Categoría Dagger Compact

Categoría especial de daga que es compacta.

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , las categorías compactas de daga (o categorías cerradas compactas de daga ) aparecieron por primera vez en 1989 en el trabajo de Sergio Doplicher y John E. Roberts sobre la reconstrucción de grupos topológicos compactos a partir de su categoría de representaciones unitarias continuas de dimensión finita (es decir, categorías tannakianas ). ^[1] También aparecieron en el trabajo de John Baez y James Dolan como una instancia de n -categorías semiestrictas k -tuplicamente monoidales , que describen teorías cuánticas de campos topológicos generales , ^[2] para n = 1 y k = 3. Son una estructura fundamental en la mecánica cuántica categórica de Samson Abramsky y Bob Coecke . ^{[3] [4] [5]}

Descripción general

Las categorías compactas de daga se pueden utilizar para expresar y verificar algunos protocolos fundamentales de información cuántica , a saber: teletransportación , teletransportación de puerta lógica e intercambio de entrelazamiento , y nociones estándar como unitaridad, producto interno, traza, dualidad de Choi-Jamiolkowsky , positividad completa , estados de Bell y muchas otras nociones son capturadas por el lenguaje de las categorías compactas de daga. ^[3] Todo esto se desprende del teorema de completitud, a continuación. La mecánica cuántica categórica toma las categorías compactas de daga como una estructura de fondo en relación con la cual otras nociones mecánicas cuánticas como los observables cuánticos y la complementariedad de los mismos pueden definirse de forma abstracta. Esto forma la base para un enfoque de alto nivel para el procesamiento de información cuántica .

Definición formal

Una categoría compacta de daga es una categoría monoidal simétrica de daga que también es compacta cerrada , junto con una relación para unir la estructura de daga con la estructura compacta. Específicamente, la daga se utiliza para conectar la unidad con el counit, de modo que, para todo en , el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Categoría Dagger Compact

Para resumir todos estos puntos:

• Una categoría está cerrada si tiene un funtor hom interno ; es decir, si el conjunto hom de morfismos entre dos objetos de la categoría es un objeto de la categoría misma (en lugar de un conjunto ).
• Una categoría es monoidal si está dotada de un bifuntor asociativo que es asociativo, natural y tiene identidades izquierda y derecha que obedecen a ciertas condiciones de coherencia . ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• Una categoría monoidal es monoidal simétrica si, para cada par A , B de objetos en C , existe un isomorfismo que es natural tanto en A como en B , y, nuevamente, obedece ciertas condiciones de coherencia (ver categoría monoidal simétrica para más detalles). ${\displaystyle \sigma _{A,B}:A\otimes B\simeq B\otimes A}$
• Una categoría monoidal es compacta y cerrada si cada objeto tiene un objeto dual . Las categorías con objetos duales están dotadas de dos morfismos, el unit y el counit , que satisfacen ciertas condiciones de coherencia o de tracción. ${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$
• Una categoría es una categoría de daga si está equipada con un funtor involutivo que es la identidad de los objetos, pero asigna morfismos a sus adjuntos. ${\displaystyle \dagger \colon \mathbf {C} ^{op}\rightarrow \mathbf {C} }$
• Una categoría monoidal es simétrica de daga si es una categoría de daga y es simétrica, y tiene condiciones de coherencia que hacen que los diversos funtores sean naturales.

Una categoría compacta de daga es entonces una categoría que es cada una de las anteriores y, además, tiene una condición para relacionar la estructura de daga con la estructura compacta. Esto se hace relacionando la unidad con el conteo a través de la daga:

${\displaystyle \sigma _{A,A^{*}}\circ \varepsilon _{A}^{\dagger }=\eta _{A}}$

como se muestra en el diagrama de conmutación anterior. En la categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita, esta última condición puede entenderse como la definición de la daga (el conjugado hermítico) como la transpuesta del conjugado complejo.

Ejemplos

Las siguientes categorías son dagas compactas.

• La categoría FdHilb de espacios de Hilbert de dimensión finita y aplicaciones lineales . Los morfismos son operadores lineales entre espacios de Hilbert. El producto es el producto tensorial habitual y la daga aquí es el conjugado hermítico .
• La categoría Rel de Conjuntos y relaciones . El producto es, por supuesto, el producto cartesiano . La daga aquí es justamente lo opuesto .
• La categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo conmutativo . La daga aquí es simplemente la matriz transpuesta .
• La categoría nCob de cobordismos . Aquí, los cobordismos n-dimensionales son los morfismos, la unión disjunta es el tensor y la inversión de los objetos (variedades cerradas) es la daga. Una teoría cuántica de campos topológica puede definirse como un funtor de nCob en FdHilb . ^[6]
• La categoría Span ( C ) de tramos para cualquier categoría C con límites finitos .

