Gramática pregrupal

La gramática de pregrupos (PG) es un formalismo gramatical íntimamente relacionado con las gramáticas categoriales . Al igual que la gramática categorial (CG), la PG es un tipo de gramática lógica de tipos. Sin embargo, a diferencia de la CG, la PG no tiene un tipo de función distinguida. En cambio, la PG utiliza tipos inversos combinados con su operación monoidal.

Definición de pregrupo

Un pregrupo es un álgebra parcialmente ordenada tal que es un monoide , que satisface las siguientes relaciones: ${\displaystyle (A,1,\cdot ,-^{l},-^{r},\leq )}$ ${\displaystyle (A,1,\cdot )}$

• ${\displaystyle x^{l}\cdot x\leq 1\qquad x\cdot x^{r}\leq 1}$     (contracción)
• ${\displaystyle 1\leq x\cdot x^{l}\qquad 1\leq x^{r}\cdot x}$     (expansión)

Las relaciones de contracción y expansión a veces se denominan leyes de Ajdukiewicz .

De esto se puede demostrar que se cumplen las siguientes ecuaciones:

• ${\displaystyle 1^{l}=1=1^{r}}$
• ${\displaystyle x^{lr}=x=x^{rl}}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)^{l}=y^{l}\cdot x^{l}\qquad (x\cdot y)^{r}=y^{r}\cdot x^{r}}$

${\displaystyle x^{l}}$y se denominan adjuntos izquierdo y derecho de x , respectivamente. ${\displaystyle x^{r}}$

Los símbolos y también se escriben y respectivamente. En teoría de categorías , los pregrupos también se conocen como categorías autónomas ^{[1] o} categorías cerradas compactas (no simétricas) . ^[2] Más típicamente, solo se representarán por adyacencia, es decir, como . ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle x\cdot y}$ ${\displaystyle xy}$

Definición de una gramática de pregrupo

Una gramática de pregrupos consiste en un léxico de palabras (y posiblemente morfemas ) L , un conjunto de tipos atómicos T que genera libremente un pregrupo y una relación que relaciona las palabras con los tipos. En gramáticas de pregrupos simples, la tipificación es una función que asigna las palabras a un solo tipo cada una. ${\displaystyle :}$

Ejemplos

Algunos ejemplos simples e intuitivos que utilizan el inglés como idioma para modelar demuestran los principios básicos detrás de los pregrupos y su uso en dominios lingüísticos.

Sea L = { Juan, María, el, perro, gato, conoció, ladró, a }, sea T = { N, S, N ₀ }, y sea válida la siguiente relación de tipificación:

${\displaystyle {\textit {John}}:N\qquad {\textit {Mary}}:N\qquad {\textit {the}}:N\cdot N_{0}^{l}\qquad {\textit {dog}}:N_{0}\qquad {\textit {cat}}:N_{0}}$

${\displaystyle {\textit {met}}:N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\qquad {\textit {barked}}:N^{r}\cdot S\qquad {\textit {at}}:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}}$

Se dice que una oración S que tiene tipo T es gramatical si . Podemos demostrarlo mediante el uso de una cadena de . Por ejemplo, podemos demostrar que es gramatical demostrando que : ${\displaystyle T\leq S}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\textit {John}}\ {\textit {met}}\ {\textit {Mary}}:N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N}$ ${\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N\leq S}$

${\displaystyle N\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S\cdot N^{l}\cdot N~\leq ~S}$

primero usando la contracción en y luego nuevamente en . Sin embargo, existe una notación más conveniente que indica las contracciones conectándolas con un vínculo dibujado entre los tipos de contracción (siempre que los vínculos estén anidados, es decir, no se crucen). Las palabras también se colocan típicamente sobre sus tipos para hacer que la prueba sea más intuitiva. La misma prueba en esta notación es simplemente ${\displaystyle N\cdot N^{r}}$ ${\displaystyle N^{l}\cdot N}$

Un ejemplo más complejo demuestra que el perro le ladró al gato es gramatical:

