Categoría cerrada compacta

Tipo especial de categoría con "objetos duales"

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , las categorías cerradas compactas son un contexto general para tratar objetos duales . La idea de un objeto dual generaliza el concepto más familiar de dual de un espacio vectorial de dimensión finita . Por lo tanto, el ejemplo motivador de una categoría cerrada compacta es FdVect , la categoría que tiene espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y aplicaciones lineales como morfismos , con producto tensorial como estructura monoidal . Otro ejemplo es Rel , la categoría que tiene conjuntos como objetos y relaciones como morfismos, con estructura monoidal cartesiana .

Categoría cerrada compacta simétrica

Una categoría monoidal simétrica es compacta y cerrada si cada objeto tiene un objeto dual . Si esto es así, el objeto dual es único hasta el isomorfismo canónico y se denota . ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$ ${\displaystyle A^{*}}$

Con un poco más de detalle, un objeto se llama dual de si está equipado con dos morfismos llamados unidad y counit , que satisfacen las ecuaciones ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$

${\displaystyle \lambda _{A}\circ (\varepsilon _{A}\otimes A)\circ \alpha _{A,A^{*},A}^{-1}\circ (A\otimes \eta _{A})\circ \rho _{A}^{-1}=\mathrm {id} _{A}}$

y

${\displaystyle \rho _{A^{*}}\circ (A^{*}\otimes \varepsilon _{A})\circ \alpha _{A^{*},A,A^{*}}\circ (\eta _{A}\otimes A^{*})\circ \lambda _{A^{*}}^{-1}=\mathrm {id} _{A^{*}},}$

donde están la introducción de la unidad a la izquierda y derecha, respectivamente, y es el asociador. ${\displaystyle \lambda ,\rho }$ ${\displaystyle \alpha }$

Para mayor claridad, reescribimos las composiciones anteriores en forma de diagrama. Para que sean compactas y cerradas, necesitamos que las siguientes composiciones sean iguales a : ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$

${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta }}A\otimes (A^{*}\otimes A){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes A^{*})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon \otimes A}}I\otimes A{\xrightarrow {\cong }}A}$

y : ${\displaystyle \mathrm {id} _{A^{*}}}$

${\displaystyle A^{*}{\xrightarrow {\cong }}I\otimes A^{*}{\xrightarrow {\eta \otimes A^{*}}}(A^{*}\otimes A)\otimes A^{*}{\xrightarrow {\cong }}A^{*}\otimes (A\otimes A^{*}){\xrightarrow {A^{*}\otimes \epsilon }}A^{*}\otimes I{\xrightarrow {\cong }}A^{*}}$

Definición

En términos más generales, supongamos que es una categoría monoidal , no necesariamente simétrica, como en el caso de una gramática de pregrupo . La noción anterior de tener un dual para cada objeto A se reemplaza por la de tener tanto un adjunto izquierdo como uno derecho , y , con una unidad izquierda correspondiente , una unidad derecha , un counit izquierdo y un counit derecho . Estos deben satisfacer las cuatro condiciones de extracción , cada una de las cuales son identidades: ${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I)}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A^{l}}$ ${\displaystyle A^{r}}$ ${\displaystyle \eta _{A}^{l}:I\to A\otimes A^{l}}$ ${\displaystyle \eta _{A}^{r}:I\to A^{r}\otimes A}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{l}:A^{l}\otimes A\to I}$ ${\displaystyle \varepsilon _{A}^{r}:A\otimes A^{r}\to I}$

${\displaystyle A\to A\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{r}}}A\otimes (A^{r}\otimes A)\to (A\otimes A^{r})\otimes A{\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}I\otimes A\to A}$

${\displaystyle A\to I\otimes A{\xrightarrow {\eta ^{l}}}(A\otimes A^{l})\otimes A\to A\otimes (A^{l}\otimes A){\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}A\otimes I\to A}$

y

${\displaystyle A^{r}\to I\otimes A^{r}{\xrightarrow {\eta ^{r}}}(A^{r}\otimes A)\otimes A^{r}\to A^{r}\otimes (A\otimes A^{r}){\xrightarrow {\epsilon ^{r}}}A^{r}\otimes I\to A^{r}}$

${\displaystyle A^{l}\to A^{l}\otimes I{\xrightarrow {\eta ^{l}}}A^{l}\otimes (A\otimes A^{l})\to (A^{l}\otimes A)\otimes A^{l}{\xrightarrow {\epsilon ^{l}}}I\otimes A^{l}\to A^{l}}$

Es decir, en el caso general, una categoría cerrada compacta es rígida tanto hacia la izquierda como hacia la derecha y bicerrada .

