Span (teoría de categorías)

En teoría de categorías , un lapso , techo o correspondencia es una generalización de la noción de relación entre dos objetos de una categoría . Cuando la categoría tiene todos los pullbacks (y satisface un pequeño número de otras condiciones), los lapsos pueden considerarse como morfismos en una categoría de fracciones .

La noción de tramo se debe a Nobuo Yoneda (1954) y Jean Bénabou (1967).

Definición formal

Un tramo es un diagrama de tipo , es decir, un diagrama de la forma . ${\displaystyle \Lambda =(-1\leftarrow 0\rightarrow +1),}$ ${\displaystyle Y\leftarrow X\rightarrow Z}$

Es decir, sea Λ la categoría (-1 ← 0 → +1). Entonces un lapso en una categoría C es un funtor S  : Λ →  C . Esto significa que un lapso consta de tres objetos X , Y y Z de C y morfismos f  :  X  →  Y y g  :  X  →  Z : son dos funciones con dominio común .

El colimite de un lapso es un pushout .

Ejemplos

• Si R es una relación entre los conjuntos X e Y (es decir, un subconjunto de X × Y ), entonces X ← R → Y es un espacio, donde los mapas son los mapas de proyección y . ${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{X}}{\to }}X}$ ${\displaystyle X\times Y{\overset {\pi _{Y}}{\to }}Y}$
• Cualquier objeto produce el lapso trivial A ← A → A, donde los mapas son la identidad.
• En términos más generales, sea un morfismo en alguna categoría. Existe un lapso trivial A ← A → B , donde la función de la izquierda es la identidad en A y la función de la derecha es la función dada φ . ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$
• Si M es una categoría modelo , con W el conjunto de equivalencias débiles , entonces los intervalos de la forma donde el morfismo izquierdo está en W, pueden considerarse un morfismo generalizado (es decir, donde uno "invierte las equivalencias débiles"). Nótese que este no es el punto de vista habitual adoptado cuando se trata con categorías modelo. ${\displaystyle X\leftarrow Y\rightarrow Z,}$

Cospanes

Un cospan K en una categoría C es un funtor K : Λ ^op  →  C ; equivalentemente, un funtor contravariante de Λ a C . Es decir, un diagrama de tipo ie, un diagrama de la forma . ${\displaystyle \Lambda ^{\text{op}}=(-1\rightarrow 0\leftarrow +1),}$ ${\displaystyle Y\rightarrow X\leftarrow Z}$

Por lo tanto, consta de tres objetos X , Y y Z de C y morfismos f  :  Y  →  X y g  :  Z  →  X : son dos mapas con codominio común.

El límite de un cospan es un retroceso .

Un ejemplo de un cospan es un cobordismo W entre dos variedades M y N , donde las dos funciones son las inclusiones en W . Nótese que si bien los cobordismos son cospans, la categoría de cobordismos no es una "categoría de cospan": no es la categoría de todos los cospans en "la categoría de variedades con inclusiones en el límite", sino más bien una subcategoría de la misma, ya que el requisito de que M y N formen una partición del límite de W es una restricción global.

La categoría nCob de cobordismos de dimensión finita es una categoría compacta de daga . En términos más generales, la categoría Span ( C ) de los vanos en cualquier categoría C con límites finitos también es compacta de daga.

Véase también

• Relación binaria
• Retroceso (teoría de categorías)
• Pushout (teoría de categorías)
• Cobordismo

Referencias

• lapso en el laboratorio n
• Yoneda, Nobuo (1954). "Sobre la teoría de homología de módulos". J. Fac. Sci. Univ. Tokio Sect. I . 7 : 193–227.
• Bénabou, Jean (1967). "Introducción a las bicategorías". Informes del Midwest Category Seminar . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 47. Springer. págs. 1–77. doi :10.1007/BFb0074299. ISBN. 978-3-540-35545-8.