Teorema de automorfismos de Hurwitz

Limita el orden del grupo de automorfismos de una superficie de Riemann compacta de género g > 1

En matemáticas , el teorema de automorfismos de Hurwitz limita el orden del grupo de automorfismos , a través de aplicaciones conformes que preservan la orientación , de una superficie de Riemann compacta de género g  > 1, afirmando que el número de tales automorfismos no puede exceder 84( g  − 1). Un grupo para el cual se alcanza el máximo se llama grupo de Hurwitz y la superficie de Riemann correspondiente, una superficie de Hurwitz . Debido a que las superficies de Riemann compactas son sinónimos de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares , una superficie de Hurwitz también puede llamarse curva de Hurwitz . ^[1] El teorema recibe su nombre de Adolf Hurwitz , quien lo demostró en (Hurwitz 1893).

El límite de Hurwitz también es válido para curvas algebraicas sobre un cuerpo de característica 0, y sobre cuerpos de característica positiva p > 0 para grupos cuyo orden es coprimo con p , pero puede fallar sobre cuerpos de característica positiva p > 0 cuando p divide el orden del grupo. Por ejemplo, la doble cobertura de la línea proyectiva y ² = x ^p − x ramificada en todos los puntos definidos sobre el cuerpo primo tiene género g =( p −1)/2 pero es actuada por el grupo PGL ₂ ( p ) de orden p ³ − p .

Interpretación en términos de hiperbolicidad

Uno de los temas fundamentales en geometría diferencial es la tricotomía entre las variedades de Riemann de curvatura positiva, cero y negativa K . Se manifiesta en muchas situaciones diversas y en varios niveles. En el contexto de las superficies compactas de Riemann X , a través del teorema de uniformización de Riemann , esto puede verse como una distinción entre las superficies de diferentes topologías:

• X es una esfera , una superficie de Riemann compacta de género cero con K  > 0;
• X un toro plano , o una curva elíptica , una superficie de Riemann de género uno con K  = 0;
• y X una superficie hiperbólica , que tiene género mayor que uno y K  < 0.

Mientras que en los dos primeros casos la superficie X admite infinitos automorfismos conformes (de hecho, el grupo de automorfismos conformes es un grupo de Lie complejo de dimensión tres para una esfera y de dimensión uno para un toro), una superficie de Riemann hiperbólica sólo admite un conjunto discreto de automorfismos. El teorema de Hurwitz afirma que, de hecho, es cierto algo más: proporciona un límite uniforme del orden del grupo de automorfismos en función del género y caracteriza aquellas superficies de Riemann para las que el límite es agudo .

Afirmación y prueba

Teorema : Sea una superficie de Riemann suave y conexa de género . Entonces su grupo de automorfismos tiene tamaño como máximo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle 84(g-1)}$

Prueba: Supongamos por ahora que es finito (esto se demostrará al final). ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (X)}$

• Considérese la función cociente . Puesto que actúa por funciones holomorfas, la función cociente es localmente de la forma y la función cociente es una superficie de Riemann suave. La función cociente es una cubierta ramificada, y veremos a continuación que los puntos de ramificación corresponden a las órbitas que tienen un estabilizador no trivial. Sea el género de . ${\displaystyle X\to X/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle z\to z^{n}}$ ${\displaystyle X/G}$ ${\displaystyle X\to X/G}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle X/G}$
• Por la fórmula de Riemann-Hurwitz , donde la suma es sobre los puntos de ramificación para el mapa de cocientes . El índice de ramificación en es simplemente el orden del grupo estabilizador, ya que donde el número de preimágenes de (el número de puntos en la órbita), y . Por definición de puntos de ramificación, para todos los índices de ramificación. $${\displaystyle 2g-2\ =\ |G|\cdot \left(2g_{0}-2+\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {1}{e_{i}}}\right)\right)}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p_{i}\in X/G}$ ${\displaystyle X\to X/G}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}f_{i}=\deg(X/\,X/G)}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \deg(X/\,X/G)=|G|}$ ${\displaystyle e_{i}\geq 2}$ ${\displaystyle k}$

Ahora llamemos al lado derecho y como debemos tener . Reordenando la ecuación encontramos: ${\displaystyle |G|R}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle R>0}$

