Teoría escalar-tensor

Teoría de la física con escalares y tensores que describen una fuerza o interacción

En física teórica , una teoría escalar-tensorial es una teoría de campos que incluye tanto un campo escalar como un campo tensorial para representar una determinada interacción. Por ejemplo, la teoría de la gravitación de Brans-Dicke utiliza tanto un campo escalar como un campo tensor para mediar en la interacción gravitacional .

Campos tensoriales y teoría de campos.

La física moderna intenta derivar todas las teorías físicas a partir del menor número posible de principios. De esta manera, tanto la mecánica newtoniana como la mecánica cuántica se derivan del principio de mínima acción de Hamilton . En este enfoque, el comportamiento de un sistema no se describe mediante fuerzas , sino mediante funciones que describen la energía del sistema. Las más importantes son las cantidades energéticas conocidas como función hamiltoniana y función lagrangiana . Sus derivadas en el espacio se conocen como densidad hamiltoniana y densidad lagrangiana . Ir a estas cantidades conduce a las teorías de campo.

La física moderna utiliza teorías de campos para explicar la realidad. Estos campos pueden ser escalares , vectoriales o tensoriales . Un ejemplo de campo escalar es el campo de temperatura. Un ejemplo de campo vectorial es el campo de velocidad del viento. Un ejemplo de campo tensorial es el campo tensorial de tensión en un cuerpo estresado, utilizado en mecánica continua .

La gravedad como teoría de campo.

En física, las fuerzas (como cantidades vectoriales) se dan como la derivada (gradiente) de cantidades escalares llamadas potenciales. En la física clásica anterior a Einstein , la gravitación estaba dada de la misma manera, como consecuencia de una fuerza gravitacional (vectorial), dada a través de un campo potencial escalar, dependiente de la masa de las partículas. Por tanto, la gravedad newtoniana se denomina teoría escalar . La fuerza gravitacional depende de la distancia r de los objetos masivos entre sí (más exactamente, de su centro de masa). La masa es un parámetro y el espacio y el tiempo son inmutables.

La teoría de la gravedad de Einstein, la Relatividad General (GR), es de otra naturaleza. Unifica el espacio y el tiempo en una variedad de 4 dimensiones llamada espacio-tiempo. En GR no existe una fuerza gravitacional, sino que las acciones que atribuimos a una fuerza son consecuencia de la curvatura local del espacio-tiempo. Esa curvatura se define matemáticamente mediante la llamada métrica , que es función de la energía total, incluida la masa, en el área. La derivada de la métrica es una función que se aproxima a la fuerza newtoniana clásica en la mayoría de los casos. La métrica es una cantidad tensorial de grado 2 (se puede dar como una matriz de 4x4, un objeto que lleva 2 índices).

Otra posibilidad de explicar la gravitación en este contexto es mediante el uso de campos tensoriales (de grado n>1) y escalares, es decir, de modo que la gravitación no se dé únicamente a través de un campo escalar ni únicamente a través de una métrica. Éstas son teorías de la gravitación escalar-tensorial.

El campo teórico de partida de la Relatividad General viene dado a través de la densidad de Lagrange. Es una cantidad escalar e invariante de calibre (consulte las teorías de calibre ) dependiente de la curvatura escalar R. Este lagrangiano, siguiendo el principio de Hamilton, conduce a las ecuaciones de campo de Hilbert y Einstein . Si en el lagrangiano la curvatura (o una cantidad relacionada con ella) se multiplica por un campo escalar cuadrado, se obtienen teorías de campo de las teorías de gravitación escalar-tensorial. En ellos, la constante gravitacional de Newton ya no es una constante real sino una cantidad dependiente del campo escalar.

formulación matemática

Una acción de tal teoría gravitacional tensor-escalar se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle S={\frac {1}{c}}\int {d^{4}x{\sqrt {-g}}{\frac {1}{2\mu }}}\times \left[\Phi R-{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}-V(\Phi )+2\mu ~{\mathcal {L}}_{m}(g_{\mu \nu },\Psi )\right],}$

