Teorema de Chern-Gauss-Bonnet

Vincula la característica de Euler de una variedad de Riemann cerrada de dimensión par con la curvatura

En matemáticas , el teorema de Chern (o teorema de Chern-Gauss-Bonnet ^{[1] [2] [3]} después de Shiing-Shen Chern , Carl Friedrich Gauss y Pierre Ossian Bonnet ) establece que la característica de Euler-Poincaré (un invariante topológico definido como la suma alternada de los números de Betti de un espacio topológico ) de una variedad de Riemann cerrada de dimensión par es igual a la integral de un cierto polinomio (la clase de Euler ) de su forma de curvatura (un invariante analítico).

Se trata de una generalización altamente no trivial del teorema clásico de Gauss-Bonnet (para variedades/ superficies bidimensionales ) a variedades riemannianas de dimensiones pares superiores. En 1943, Carl B. Allendoerfer y André Weil demostraron un caso especial para variedades extrínsecas. En un artículo clásico publicado en 1944, Shiing-Shen Chern demostró el teorema en su generalidad completa conectando la topología global con la geometría local . ^[4]

El teorema de Riemann-Roch y el teorema del índice de Atiyah-Singer son otras generalizaciones del teorema de Gauss-Bonnet.

Declaración

Una forma útil del teorema de Chern es que ^{[5] [6]}

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(\Omega )}$

donde denota la característica de Euler de . La clase de Euler se define como ${\displaystyle \chi (M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle e(\Omega )={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\operatorname {Pf} (\Omega ).}$

donde tenemos el Pfaffian . Aquí hay una variedad riemanniana compacta orientable de 2 n dimensiones sin borde , y es la forma de curvatura asociada de la conexión de Levi-Civita . De hecho, la afirmación se cumple con la forma de curvatura de cualquier conexión métrica en el fibrado tangente, así como para otros fibrados vectoriales sobre . ^[7] ${\displaystyle \operatorname {Pf} (\Omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle M}$

Como la dimensión es 2 n , tenemos que es una forma 2-diferencial con valores en (ver grupo ortogonal especial ). Por lo tanto, puede considerarse como una matriz 2 n × 2 n antisimétrica cuyas entradas son 2-formas, por lo que es una matriz sobre el anillo conmutativo . Por lo tanto, el pfaffiano es una forma 2 n . También es un polinomio invariante . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {s}}{\mathfrak {o}}(2n)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\textstyle {\bigwedge }^{\text{even}}\,T^{*}M}$

Sin embargo, el teorema de Chern en general es que para cualquier n -dimensional cerrado y orientable , ^[5] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \chi (M)=(e(TM),[M])}$

donde el emparejamiento anterior (,) denota el producto tapa con la clase de Euler del fibrado tangente . ${\displaystyle TM}$

Pruebas

En 1944, el teorema general fue demostrado por primera vez por SS Chern en un artículo clásico publicado por el departamento de matemáticas de la Universidad de Princeton . ^[8]

En 2013, también se encontró una prueba del teorema mediante teorías de campos euclidianos supersimétricos . ^[3]

Aplicaciones

El teorema de Chern-Gauss-Bonnet puede considerarse un caso especial en la teoría de clases características . El integrando de Chern es la clase de Euler . Dado que es una forma diferencial de dimensión superior, es cerrada. La naturalidad de la clase de Euler significa que al cambiar la métrica de Riemann , uno permanece en la misma clase de cohomología . Eso significa que la integral de la clase de Euler permanece constante a medida que se varía la métrica y, por lo tanto, es un invariante global de la estructura suave. ^[6]

El teorema también ha encontrado numerosas aplicaciones en física , entre ellas: ^[6]

• fase adiabática o fase de Berry ,
• teoría de cuerdas ,
• física de la materia condensada ,
• teoría cuántica de campos topológicos ,
• fases topológicas de la materia (véase el Premio Nobel de Física de 2016 de Duncan Haldane et al.).