• Si entonces , y ${\displaystyle g_{0}\geq 2}$ ${\displaystyle R\geq 2}$ ${\displaystyle |G|\leq (g-1)}$
• Si , entonces y de modo que , ${\displaystyle g_{0}=1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle R\geq 0+1-1/2=1/2}$ ${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
• Si , entonces y ${\displaystyle g_{0}=0}$ ${\displaystyle k\geq 3}$
  • si entonces , de modo que ${\displaystyle k\geq 5}$ ${\displaystyle R\geq -2+k(1-1/2)\geq 1/2}$ ${\displaystyle |G|\leq 4(g-1)}$
  • si entonces , de modo que , ${\displaystyle k=4}$ ${\displaystyle R\geq -2+4-1/2-1/2-1/2-1/3=1/6}$ ${\displaystyle |G|\leq 12(g-1)}$
  • Si entonces escribimos . Podemos suponer . ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle e_{1}=p,\,e_{2}=q,\,e_{3}=r}$ ${\displaystyle 2\leq p\leq q\ \leq r}$
    • si entonces para que , ${\displaystyle p\geq 3}$ ${\displaystyle R\geq -2+3-1/3-1/3-1/4=1/12}$ ${\displaystyle |G|\leq 24(g-1)}$
    • Si entonces ${\displaystyle p=2}$
      • si entonces para que , ${\displaystyle q\geq 4}$ ${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/4-1/5=1/20}$ ${\displaystyle |G|\leq 40(g-1)}$
      • si entonces para que . ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle R\geq -2+3-1/2-1/3-1/7=1/42}$ ${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$

En conclusión, . ${\displaystyle |G|\leq 84(g-1)}$

Para demostrar que es finito, observe que actúa sobre la cohomología preservando la descomposición de Hodge y la red . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbf {Z} )}$

• En particular, su acción sobre da un homomorfismo con imagen discreta . ${\displaystyle V=H^{0,1}(X,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle h(G)}$
• Además, la imagen conserva el producto interno hermítico natural no degenerado en . En particular, la imagen está contenida en el grupo unitario que es compacto . Por lo tanto, la imagen no es simplemente discreta, sino finita. ${\displaystyle h(G)}$ ${\textstyle (\omega ,\eta )=i\int {\bar {\omega }}\wedge \eta }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h(G)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (V)\subset \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle h(G)}$
• Queda por demostrar que tiene núcleo finito. De hecho, demostraremos que es inyectiva. Supongamos que actúa como la identidad en . Si es finito, entonces por el teorema del punto fijo de Lefschetz , ${\displaystyle h:G\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varphi \in G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ $${\displaystyle |\operatorname {fix} (\varphi )|=1-2\operatorname {tr} (h(\varphi ))+1=2-2\operatorname {tr} (\mathrm {id} _{V})=2-2g<0.}$$

Esto es una contradicción, y por lo tanto es infinito. Como es una subvariedad compleja cerrada de dimensión positiva y es una curva suave y conexa (es decir, ), debemos tener . Por lo tanto, es la identidad, y concluimos que es inyectiva y es finita. QED ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }(X)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {fix} (\varphi )=X}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G\cong h(G)}$

Corolario de la demostración : Una superficie de Riemann de género tiene automorfismos si y sólo si es una cubierta ramificada con tres puntos de ramificación, de índices 2 , 3 y 7 . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle 84(g-1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$

La idea de otra prueba y construcción de las superficies de Hurwitz

Por el teorema de uniformización, cualquier superficie hiperbólica X (es decir, la curvatura gaussiana de X es igual a menos uno en cada punto) está cubierta por el plano hiperbólico . Las aplicaciones conformes de la superficie corresponden a automorfismos que preservan la orientación del plano hiperbólico. Por el teorema de Gauss-Bonnet , el área de la superficie es

A( X ) = − 2π χ( X ) = 4π( g − 1).

Para que el grupo de automorfismos G de X sea lo más grande posible, queremos que el área de su dominio fundamental D para esta acción sea lo más pequeña posible. Si el dominio fundamental es un triángulo con los ángulos de vértice π/p, π/q y π/r, que definen una teselación del plano hiperbólico, entonces p , q y r son números enteros mayores que uno, y el área es

A( D ) = π(1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r ).