donde es el determinante métrico, es el escalar de Ricci construido a partir de la métrica , es una constante de acoplamiento con las dimensiones , es el potencial de campo escalar, es el lagrangiano material y representa los campos no gravitacionales. Aquí, el parámetro de Brans-Dicke se ha generalizado a una función. Aunque a menudo se escribe como , hay que tener en cuenta que la constante fundamental allí no es la constante de gravitación que se puede medir, por ejemplo, con experimentos tipo Cavendish . De hecho, la constante gravitacional empírica generalmente ya no es una constante en las teorías escalares-tensoriales, sino una función del campo escalar . Las ecuaciones métricas y de campo escalar escriben respectivamente: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{-1}M^{-1}T^{2}}$ ${\displaystyle V(\Phi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 8\pi G/c^{4}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {\mu }{\Phi }}T_{\mu \nu }+{\frac {1}{\Phi }}[\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-g_{\mu \nu }\Box ]\Phi +{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi ^{2}}}(\partial _{\mu }\Phi \partial _{\nu }\Phi -{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }(\partial _{\alpha }\Phi )^{2})-g_{\mu \nu }{\frac {V(\Phi )}{2\Phi }},}$

y

${\displaystyle {\frac {2\omega (\Phi )+3}{\Phi }}\Box \Phi ={\frac {\mu }{\Phi }}T-{\frac {\omega '(\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}+V'(\Phi )-2{\frac {V(\Phi )}{\Phi }}.}$

Además, la teoría satisface la siguiente ecuación de conservación, lo que implica que las partículas de prueba siguen geodésicas espacio-temporales como en la relatividad general:

${\displaystyle \nabla _{\sigma }T^{\mu \sigma }=0,}$

¿Dónde se define el tensor tensión-energía como ${\displaystyle T^{\mu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{m})}{\delta g^{\mu \nu }}}.}$

La aproximación newtoniana de la teoría.

Desarrollando perturbativamente la teoría definida por la acción anterior en torno a un trasfondo minkowskiano, y suponiendo fuentes gravitacionales no relativistas, el primer orden da la aproximación newtoniana de la teoría. En esta aproximación, y para una teoría sin potencial, la métrica escribe

${\displaystyle g_{00}=-1+2{\frac {U}{c^{2}}}+{\mathcal {O}}(c^{-3}),~g_{0i}={\mathcal {O}}(c^{-2}),~g_{ij}=\delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-1}),}$

satisfaciendo la siguiente ecuación habitual de Poisson en el orden más bajo de la aproximación: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \triangle U=8\pi G_{\mathrm {eff} }~\rho +{\mathcal {O}}(c^{-1}),}$

donde es la densidad de la fuente gravitacional y (el subíndice indica que el valor correspondiente se toma en el tiempo y ubicación cosmológicos actuales). Por lo tanto, la constante gravitacional empírica es función del valor actual del fondo del campo escalar y, por lo tanto, teóricamente depende del tiempo y la ubicación. ^[1] Sin embargo, no se ha medido ninguna desviación de la constancia de la constante gravitacional newtoniana, ^[2] lo que implica que el fondo del campo escalar es bastante estable en el tiempo. En teoría, esta estabilidad no se espera en general, pero puede explicarse teóricamente mediante varios mecanismos. ^[3] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}}$ ${\displaystyle _{0}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$

La primera aproximación posnewtoniana de la teoría.

El desarrollo de la teoría en el siguiente nivel conduce al llamado primer orden posnewtoniano. Para una teoría sin potencial y en un sistema de coordenadas que respeta la condición de isotropía débil ^[4] (es decir, ), la métrica toma la siguiente forma: ${\displaystyle g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,}$

${\displaystyle g_{00}=-1+{\frac {2W}{c^{2}}}-\beta {\frac {2W^{2}}{c^{4}}}+{\mathcal {O}}(c^{-5})}$

${\displaystyle g_{0i}=-(\gamma +1){\frac {2W_{i}}{c^{3}}}+{\mathcal {O}}(c^{-4})}$

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}\left(1+\gamma {\frac {2W}{c^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(c^{-3})}$

con ^[5]

${\displaystyle \Box W+{\frac {1+2\beta -3\gamma }{c^{2}}}W\triangle W+{\frac {2}{c^{2}}}(1+\gamma )\partial _{t}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma +{\mathcal {O}}(c^{-3})~,}$

${\displaystyle \triangle W_{i}-\partial x_{i}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma ^{i}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~,}$

¿Dónde está la función que depende del indicador de coordenadas? ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=\partial _{t}W+\partial _{k}W_{k}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~.}$

Corresponde al grado de libertad restante del difeomorfismo que no está fijado por la condición de isotropía débil. Las fuentes se definen como

${\displaystyle \Sigma ={\frac {1}{c^{2}}}(T^{00}+\gamma T^{kk})~,\qquad \Sigma ^{i}={\frac {1}{c}}T^{0i}~,}$

los llamados parámetros post-newtonianos son

${\displaystyle \gamma ={\frac {\omega _{0}+1}{\omega _{0}+2}}~,}$

${\displaystyle \beta =1+{\frac {\omega _{0}^{\prime }}{(2\omega _{0}+3)(2\omega _{0}+4)^{2}}}~,}$

y finalmente la constante gravitacional empírica está dada por ${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{~2\omega _{0}+3~}}\,G~,}$

¿Dónde está la constante (verdadera) que aparece en la constante de acoplamiento definida anteriormente? ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$

Restricciones observacionales de la teoría.