Las categorías cerradas compactas no simétricas encuentran aplicaciones en lingüística , en el área de las gramáticas categoriales y, específicamente, en las gramáticas de pregrupos , donde se requieren los adjuntos izquierdo y derecho distintos para capturar el orden de las palabras en las oraciones. En este contexto, las categorías cerradas compactas monoidales se denominan pregrupos ( de Lambek ) .

Propiedades

Las categorías cerradas compactas son un caso especial de categorías cerradas monoidales , que a su vez son un caso especial de categorías cerradas .

Las categorías cerradas compactas son precisamente las categorías autónomas simétricas . También son *-autónomas .

Toda categoría compacta cerrada C admite una traza . Es decir, para cada morfismo , se puede definir ${\displaystyle f:A\otimes C\to B\otimes C}$

${\displaystyle \mathrm {Tr_{A,B}^{C}} (f)=\rho _{B}\circ (id_{B}\otimes \varepsilon _{C})\circ \alpha _{B,C,C^{*}}\circ (f\otimes C^{*})\circ \alpha _{A,C,C^{*}}^{-1}\circ (id_{A}\otimes \eta _{C^{*}})\circ \rho _{A}^{-1}:A\to B}$

que puede demostrarse que es una traza adecuada. Resulta útil dibujarlo esquemáticamente: ${\displaystyle A{\xrightarrow {\cong }}A\otimes I{\xrightarrow {A\otimes \eta _{C^{*}}}}A\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {\cong }}(A\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\;\;f\otimes C^{*}\;\;}}(B\otimes C)\otimes C^{*}{\xrightarrow {\cong }}B\otimes (C\otimes C^{*}){\xrightarrow {B\otimes \varepsilon _{C}}}B\otimes I{\xrightarrow {\cong }}B.}$

Ejemplos

El ejemplo canónico es la categoría FdVect con espacios vectoriales de dimensión finita como objetos y aplicaciones lineales como morfismos. Aquí tenemos el dual habitual del espacio vectorial . ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$

La categoría de representaciones de dimensión finita de cualquier grupo también es compacta y cerrada.

La categoría Vect , con todos los espacios vectoriales como objetos y los mapas lineales como morfismos, no es cerrada compacta; es cerrada monoidal simétrica.

Categoría simplex

La categoría simplex se puede utilizar para construir un ejemplo de categoría cerrada compacta no simétrica. La categoría simplex es la categoría de ordinales finitos distintos de cero (considerados como conjuntos totalmente ordenados ); sus morfismos son funciones que preservan el orden ( monótonas ). La convertimos en una categoría monoidal al pasar a la categoría flecha , de modo que los objetos son morfismos de la categoría original y los morfismos son cuadrados conmutativos . Entonces, el producto tensorial de la categoría flecha es el operador de composición original. Los adjuntos izquierdo y derecho son los operadores min y max; específicamente, para una función monótona f, se tiene el adjunto derecho

${\displaystyle f^{r}(n)=\sup\{m\in \mathbb {N} \mid f(m)\leq n\}}$

y el adjunto izquierdo

${\displaystyle f^{l}(n)=\inf\{m\in \mathbb {N} \mid n\leq f(m)\}}$

Las unidades y conteos izquierdos y derechos son:

${\displaystyle {\mbox{id}}\leq f\circ f^{l}\qquad {\mbox{(left unit)}}}$

${\displaystyle \,{\mbox{id}}\leq f^{r}\circ f\quad \ \ \ {\mbox{(right unit)}}}$

${\displaystyle f^{l}\circ f\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(left counit)}}}$

${\displaystyle f\circ f^{r}\leq {\mbox{id}}\qquad {\mbox{(right counit)}}}$

Una de las condiciones de arranque es entonces

${\displaystyle f=f\circ {\mbox{id}}\leq f\circ (f^{r}\circ f)=(f\circ f^{r})\circ f\leq {\mbox{id}}\circ f=f.}$

Los demás siguen un patrón similar. La correspondencia se puede hacer más clara escribiendo la flecha en lugar de y usando para la composición de funciones . ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \circ }$

Categoría Dagger Compact

Una categoría monoidal simétrica de daga que es compacta y cerrada es una categoría compacta de daga .

Categoría rígida

Una categoría monoidal que no es simétrica, pero que por lo demás obedece a los axiomas de dualidad anteriores, se conoce como categoría rígida . Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo (o derecho) también se denomina a veces categoría autónoma izquierda (o derecha) . Una categoría monoidal en la que cada objeto tiene un dual izquierdo y uno derecho se denomina a veces categoría autónoma . Una categoría autónoma que también es simétrica es entonces una categoría cerrada compacta.

Referencias

Kelly, GM ; Laplaza, ML (1980). "Coherencia para categorías cerradas compactas". Journal of Pure and Applied Algebra . 19 : 193–213. doi :10.1016/0022-4049(80)90101-2.