Casos especiales

Variedades de cuatro dimensiones

En dimensión , para una variedad orientada compacta, obtenemos ${\displaystyle 2n=4}$

${\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int _{M}\left(|{\text{Riem}}|^{2}-4|{\text{Ric}}|^{2}+R^{2}\right)\,d\mu }$

donde es el tensor de curvatura completo de Riemann , es el tensor de curvatura de Ricci y es la curvatura escalar . Esto es particularmente importante en la relatividad general , donde el espacio-tiempo se considera una variedad de cuatro dimensiones. ${\displaystyle {\text{Riem}}}$ ${\displaystyle {\text{Ric}}}$ ${\displaystyle R}$

En términos de la descomposición ortogonal de Ricci del tensor de curvatura de Riemann, esta fórmula también se puede escribir como

${\displaystyle \chi (M)={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{M}\left({\frac {1}{4}}|W|^{2}-{\frac {1}{2}}|Z|^{2}+{\frac {1}{24}}R^{2}\right)\,d\mu }$

donde es el tensor de Weyl y es el tensor de Ricci sin traza. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$

Hipersuperficies de dimensión par

Para una hipersuperficie compacta y de dimensión uniforme obtenemos ^[9] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

${\displaystyle \int _{M}K\,dV={\frac {1}{2}}\gamma _{n}\,\chi (M)}$

donde es el elemento de volumen de la hipersuperficie, es el determinante jacobiano del mapa de Gauss y es el área de superficie de la n-esfera unitaria . ${\displaystyle dV}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \gamma _{n}}$

Teorema de Gauss-Bonnet

El teorema de Gauss-Bonnet es un caso especial cuando se trata de una variedad bidimensional. Surge como el caso especial en el que el índice topológico se define en términos de números de Betti y el índice analítico se define en términos del integrando de Gauss-Bonnet. ${\displaystyle M}$

Al igual que con el teorema bidimensional de Gauss-Bonnet, existen generalizaciones cuando es una variedad con borde . ${\displaystyle M}$

Generalizaciones adicionales

Atiyah – Cantante

Una generalización de gran alcance del teorema de Gauss-Bonnet es el teorema del índice de Atiyah-Singer . ^[6]

Sea un operador diferencial débilmente elíptico entre fibrados vectoriales. Esto significa que el símbolo principal es un isomorfismo . La elipticidad fuerte requeriría además que el símbolo fuera definido positivo . ${\displaystyle D}$

Sea su operador adjunto . Entonces el índice analítico se define como ${\displaystyle D^{*}}$

${\displaystyle \dim(\ker(D))-\dim(\ker(D^{*}))}$

Por elipticidad, esto siempre es finito. El teorema del índice dice que esto es constante ya que el operador elíptico varía suavemente. Es igual a un índice topológico , que se puede expresar en términos de clases características como la clase de Euler .

El teorema de Chern-Gauss-Bonnet se deriva considerando el operador de Dirac

${\displaystyle D=d+d^{*}}$

Dimensiones extrañas

La fórmula de Chern sólo está definida para dimensiones pares porque la característica de Euler desaparece para dimensiones impares. Se están realizando algunas investigaciones para "retorcer" el teorema del índice en la teoría K para obtener resultados no triviales para dimensiones impares. ^{[10] [11]}

También existe una versión de la fórmula de Chern para los orbifolds . ^[12]

Historia

Shiing-Shen Chern publicó su demostración del teorema en 1944 mientras estaba en el Instituto de Estudios Avanzados . Esta fue la primera vez históricamente que la fórmula se demostró sin asumir que la variedad está inserta en un espacio euclidiano, que es lo que significa "intrínseco". El caso especial para una hipersuperficie (una subvariedad de (n-1) dimensiones en un espacio euclidiano de n dimensiones) fue demostrado por H. Hopf en el que el integrando es la curvatura de Gauss-Kronecker (el producto de todas las curvaturas principales en un punto de la hipersuperficie). Esto fue generalizado independientemente por Allendoerfer en 1939 y Fenchel en 1940 a una subvariedad de Riemann de un espacio euclidiano de cualquier codimensión, para lo cual utilizaron la curvatura de Lipschitz-Killing (el promedio de la curvatura de Gauss-Kronecker a lo largo de cada vector normal unitario sobre la esfera unitaria en el espacio normal; para una subvariedad de dimensión par, esto es un invariante que solo depende de la métrica de Riemann de la subvariedad). Su resultado sería válido para el caso general si se puede asumir el teorema de incrustación de Nash . Sin embargo, este teorema no estaba disponible en ese momento, ya que John Nash publicó su famoso teorema de incrustación para variedades de Riemann en 1956. En 1943, Allendoerfer y Weil publicaron su demostración para el caso general, en la que primero utilizaron un teorema de aproximación de H. Whitney para reducir el caso a variedades analíticas de Riemann, luego incrustaron "pequeños" vecindarios de la variedad de manera isométrica en un espacio euclidiano con la ayuda del teorema de incrustación local de Cartan-Janet, de modo que pudieran unir estos vecindarios incrustados y aplicar el teorema anterior de Allendoerfer y Fenchel para establecer el resultado global. Esto es, por supuesto, insatisfactorio debido a que el teorema solo involucra invariantes intrínsecos de la variedad, entonces la validez del teorema no debería depender de su incrustación en un espacio euclidiano. Weil se reunió con Chern en Princeton después de que Chern llegara en agosto de 1943. Le dijo a Chern que creía que debería haber una prueba intrínseca, que Chern pudo obtener en dos semanas. El resultado es el artículo clásico de Chern "Una prueba intrínseca simple de la fórmula de Gauss-Bonnet para variedades riemannianas cerradas", publicado en Annals of Mathematics el año siguiente. Chern citó el trabajo anterior de Allendoerfer, Fenchel, Allendoerfer y Weil en este artículo. Chern también citó el trabajo de Allendoerfer y Weil en su segundo artículo relacionado con el mismo tema. ^[4]

