Pila (matemáticas)

Generalización de un haz; una categoría fibrosa que admite descendencia efectiva

En matemáticas, una pila o haz de dos haces es, en términos generales, un haz que toma valores en categorías en lugar de conjuntos. Las pilas se utilizan para formalizar algunas de las principales construcciones de la teoría de la descendencia y para construir pilas de módulos finos cuando no existen espacios de módulos finos .

La teoría de la descendencia se ocupa de las generalizaciones de situaciones en las que los objetos geométricos compatibles e isomorfos (como los fibrados vectoriales en espacios topológicos ) pueden "pegarse" dentro de una restricción de la base topológica. En una configuración más general, las restricciones se reemplazan por pullbacks ; las categorías fibrosas constituyen entonces un buen marco para discutir la posibilidad de tal pegado. El significado intuitivo de una pila es que es una categoría fibrosa tal que "todos los pegados posibles funcionan". La especificación de los pegados requiere una definición de recubrimientos con respecto a los cuales se pueden considerar los pegados. Resulta que el lenguaje general para describir estos recubrimientos es el de una topología de Grothendieck . Por lo tanto, una pila se da formalmente como una categoría fibrosa sobre otra categoría base , donde la base tiene una topología de Grothendieck y donde la categoría fibrosa satisface algunos axiomas que aseguran la existencia y unicidad de ciertos pegados con respecto a la topología de Grothendieck.

Descripción general

Las pilas son la estructura subyacente de las pilas algebraicas (también llamadas pilas de Artin) y pilas de Deligne-Mumford, que generalizan esquemas y espacios algebraicos y que son particularmente útiles para estudiar espacios de módulos . Hay inclusiones:

esquemas ⊆ espacios algebraicos ⊆ pilas de Deligne–Mumford ⊆ pilas algebraicas (pilas de Artin) ⊆ pilas.

Edidin (2003) y Fantechi (2001) dan una breve introducción a las pilas, Gómez (2001), Olsson (2007) y Vistoli (2005) dan introducciones más detalladas, y Laumon y Moret-Bailly (2000) describen la teoría más avanzada.

Motivación e historia

La conclusión práctica a la que llegué desde el mantenimiento, es que cada vez que en vertu de mis criterios, una variedad de módulos (o plutôt, un esquema de módulos) para la clasificación de variaciones (globales o infinitas) de ciertos estructuras (variétés complètes non singularités, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hipothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorfismos de la estructura que empêche la técnica de descenso de marchar.

Carta de Grothendieck a Serre, 5 de noviembre de 1959.

El concepto de pilas tiene su origen en la definición de datos de descenso efectivos de Grothendieck (1959). En una carta de 1959 a Serre, Grothendieck observó que un obstáculo fundamental para construir buenos espacios de módulos es la existencia de automorfismos . Una motivación importante para las pilas es que si no existe un espacio de módulos para algún problema debido a la existencia de automorfismos, aún puede ser posible construir una pila de módulos .

Mumford (1965) estudió el grupo de Picard de la pila de módulos de curvas elípticas , antes de que se definieran las pilas. Las pilas fueron definidas por primera vez por Giraud (1966, 1971), y el término "pila" fue introducido por Deligne y Mumford (1969) para el término francés original "champ" que significa "campo". En este artículo también introdujeron las pilas de Deligne-Mumford , a las que llamaron pilas algebraicas, aunque el término "pila algebraica" ahora generalmente se refiere a las pilas de Artin más generales introducidas por Artin  (1974).

Al definir cocientes de esquemas mediante acciones grupales, a menudo es imposible que el cociente sea un esquema y, al mismo tiempo, satisfaga las propiedades deseables para un cociente. Por ejemplo, si algunos puntos tienen estabilizadores no triviales, entonces el cociente categórico no existirá entre esquemas, sino como una pila.

De la misma manera, los espacios de módulos de curvas, fibrados vectoriales u otros objetos geométricos suelen definirse mejor como pilas en lugar de esquemas. Las construcciones de espacios de módulos suelen proceder primero construyendo un espacio más grande que parametriza los objetos en cuestión y luego haciendo cocientes por acción de grupo para tener en cuenta los objetos con automorfismos que se han contado en exceso.