Notas históricas

Las gramáticas de pregrupos fueron introducidas por Joachim Lambek en 1993 como un desarrollo de su cálculo sintáctico , reemplazando los cocientes por adjuntos. ^[3] Estos adjuntos ya habían sido utilizados anteriormente por Harris pero sin adjuntos iterados ni reglas de expansión. Agregar estos adjuntos fue interesante para manejar casos lingüísticos más complejos, donde se necesita el hecho de que. También estuvo motivado por un punto de vista más algebraico: la definición de un pregrupo es un debilitamiento de la de un grupo , introduciendo una distinción entre las inversas izquierda y derecha y reemplazando la igualdad por un orden. Este debilitamiento era necesario porque el uso de tipos de un grupo libre no funcionaría: un adjetivo obtendría el tipo , por lo tanto, podría insertarse en cualquier posición en la oración. ^[4] ${\displaystyle a^{ll}\neq a}$ ${\displaystyle N\cdot N^{-1}=1}$

Las gramáticas de pregrupos se han definido y estudiado para varios idiomas (o fragmentos de ellos), incluidos inglés , ^[5] italiano , ^[6] francés , ^[7] persa ^[8] y sánscrito . ^[9] Los idiomas con un orden de palabras relativamente libre, como el sánscrito, requirieron introducir relaciones de conmutación en el pregrupo, utilizando la preciclicidad.

Semántica de las gramáticas pregrupales

Debido a la falta de tipos de funciones en PG, el método habitual de dar una semántica a través del cálculo λ o mediante denotaciones de funciones no está disponible de ninguna manera obvia. En cambio, existen dos métodos diferentes, un método puramente formal que corresponde al cálculo λ y un método denotacional análogo a (un fragmento de) las matemáticas tensoriales de la mecánica cuántica .

Semántica puramente formal

La semántica puramente formal de PG consiste en un lenguaje lógico definido según las siguientes reglas:

• Dado un conjunto de términos atómicos T = { a , b , ...} y símbolos de función atómica F = { f _m , g _n , ...} (donde los subíndices son metanotacionales que indican aridad), y variables x , y , ..., todas las constantes, variables y aplicaciones de función bien formadas son términos básicos (una aplicación de función está bien formada cuando el símbolo de función se aplica a la cantidad apropiada de argumentos, que pueden extraerse de los términos atómicos, variables o pueden ser otros términos básicos)
• Cualquier término básico es un término
• Dada cualquier variable x , [ x ] es un término
• Dados cualesquiera términos m y n , es un término ${\displaystyle m\cdot n}$

Algunos ejemplos de términos son f ( x ), g ( a , h ( x , y )), . Una variable x es libre en un término t si [ x ] no aparece en t , y un término sin variables libres es un término cerrado. Los términos se pueden tipificar con tipos preagrupados de la manera obvia. ${\displaystyle g(x,b)\cdot [x]}$

Se aplican las convenciones habituales respecto a la conversión α.

Para un idioma dado, asignamos una tarea I que asigna palabras tipificadas a términos cerrados tipificados de una manera que respeta la estructura de pregrupo de los tipos. Para el fragmento en inglés dado anteriormente, podríamos tener la siguiente tarea (con el conjunto obvio e implícito de términos atómicos y símbolos de función):

${\displaystyle {\begin{aligned}I({\textit {John}}:N)&=j:E\\I({\textit {Mary}}:N)&=m:E\\I(the:N\cdot N_{0}^{l})&=\iota (p)\cdot [p]:E\cdot E_{0}^{l}\\I(dog:N_{0})&=dog:E_{0}\\I(cat:N_{0})&=cat:E_{0}\\I(met:N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot met(x,y)\cdot [y]:E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\\I(barked:N^{r}\cdot S)&=[x]\cdot barked(x):E^{r}\cdot T\\I(at:S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})&=[x]\cdot y\cdot [y]\cdot at(x,z)\cdot [z]:T^{r}\cdot E^{rr}\cdot E^{r}\cdot T\cdot E^{l}\end{aligned}}}$

donde E es el tipo de entidades en el dominio y T es el tipo de valores de verdad.

