Teorema de la clase monótona

En teoría de la medida y probabilidad , el teorema de la clase monótona conecta las clases monótonas y las 𝜎-álgebras . El teorema dice que la clase monótona más pequeña que contiene un álgebra de conjuntos es precisamente la 𝜎-álgebra más pequeña que contiene  . Se utiliza como un tipo de inducción transfinita para demostrar muchos otros teoremas, como el teorema de Fubini . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Definición de una clase monótona

AUna clase monótona es unafamilia(es decir, una clase)de conjuntos que estácerradabajo uniones monótonas numerables y también bajo intersecciones monótonas numerables. Explícitamente, esto significa quetiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

1. si y entonces y ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in M}$ ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots }$ ${\textstyle {\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }}A_{i}\in M,}$
2. Si y entonces ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in M}$ ${\displaystyle B_{1}\supseteq B_{2}\supseteq \cdots }$ ${\textstyle {\textstyle \bigcap \limits _{i=1}^{\infty }}B_{i}\in M.}$

Teorema de clase monótona para conjuntos

Teorema de clase monótona para conjuntos  —  Sea un álgebra de conjuntos y definamos como la clase monótona más pequeña que contiene Entonces es precisamente el álgebra 𝜎 generada por ; es decir ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M(G)}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle M(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma (G)=M(G).}$

Teorema de clase monótona para funciones

Teorema de clase monótona para funciones  —  Sea un sistema π que contiene y sea una colección de funciones de a con las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. Si entonces donde denota la función indicadora de ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle A.}$
2. Si y entonces y ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle cf\in {\mathcal {H}}.}$
3. Si es una secuencia de funciones no negativas que aumentan hasta una función acotada, entonces ${\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}.}$

Entonces contiene todas las funciones acotadas que son medibles con respecto a las cuales es el álgebra 𝜎 generada por ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}}),}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

Prueba

El siguiente argumento se origina en Probabilidad: teoría y ejemplos de Rick Durrett . ^[1]

Prueba

Las suposiciones (2) y (3) implican que es un sistema 𝜆. Por (1) y el teorema π −𝜆 , la afirmación (2) implica que contiene todas las funciones simples, y luego (3) implica que contiene todas las funciones acotadas medibles con respecto a ${\displaystyle \Omega \,\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{A:\mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}\right\}}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})\subseteq {\mathcal {G}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}}).}$

Resultados y aplicaciones

Como corolario, si es un anillo de conjuntos , entonces la clase monótona más pequeña que lo contiene coincide con el anillo 𝜎 de ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$

Al invocar este teorema, se pueden utilizar clases monótonas para ayudar a verificar que una determinada colección de subconjuntos es una 𝜎-álgebra .

El teorema de clase monótona para funciones puede ser una herramienta poderosa que permite generalizar enunciados sobre clases de funciones particularmente simples a funciones arbitrarias, acotadas y mensurables.

Véase también

• Sistema Dynkin  – Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contables
• Teorema π -  𝜆 – Familia cerrada bajo complementos y uniones disjuntas contablesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Sistema π  – Familia de conjuntos cerrados bajo intersección
• σ-álgebra  – Estructura algebraica del álgebra de conjuntos

Citas

1. Durrett, Rick (2010). Probabilidad: teoría y ejemplos (4.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 276. ISBN 978-0521765398.

Referencias

• Durrett, Richard (2019). Probabilidad: teoría y ejemplos (PDF) . Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Vol. 49 (5.ª ed.). Cambridge Nueva York, NY: Cambridge University Press . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . Consultado el 5 de noviembre de 2020 .