Las observaciones actuales indican que , ^[2] lo que significa que . Aunque es imposible explicar tal valor en el contexto de la teoría original de Brans-Dicke , Damour y Nordtvedt descubrieron que las ecuaciones de campo de la teoría general a menudo conducen a una evolución de la función hacia el infinito durante la evolución del universo. ^[3] Por lo tanto, según ellos, el alto valor actual de la función podría ser una simple consecuencia de la evolución del universo. ${\displaystyle \gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>40000}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Siete años de datos de la misión MESSENGER de la NASA limitan el parámetro posnewtoniano para el cambio del perihelio de Mercurio a . ^[6] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |\beta -1|<1.6\times 10^{-5}}$

Ambas limitaciones muestran que si bien la teoría todavía es una candidata potencial para reemplazar la relatividad general, el campo escalar debe estar muy débilmente acoplado para explicar las observaciones actuales.

También se han propuesto teorías generalizadas del tensor escalar como explicación para la expansión acelerada del universo, pero la medición de la velocidad de la gravedad con el evento de onda gravitacional GW170817 ha descartado esto. ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

Relatividad de dimensiones superiores y teorías escalar-tensoriales

Tras la postulación de la Relatividad General de Einstein y Hilbert, Theodor Kaluza y Oskar Klein propusieron en 1917 una generalización en una variedad de 5 dimensiones: la teoría de Kaluza-Klein . Esta teoría posee una métrica de 5 dimensiones (con un componente de 5ª métrica compactado y constante, dependiente del potencial de calibre ) y unifica la gravitación y el electromagnetismo , es decir, hay una geometrización de la electrodinámica.

Esta teoría fue modificada en 1955 por P. Jordan en su teoría de la Relatividad Proyectiva , en la que, siguiendo razonamientos teóricos de grupos, Jordan tomó un quinto componente métrico funcional que conducía a una constante gravitacional variable G. En su trabajo original, introdujo parámetros de acoplamiento del campo escalar para cambiar también la conservación de la energía, según las ideas de Dirac .

Siguiendo la teoría de la equivalencia conforme , las teorías multidimensionales de la gravedad son equivalentes a las teorías de la relatividad general habitual en 4 dimensiones con un campo escalar adicional. Un ejemplo de esto lo da la teoría de Jordan, que, sin romper la conservación de la energía (como debería ser válida, considerando que la radiación de fondo de microondas proviene de un cuerpo negro), es equivalente a la teoría de C. Brans y Robert H. Dicke de 1961, por lo que se suele hablar de la teoría de Brans-Dicke . La teoría de Brans-Dicke sigue la idea de modificar la teoría de Hilbert-Einstein para que sea compatible con el principio de Mach . Para ello, la constante gravitacional de Newton tenía que ser variable, dependiente de la distribución de masa en el universo, en función de una variable escalar, acoplada como un campo en el lagrangiano. Utiliza un campo escalar de longitud infinita (es decir, de largo alcance), por lo que, en el lenguaje de la teoría de la física nuclear de Yukawa , este campo escalar es un campo sin masa . Esta teoría se vuelve einsteiniana para valores elevados del parámetro del campo escalar.

En 1979, R. Waggoner propuso una generalización de las teorías tensoriales escalares utilizando más de un campo escalar acoplado a la curvatura escalar.

Las teorías de JBD, aunque no cambian la ecuación geodésica de las partículas de prueba, cambian el movimiento de los cuerpos compuestos por uno más complejo. El acoplamiento de un campo escalar universal directamente al campo gravitacional da lugar a efectos potencialmente observables para el movimiento de configuraciones de materia a las que la energía gravitacional contribuye significativamente. Esto se conoce como efecto "Dicke-Nordtvedt", que conduce a posibles violaciones tanto del principio de equivalencia fuerte como del principio de equivalencia débil para masas extendidas.

Las teorías de tipo JBD con campos escalares de corto alcance utilizan, según la teoría de Yukawa, campos escalares masivos . La primera de estas teorías fue propuesta por A. Zee en 1979. Propuso una Teoría de Gravitación Simétrica Rota, combinando la idea de Brans y Dicke con la de Ruptura de Simetría, que es esencial dentro del Modelo Estándar SM de partículas elementales . donde la llamada ruptura de simetría conduce a la generación de masa (como consecuencia de la interacción de las partículas con el campo de Higgs). Zee propuso el campo de Higgs de SM como campo escalar y por tanto el campo de Higgs para generar la constante gravitacional.

