtor hom interno, Rel es una categoría cerrada y, además, una categoría compacta de dagger .
La categoría Rel puede obtenerse a partir de la categoría Set como la categoría de Kleisli para la mónada cuyo funtor corresponde al conjunto potencia , interpretado como un funtor covariante.
Quizás un poco sorprendente a primera vista es el hecho de que el producto en Rel está dado por la unión disjunta [4] : 181 (en lugar del producto cartesiano como en Set ), y también lo está el coproducto .
Rel es monoidal cerrado , si se define tanto el producto monoidal A ⊗ B como el hom interno A ⇒ B por el producto cartesiano de conjuntos. También es una categoría monoidal si se define el producto monoidal por la unión disjunta de conjuntos. [5]
La categoría Rel fue el prototipo de la estructura algebraica llamada alegoría por Peter J. Freyd y Andre Scedrov en 1990. [6] Partiendo de una categoría regular y un funtor F : A → B , se observan propiedades del funtor inducido Rel( A,B ) → Rel( FA, FB ). Por ejemplo, conserva la composición, la conversión y la intersección. Dichas propiedades se utilizan luego para proporcionar axiomas para una alegoría.
David Rydeheard y Rod Burstall consideran que Rel tiene objetos que son relaciones homogéneas. Por ejemplo, A es un conjunto y R ⊆ A × A es una relación binaria en A . Los morfismos de esta categoría son funciones entre conjuntos que preservan una relación: digamos que S ⊆ B × B es una segunda relación y f : A → B es una función tal que entonces f es un morfismo. [7]
La misma idea es propuesta por Adamek, Herrlich y Strecker, donde designan los objetos ( A, R ) y ( B, S ), conjunto y relación. [8]