Por lo tanto, estamos pidiendo números enteros que formen la expresión

1 − 1/ p − 1/ q − 1/ r

estrictamente positivo y lo más pequeño posible. Este valor mínimo es 1/42, y

1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42

da un único triple de tales números enteros. Esto indicaría que el orden | G | del grupo de automorfismos está acotado por

A( X )/A( D ) ≤ 168( g − 1).

Sin embargo, un razonamiento más delicado muestra que se trata de una sobrestimación por un factor de dos, porque el grupo G puede contener transformaciones que invierten la orientación. Para los automorfismos conformes que preservan la orientación, el límite es 84( g − 1).

Construcción

Los grupos y superficies de Hurwitz se construyen basándose en la teselación del plano hiperbólico mediante el triángulo de Schwarz (2,3,7) .

Para obtener un ejemplo de un grupo de Hurwitz, comencemos con un mosaico (2,3,7) del plano hiperbólico. Su grupo de simetría completo es el grupo de triángulos (2,3,7) completo generado por las reflexiones a través de los lados de un único triángulo fundamental con los ángulos π/2, π/3 y π/7. Dado que una reflexión voltea el triángulo y cambia la orientación, podemos unir los triángulos en pares y obtener un polígono de mosaico que preserva la orientación. Una superficie de Hurwitz se obtiene "cerrando" una parte de este mosaico infinito del plano hiperbólico a una superficie de Riemann compacta de género g . Esto implicará necesariamente exactamente 84( g − 1) mosaicos de triángulos dobles.

Los dos siguientes mosaicos regulares tienen el grupo de simetría deseado; el grupo rotacional corresponde a la rotación alrededor de una arista, un vértice y una cara, mientras que el grupo de simetría completo también incluiría una reflexión. Los polígonos en el mosaico no son dominios fundamentales; el mosaico de triángulos (2,3,7) refina ambos y no es regular.

Las construcciones de Wythoff dan lugar a otros teselados uniformes , lo que da lugar a ocho teselados uniformes , incluidos los dos regulares que se dan aquí. Todos ellos descienden a superficies de Hurwitz, lo que da lugar a teselados de las superficies (triangulación, teselado por heptágonos, etc.).

De los argumentos anteriores se puede inferir que un grupo de Hurwitz G se caracteriza por la propiedad de que es un cociente finito del grupo con dos generadores a y b y tres relaciones

${\displaystyle a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,}$

Así, G es un grupo finito generado por dos elementos de órdenes dos y tres, cuyo producto es de orden siete. Más precisamente, cualquier superficie de Hurwitz, es decir, una superficie hiperbólica que realiza el orden máximo del grupo de automorfismos para las superficies de un género dado, puede obtenerse mediante la construcción dada. Esta es la última parte del teorema de Hurwitz.

Ejemplos de grupos y superficies de Hurwitz

El pequeño cuboctaedro cúbico es una inmersión poliédrica del mosaico del cuártico de Klein por 56 triángulos, que se encuentran en 24 vértices. ^[2]

El grupo Hurwitz más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) , de orden 168, y la curva correspondiente es la curva cuártica de Klein . Este grupo también es isomorfo a PSL(3,2) .

A continuación está la curva de Macbeath , con grupo de automorfismos PSL(2,8) de orden 504. Muchos más grupos simples finitos son grupos de Hurwitz; por ejemplo, todos menos 64 de los grupos alternados son grupos de Hurwitz, siendo el ejemplo no Hurwitz más grande de grado 167. El grupo alternado más pequeño que es un grupo de Hurwitz es A ₁₅ .

La mayoría de los grupos lineales especiales proyectivos de alto rango son grupos de Hurwitz (Lucchini, Tamburini y Wilson 2000). Para rangos inferiores, menos grupos de este tipo son Hurwitz. Para n _p el orden de p módulo 7, se tiene que PSL(2, q ) es Hurwitz si y solo si q = 7 o q = p ^{n _p} . De hecho, PSL(3, q ) es Hurwitz si y solo si q = 2, PSL(4, q ) nunca es Hurwitz, y PSL(5, q ) es Hurwitz si y solo si q = 7 ⁴ o q = p ^{n _p} , (Tamburini y Vsemirnov 2006).