Definiciones

Pilas abstractas

Una categoría con un funtor a una categoría se llama categoría fibrada sobre si para cualquier morfismo en y cualquier objeto de con imagen (bajo el funtor), hay un pullback de por . Esto significa un morfismo con imagen tal que cualquier morfismo con imagen puede factorizarse como por un morfismo único en tal que el funtor se mapea a . El elemento se llama pullback de a lo largo y es único hasta el isomorfismo canónico. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:z\to y}$ ${\displaystyle G=F\circ H}$ ${\displaystyle g=f\circ h}$ ${\displaystyle h:z\to x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x=F^{*}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$

La categoría c se denomina preapilado sobre una categoría C con una topología de Grothendieck si está fibrilada sobre C y para cualquier objeto U de C y objetos x , y de c con imagen U , el funtor de la sobrecategoría C/U a conjuntos que toman F : V → U a Hom( F * x , F * y ) es un haz. Esta terminología no es consistente con la terminología para haces: los preapilados son los análogos de prehaces separados en lugar de prehaces. Algunos autores requieren esto como una propiedad de las pilas, en lugar de los preapilados.

La categoría c se denomina apilamiento sobre la categoría C con una topología de Grothendieck si es un preapilamiento sobre C y cada dato de descenso es efectivo. Un dato de descenso consiste aproximadamente en un recubrimiento de un objeto V de C por una familia V _i , elementos x _i en la fibra sobre V _i y morfismos f _ji entre las restricciones de x _i y x _j a V _ij = V _i × _V V _j que satisfacen la condición de compatibilidad f _ki = f _kj f _ji . El dato de descenso se denomina efectivo si los elementos x _i son esencialmente los pullbacks de un elemento x con imagen V .

Una pila se denomina pila en grupoides o haz (2,1) si también está fibrilada en grupoides, lo que significa que sus fibras (las imágenes inversas de los objetos de C ) son grupoides. Algunos autores utilizan la palabra "pila" para referirse a la noción más restrictiva de pila en grupoides.

Pilas algebraicas

Una pila algebraica o pila de Artin es una pila en grupoides X sobre el sitio fppf tal que la función diagonal de X es representable y existe una sobreyección suave desde (la pila asociada a) un esquema a X. Un morfismo Y X de pilas es representable si, para cada morfismo S X desde (la pila asociada a) un esquema a X, el producto de fibras Y  × _X S es isomorfo a (la pila asociada a) un espacio algebraico . El producto de fibras de pilas se define utilizando la propiedad universal habitual , y cambiando el requisito de que los diagramas conmuten al requisito de que conmuten en 2. Véase también morfismo de pilas algebraicas para obtener más información. ${\displaystyle \rightarrow }$ ${\displaystyle \rightarrow }$  

La motivación detrás de la representabilidad de la diagonal es la siguiente: el morfismo diagonal es representable si y sólo si para cualquier par de morfismos de espacios algebraicos , su producto de fibras es representable. ${\displaystyle \Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle X\times _{\mathfrak {X}}Y}$

Una pila de Deligne–Mumford es una pila algebraica X tal que existe una sobreyección étale desde un esquema a X . En términos generales, las pilas de Deligne–Mumford pueden considerarse como pilas algebraicas cuyos objetos no tienen automorfismos infinitesimales.

Estructura local de pilas algebraicas

Desde el inicio de las pilas algebraicas se esperaba que fueran pilas de cociente local de la forma donde es un grupo algebraico linealmente reductivo . Recientemente se demostró que este es el caso: ^[1] dada una pila algebraica cuasi-separada localmente de tipo finito sobre un cuerpo algebraicamente cerrado cuyos estabilizadores son afines, y un punto suave y cerrado con grupo estabilizador linealmente reductivo , existe una cubierta étale del cociente GIT , donde , tal que el diagrama ${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$ ${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee }}$

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

es cartesiano y existe un morfismo étale

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

induciendo un isomorfismo de los grupos estabilizadores en y . ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

Ejemplos elementales

• Cada haz de una categoría con una topología de Grothendieck puede convertirse canónicamente en una pila. Para un objeto , en lugar de un conjunto hay un grupoide cuyos objetos son los elementos de y las flechas son el morfismo identidad. ${\displaystyle {\mathcal {F}}:C^{op}\to Sets}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$
• Más concretamente, sea un funtor contravariante ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to Sets}$