Los espacios de Hilbert de dimensión infinita no son compactos en forma de daga y se describen mediante categorías monoidales simétricas en forma de daga .

Teoremas estructurales

Selinger demostró que las categorías compactas de daga admiten un lenguaje diagramático de estilo Joyal-Street ^[7] y demostró que las categorías compactas de daga son completas con respecto a los espacios de Hilbert de dimensión finita ^{[8] [9]} es decir, un enunciado ecuacional en el lenguaje de las categorías compactas de daga se cumple si y solo si se puede derivar en la categoría concreta de los espacios de Hilbert de dimensión finita y los mapas lineales. No existe completitud análoga para Rel o nCob .

Este resultado de completitud implica que varios teoremas de los espacios de Hilbert se extienden a esta categoría. Por ejemplo, el teorema de no clonación implica que no existe un morfismo de clonación universal. ^[10] La completitud también implica características mucho más mundanas: a las categorías compactas de dagger se les puede dar una base de la misma manera que un espacio de Hilbert puede tener una base. Los operadores se pueden descomponer en la base; los operadores pueden tener vectores propios, etc. Esto se analiza en la siguiente sección.

Base

El teorema de completitud implica que las nociones básicas de los espacios de Hilbert se trasladan a cualquier categoría compacta de daga. Sin embargo, el lenguaje típico empleado cambia. La noción de base se da en términos de una coálgebra . Dado un objeto A de una categoría compacta de daga, una base es un objeto comonoide . Las dos operaciones son un morfismo de copia o comultiplicación δ: A → A ⊗ A que es coconmutativo y coasociativo, y una operación de eliminación o morfismo de counit ε: A → I . En conjunto, estos obedecen a cinco axiomas: ^[11] ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

Comultiplicatividad:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \varepsilon )\circ \delta =1_{A}=(\varepsilon \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Coasociatividad:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \delta )\circ \delta =(\delta \otimes 1_{A})\circ \delta }$

Co-conmutatividad:

${\displaystyle \sigma _{A,A}\circ \delta =\delta }$

Isometría:

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ \delta =1_{A}}$

Ley de Frobenius :

${\displaystyle (\delta ^{\dagger }\otimes 1_{A})\circ (1_{A}\otimes \delta )=\delta \circ \delta ^{\dagger }}$

Para ver que estas relaciones definen una base de un espacio vectorial en el sentido tradicional, escriba la comultiplicación y el conteo utilizando la notación bra-ket y entendiendo que ahora son operadores lineales que actúan sobre vectores en un espacio de Hilbert H : ${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta :H&\to H\otimes H\\|j\rangle &\mapsto |j\rangle \otimes |j\rangle =|jj\rangle \\\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon :H&\to \mathbb {C} \\|j\rangle &\mapsto 1\\\end{aligned}}}$

Los únicos vectores que pueden satisfacer los cinco axiomas anteriores deben ser ortogonales entre sí; la counidad especifica entonces de forma única la base. Los nombres sugerentes de copia y eliminación para los operadores de comultiplicación y counidad provienen de la idea de que el teorema de no clonación y el teorema de no eliminación establecen que los únicos vectores que es posible copiar o eliminar son los vectores de base ortogonales. ${\displaystyle |j\rangle }$

Resultados generales

Dada la definición anterior de base, se pueden establecer varios resultados para espacios de Hilbert para categorías de daga compactas. A continuación, enumeramos algunos de ellos, tomados de ^[11] a menos que se indique lo contrario.