De manera similar, muchos grupos de tipo Lie son Hurwitz. Los grupos clásicos finitos de alto rango son Hurwitz (Lucchini y Tamburini 1999). Los grupos de Lie excepcionales de tipo G2 y los grupos de Ree de tipo 2G2 son casi siempre Hurwitz (Malle 1990). Otras familias de grupos de Lie excepcionales y retorcidos de bajo rango se muestran como Hurwitz (Malle 1995).

Hay 12 grupos esporádicos que pueden generarse como grupos de Hurwitz: los grupos de Janko J ₁ , J ₂ y J ₄ , los grupos de Fischer Fi ₂₂ y Fi' ₂₄ , el grupo de Rudvalis , el grupo de Held , el grupo de Thompson , el grupo de Harada-Norton , el tercer grupo de Conway Co ₃ , el grupo de Lyons y el Monster (Wilson 2001).

Grupos de automorfismos en géneros inferiores

El mayor |Aut( X )| que se puede obtener para una superficie de Riemann X de género g se muestra a continuación, para 2≤ g ≤10, junto con una superficie X ₀ con |Aut( X ₀ )| máximo.

En este rango sólo existe una curva de Hurwitz en el género g = 3 y g = 7.

Generalizaciones

El concepto de superficie de Hurwitz se puede generalizar de varias maneras hasta llegar a una definición que tiene ejemplos en todos los géneros, salvo en unos pocos. Quizás la más natural sea una superficie "máximamente simétrica": una que no se puede modificar continuamente a través de superficies igualmente simétricas hasta una superficie cuya simetría contenga adecuadamente la de la superficie original. Esto es posible para todos los géneros compactos orientables (véase la sección anterior "Grupos de automorfismo en géneros inferiores").

Véase también

• Grupo de triángulos (2,3,7)

Notas

1. Técnicamente hablando, existe una equivalencia de categorías entre la categoría de superficies compactas de Riemann con los mapas conformes que preservan la orientación y la categoría de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares con los morfismos algebraicos.
2. (Richter) Nótese que cada cara del poliedro consta de múltiples caras en el mosaico: dos caras triangulares constituyen una cara cuadrada y así sucesivamente, según esta imagen explicativa.

Referencias

• Hurwitz, A. (1893), "Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich", Mathematische Annalen , 41 (3): 403–442, doi :10.1007/BF01443420, JFM  24.0380.02.
• Lucchini, A.; Tamburini, MC (1999), "Grupos clásicos de gran rango como grupos de Hurwitz", Journal of Algebra , 219 (2): 531–546, doi : 10.1006/jabr.1999.7911 , ISSN  0021-8693, MR  1706821
• Lucchini, A.; Tamburini, MC; Wilson, JS (2000), "Grupos de Hurwitz de gran rango", Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, 61 (1): 81–92, doi :10.1112/S0024610799008467, ISSN  0024-6107, MR  1745399
• Malle, Gunter (1990), "Grupos de Hurwitz y G2(q)", Canadian Mathematical Bulletin , 33 (3): 349–357, doi : 10.4153/CMB-1990-059-8 , ISSN  0008-4395, MR  1077110
• Malle, Gunter (1995), "Grupos Hurwitz excepcionales de rango pequeño", Grupos de tipo Lie y sus geometrías (Como, 1993) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., vol. 207, Cambridge University Press , págs. 173–183, MR  1320522
• Tamburini, MC; Vsemirnov, M. (2006), "Subgrupos (2,3,7) irreducibles de PGL(n,F) para n ≤ 7", Journal of Algebra , 300 (1): 339–362, doi :10.1016/j .jalgebra.2006.02.030, ISSN  0021-8693, SEÑOR  2228652
• Wilson, RA (2001), "El monstruo es un grupo de Hurwitz", Journal of Group Theory , 4 (4): 367–374, doi :10.1515/jgth.2001.027, MR  1859175, archivado desde el original el 2012-03-05 , consultado el 2015-09-04
• Richter, David A., Cómo hacer el grupo Mathieu M24, archivado desde el original el 16 de enero de 2010 , consultado el 15 de abril de 2010