Junto con esta definición básica de la semántica de PG, también tenemos reglas de reducción que se emplean en paralelo con las reducciones de tipo. Colocando los tipos sintácticos en la parte superior y la semántica debajo, tenemos

Por ejemplo, aplicando esto a los tipos y la semántica de la oración (enfatizando el vínculo que se está reduciendo) ${\displaystyle {\textit {John}}\ {\textit {met}}\ {\textit {Mary}}:N\cdot (N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot N}$

Para la oración : ${\displaystyle {\textit {the}}\ {\textit {dog}}\ {\textit {barked}}\ {\textit {at}}\ {\textit {the}}\ {\textit {cat}}:(N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}\cdot (N^{r}\cdot S)\cdot (S^{r}\cdot N^{rr}\cdot N^{r}\cdot S\cdot N^{l})\cdot (N\cdot N_{0}^{l})\cdot N_{0}}$

Véase también

• Categoría cerrada compacta
• Cálculo de Lambek

Referencias

• Lambek, Joachim (2008). "Gramáticas pregrupales y los primeros ejemplos de Chomsky" (PDF) . Revista de lógica, lenguaje e información . 17 (2): 141–160. doi :10.1007/s10849-007-9053-2. S2CID  30256603.
• Preller, Anna (2007). "Las gramáticas semánticas de pregrupos gestionan las dependencias de larga distancia en francés" (PDF) . Manuscrito .
• Claudia Casadio (2004), Gramática pregrupal. Teoría y aplicaciones

1. Selinger, Peter (2011). "Un estudio de lenguajes gráficos para categorías monoidales". Nuevas estructuras para la física . Apuntes de clase en física. Vol. 813. Springer. págs. 289–233. arXiv : 0908.3347 . Código Bibliográfico :2009arXiv0908.3347S.
2. Preller, Anne; Mehrnoosh Sadrzadeh (2011). "Modelos vectoriales semánticos y modelos funcionales para gramáticas pregrupales" (PDF) . Revista de lógica, lenguaje e información . 20 (4): 419–443. doi :10.1007/s10849-011-9132-2. S2CID  207175357.
3. Lambek, Joachim (1999). "Gramática de tipos revisada". En Alain Lecomte (ed.). Aspectos lógicos de la lingüística computacional . LNAI. Vol. 1582. Heidelberg: Springer. págs. 1–27.
4. Lambek, Joachim (2008). "Gramáticas pregrupales y los primeros ejemplos de Chomsky" (PDF) . Revista de lógica, lenguaje e información . 17 (2): 141–160. doi :10.1007/s10849-007-9053-2. S2CID  30256603.
5. Lambek 2008
6. Casadio, Claudia; Joachim Lambek (2001). "Análisis algebraico de los pronombres clíticos en italiano". Aspectos lógicos de la lingüística computacional . Springer. pp. 110–124. ISBN 3540422730.
7. Preller, Anne; Violaine Prince; et al. (2008). "Gramáticas pregrupales con análisis lineal de la frase verbal francesa" (PDF) . CL2008 : 53–84.
8. Sadrzadeh, Mehrnoosh (2008). "Análisis pregrupal de oraciones persas". Enfoques algebraicos computacionales para el lenguaje natural, Polimetrica, Milán, Italia : 121–144. CiteSeerX 10.1.1.163.5505 . 
9. Casadio, Claudia; Mehrnoosh Sadrzadeh (2014). "Alternancia del orden de las palabras en sánscrito a través de la preciclicidad en gramáticas de pregrupos". En Franck van Breugel; Elham Kashefi ; Catuscia Palamidessi ; Jan Rutten (eds.). Horizontes de la mente. Un tributo a Prakash Panangaden . Apuntes de clase en informática. Vol. 8464. Springer International Publishing. págs. 229–249. ISBN. 978-3-319-06879-4.