Véase también

• Homomorfismo de Chern-Weil
• Clase Chern
• Forma Chern-Simons
• Teoría de Chern-Simons
• Conjetura de Chern (geometría afín)
• Número de Pontryagin
• Clase Pontryagin
• Cohomología de De Rham
• La fase de Berry
• Teorema del índice de Atiyah-Singer
• Teorema de Riemann-Roch

Referencias

1. Gilkey, P.; Park, JH (16 de septiembre de 2014). "Una prueba del teorema de Chern-Gauss-Bonnet para métricas de firma indefinidas utilizando continuación analítica". arXiv : 1405.7613 [math.DG].
2. Buzano, Reto; Nguyen, Huy The (1 de abril de 2019). "La fórmula de Chern-Gauss-Bonnet de dimensiones superiores para variedades singulares conformemente planas". The Journal of Geometric Analysis . 29 (2): 1043–1074. doi : 10.1007/s12220-018-0029-z . hdl : 2318/1701050 . ISSN  1559-002X.
3. Berwick-Evans, Daniel (20 de octubre de 2013). "El teorema de Chern-Gauss-Bonnet a través de teorías de campos euclidianos supersimétricas". arXiv : 1310.5383 [math.AT].
4. Chern, Shiing-shen (octubre de 1945). "Sobre la curvatura integra en una variedad de Riemann". Anales de Matemáticas . 46 (4): 674–684. doi :10.2307/1969203. JSTOR  1969203. S2CID  123348816.
5. Morita, Shigeyuki (28 de agosto de 2001). Geometría de formas diferenciales . Traducciones de monografías matemáticas. Vol. 201. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi :10.1090/mmono/201. ISBN 9780821810453.
6. Operadores de Schrödinger, con aplicaciones a la mecánica cuántica y la geometría global . Cycon, HL (Hans Ludwig), 1942-, Simon, Barry, 1946-, Beiglböck, E., 1939-. Berlín: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0387167589.OCLC 13793017  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: otros ( enlace )
7. Bell, Denis (septiembre de 2006). "El teorema de Gauss-Bonnet para fibrados vectoriales". Journal of Geometry . 85 (1–2): 15–21. arXiv : math/0702162 . doi :10.1007/s00022-006-0037-1. S2CID  6856000.
8. Chern, Shiing-Shen (octubre de 1944). "Una prueba intrínseca simple de la fórmula de Gauss-Bonnet para variedades riemannianas cerradas". Anales de matemáticas . 45 (4): 747–752. doi :10.2307/1969302. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969302.
9. Guillemin, V.; Pollack, A. (1974). Topología diferencial . Nueva York, NY: Prentice-Hall. p. 196. ISBN. 978-0-13-212605-2.
10. "¿Por qué el teorema de Gauss-Bonnet se aplica solo a un número par de dimensiones?". Mathematics Stack Exchange . 26 de junio de 2012. Consultado el 8 de mayo de 2019 .
11. Li, Yin (2011). "El teorema de Gauss-Bonnet-Chern sobre variedades de Riemann". arXiv : 1111.4972 [math.DG].
12. "¿Existe un teorema de Chern-Gauss-Bonnet para los orbifolds?". MathOverflow . 26 de junio de 2011 . Consultado el 8 de mayo de 2019 .