• También se puede entender que una base corresponde a un observable , en el sentido de que un observable dado se factoriza en vectores base (ortogonales). Es decir, un observable está representado por un objeto A junto con los dos morfismos que definen una base: . ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$
• Un estado propio del observable es cualquier objeto para el cual ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \delta \circ \psi =\psi \otimes \psi }$

Los estados propios son ortogonales entre sí. ^{[ aclaración necesaria ]}

• Un objeto es complementario al observable si ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ ({\overline {\psi }}\otimes \psi )=\varepsilon ^{\dagger }}$

(En mecánica cuántica, se dice que un vector de estado es complementario a un observable si cualquier resultado de medición es equiprobable, es decir, un estado propio de espín de S _x es equiprobable cuando se mide en la base S _z , o los estados propios de momento son equiprobables cuando se miden en la base de posición). ${\displaystyle \psi }$

• Dos observables y son complementarios si ${\displaystyle (A,\delta _{X},\varepsilon _{X})}$ ${\displaystyle (A,\delta _{Z},\varepsilon _{Z})}$

${\displaystyle \delta _{Z}^{\dagger }\circ \delta _{X}=\varepsilon _{Z}\circ \varepsilon _{X}^{\dagger }}$

• Los objetos complementarios generan transformaciones unitarias . Es decir,

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ (\psi \otimes 1_{A})}$

es unitario si y sólo si es complementario al observable ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

Referencias

1. Doplicher, S.; Roberts, J. (1989). "Una nueva teoría de dualidad para grupos compactos". Invent. Math . 98 : 157–218. Bibcode :1989InMat..98..157D. doi :10.1007/BF01388849. S2CID  120280418.
2. Baez, JC; Dolan, J. (1995). "Álgebra de dimensiones superiores y teoría cuántica de campos topológica". J. Math. Phys . 36 (11): 6073–6105. arXiv : q-alg/9503002 . Código Bibliográfico : 1995JMP....36.6073B. CiteSeerX 10.1.1.269.4681 . doi : 10.1063/1.531236. S2CID  14908618. 
3. Abramsky, S. ; Coecke, B. (2004). "Una semántica categórica de los protocolos cuánticos". Actas de la 19.ª conferencia IEEE sobre lógica en informática (LiCS'04) . IEEE. págs. 415–425. arXiv : quant-ph/0402130 . CiteSeerX 10.1.1.330.7289 . doi :10.1109/LICS.2004.1319636. ISBN.  0-7695-2192-4.S2CID 1980118  .
4. Abramsky, S.; Coecke, B. (2009). "Mecánica cuántica categórica". En Engesser, K.; Gabbay, DM; Lehmann, D. (eds.). Manual de lógica cuántica y estructuras cuánticas . Elsevier. págs. 261–323. arXiv : 0808.1023 . ISBN. 978-0-08-093166-1.
5. Abramsky y Coecke utilizaron el término categorías cerradas fuertemente compactas, ya que una categoría compacta de daga es una categoría cerrada compacta aumentada con un endofunctor monoidal involutivo covariante.
6. Atiyah, M. (1989). "Teorías topológicas de campos cuánticos" (PDF) . Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math . 68 : 175–186. doi :10.1007/BF02698547. S2CID  121647908.
7. Selinger, Peter (2007). "Categorías cerradas compactas de Dagger y mapas completamente positivos: (Resumen ampliado)". Notas electrónicas en informática teórica . 170 (Actas del 3.er taller internacional sobre lenguajes de programación cuántica (QPL 2005)): 139–163. CiteSeerX 10.1.1.84.8476 . doi :10.1016/j.entcs.2006.12.018. 
8. Selinger, P. (2011). "Los espacios de Hilbert de dimensión finita son completos para categorías cerradas compactas de dagger". Notas electrónicas en informática teórica . 270 (Actas del 5.º taller internacional conjunto sobre física y lógica cuánticas y del 4.º taller sobre desarrollos en modelos computacionales (QPL/DCM 2008)): 113–9. arXiv : 1207.6972 . CiteSeerX 10.1.1.749.4436 . doi :10.1016/j.entcs.2011.01.010. 
9. Hasegawa, M.; Hofmann, M.; Plotkin, G. (2008). "Los espacios vectoriales de dimensión finita son completos para categorías monoidales simétricas trazadas". En Avron, A.; Dershowitz, N.; Rabinovich, A. (eds.). Pilares de la informática . Apuntes de clase en informática. Vol. 4800. Springer. págs. 367–385. CiteSeerX 10.1.1.443.3495 . doi :10.1007/978-3-540-78127-1_20. ISBN .  978-3-540-78127-1.S2CID 15045491  .
10. Abramsky, S. (2010). "No-Cloning in categórica quantum mechanical". En Mackie, I.; Gay, S. (eds.). Semantic Techniques for Quantum Computation . Cambridge University Press. págs. 1–28. ISBN 978-0-521-51374-6.
11. Coecke, Bob (2009). "Picturalismo cuántico". Física contemporánea . 51 : 59–83. arXiv : 0908.1787 . doi :10.1080/00107510903257624. S2CID  752173.

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