La interacción del campo de Higgs con las partículas que alcanzan masa a través de él es de corto alcance (es decir, del tipo Yukawa) y de tipo gravitacional (se puede obtener una ecuación de Poisson), incluso dentro del SM, de modo que la idea de Zee fue tomada 1992 para una teoría escalar-tensor con el campo de Higgs como campo escalar con mecanismo de Higgs. Allí, el campo escalar masivo se acopla con las masas, que son al mismo tiempo la fuente del campo escalar de Higgs, que genera la masa de las partículas elementales mediante ruptura de simetría. Para el campo escalar evanescente, estas teorías generalmente se basan en la Relatividad General estándar y, debido a la naturaleza del campo masivo, es posible para tales teorías que el parámetro del campo escalar (la constante de acoplamiento) no tenga que ser tan alto como en las teorías estándar de JBD. Sin embargo, aún no está claro cuál de estos modelos explica mejor la fenomenología que se encuentra en la naturaleza ni si tales campos escalares están realmente dados o son necesarios en la naturaleza. Sin embargo, las teorías JBD se utilizan para explicar la inflación (para campos escalares sin masa se habla de campo inflatón) después del Big Bang , así como la quintaesencia . Además, son una opción para explicar la dinámica que normalmente se da a través de los modelos estándar de materia oscura fría , así como MOND , Axions (también de Breaking of a Symmetry), MACHOS ,...

Conexión con la teoría de cuerdas

Una predicción genérica de todos los modelos de teoría de cuerdas es que el gravitón de espín 2 tiene un compañero de espín 0 llamado dilatón . ^[12] Por lo tanto, la teoría de cuerdas predice que la teoría real de la gravedad es una teoría escalar-tensorial en lugar de la relatividad general. Sin embargo, actualmente no se conoce la forma precisa de dicha teoría porque no se cuentan con las herramientas matemáticas para abordar los cálculos no perturbativos correspondientes. Además, la forma exacta y eficaz de la teoría en 4 dimensiones también se enfrenta a la llamada cuestión del paisaje .

Ver también

• Teorías degeneradas de tensor-escalar de orden superior  - Teoría de la gravedad
• Dilatón  – Partícula hipotética
• Partícula camaleón  : partícula escalar hipotética que se acopla a la materia de manera más débil que la gravedad.
• Pressuron  – Partícula gravitacional hipotética
• Teoría de Horndeski  - Teoría generalizada de la gravedad

Referencias

1. Galiautdinov, Andrei; Kopeikin, Sergei M. (10 de agosto de 2016). "Mecánica celeste post-newtoniana en cosmología tensor escalar". Revisión física D. 94 (4): 044015. arXiv : 1606.09139 . Código Bib : 2016PhRvD..94d4015G. doi : 10.1103/PhysRevD.94.044015. S2CID  32869795.
2. Uzan, Jean-Philippe (1 de diciembre de 2011). "Constantes variables, gravitación y cosmología". Reseñas vivas en relatividad . 14 (1): 2. arXiv : 1009.5514 . Código Bib : 2011LRR....14....2U. doi :10.12942/lrr-2011-2. ISSN  2367-3613. PMC 5256069 . PMID  28179829. 
3. Damour, Thibault ; Nordtvedt, Kenneth (12 de abril de 1993). "La relatividad general como atractor cosmológico de las teorías tensor-escalares". Cartas de revisión física . 70 (15): 2217–2219. Código bibliográfico : 1993PhRvL..70.2217D. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.2217. PMID  10053505.
4. Damour, Thibault; Soffel, Michael; Xu, Chongming (15 de mayo de 1991). "Mecánica celeste relativista general. I. Método y definición de sistemas de referencia". Revisión física D. 43 (10): 3273–3307. Código bibliográfico : 1991PhRvD..43.3273D. doi : 10.1103/PhysRevD.43.3273. PMID  10013281.
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6. Génova, Antonio; Mazarico, Erwan; Goossens, Sander; Lemoine, Frank G.; Neumann, Gregorio A.; Smith, David E.; Zuber, María T. (18 de enero de 2018). "Expansión del sistema solar y fuerte principio de equivalencia visto por la misión MESSENGER de la NASA". Comunicaciones de la naturaleza . 9 (1). Springer Science and Business Media LLC: 289. Bibcode : 2018NatCo...9..289G. doi : 10.1038/s41467-017-02558-1 . ISSN  2041-1723. PMC 5773540 . PMID  29348613. 
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