Entonces, este funtor determina la siguiente categoría ${\displaystyle H}$

1. Un objeto es un par formado por un esquema y un elemento. ${\displaystyle (X\to S,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)^{op}}$ ${\displaystyle x\in h(X)}$
2. un morfismo consiste en un morfismo en tal que . ${\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}$ ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle h(\phi )(y)=x}$

A través del funtor olvidadizo , la categoría es una categoría fibrada sobre . Por ejemplo, si es un esquema en , entonces determina el funtor contravariante y la categoría fibrada correspondiente es la ${\displaystyle p:H\to (Sch/S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle h=\operatorname {Hom} (-,X)}$pila asociada a X . Se pueden construir pilas (o preapilamientos) como una variante de esta construcción. De hecho, cualquier esquemacon unadiagonal cuasi compactaes unapila algebraica asociada al esquema. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Pilas de objetos

• Una pila de grupo .
• La pila de módulos de fibrados vectoriales : la categoría de fibrados vectoriales V → S es una pila sobre la categoría de espacios topológicos S. Un morfismo de V → S a W → T consiste en funciones continuas de S a T y de V a W (lineales en fibras) tales que el cuadrado obvio conmuta. La condición de que esta es una categoría con fibras se sigue porque uno puede tomar pullbacks de fibrados vectoriales sobre funciones continuas de espacios topológicos, y la condición de que un dato de descenso es efectivo se sigue porque uno puede construir un fibrado vectorial sobre un espacio pegando juntas fibrados vectoriales sobre elementos de una cubierta abierta.
• La pila de haces cuasi-coherentes en los esquemas (con respecto a la topología fpqc y las topologías más débiles)
• La pila de esquemas afines en un esquema base (nuevamente con respecto a la topología fpqc o una más débil)

Construcciones con pilas

Cocientes de pila

Si es un esquema y es un esquema de grupo afín suave que actúa sobre , entonces hay una pila algebraica de cociente , ^[2] que lleva un esquema al grupoide de -torsores sobre el -esquema con aplicaciones -equivariantes a . Explícitamente, dado un espacio con una -acción, forma la pila , que (intuitivamente hablando) envía un espacio al grupoide de diagramas de pullback ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle Y\to S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

donde es un morfismo -equivariante de espacios y es un fibrado principal. Los morfismos de esta categoría son simplemente morfismos de diagramas donde las flechas del lado derecho son iguales y las flechas del lado izquierdo son morfismos de fibrados principales. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Clasificación de pilas

Un caso especial de esto cuando X es un punto da la pila de clasificación BG de un esquema de grupo afín suave G : Se llama así ya que la categoría , la fibra sobre Y , es precisamente la categoría de los fibrados principales sobre . Nótese que en sí misma puede considerarse como una pila, la pila de módulos de los fibrados principales G sobre Y . ${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$ ${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(Y)}$

Un subejemplo importante de esta construcción es , que es la pila de módulos de los fibrados principales. Dado que los datos de un fibrado principal son equivalentes a los datos de un fibrado de vectores de rango, este es isomorfo a la pila de módulos de los fibrados de vectores de rango . ${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Vect_{n}}$

Pila de módulos de haces de líneas

La pila de módulos de los fibrados de líneas es porque cada fibrado de líneas es canónicamente isomorfo a un fibrado principal. De hecho, dado un fibrado de líneas sobre un esquema , la especificación relativa ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee }))\to S}$

da un fibrado lineal geométrico. Al eliminar la imagen de la sección cero, se obtiene un fibrado principal. A la inversa, a partir de la representación , se puede reconstruir el fibrado lineal asociado. ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})}$

Gerbes

Una gerbe es una pila en grupoides que localmente no está vacía, por ejemplo la gerbe trivial que asigna a cada esquema el grupoide de fibrados principales sobre el esquema, para algún grupo . ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Especificaciones relativas y proyección.

Si A es un haz cuasi-coherente de álgebras en una pila algebraica X sobre un esquema S , entonces hay una pila Spec( A ) que generaliza la construcción del espectro Spec( A ) de un anillo conmutativo A . Un objeto de Spec( A ) está dado por un S -esquema T , un objeto x de X ( T ), y un morfismo de haces de álgebras desde x *( A ) hasta el anillo de coordenadas O ( T ) de T .

Si A es un haz cuasi coherente de álgebras graduadas en una pila algebraica X sobre un esquema S , entonces hay una pila Proj( A ) que generaliza la construcción del esquema proyectivo Proj( A ) de un anillo graduado A .

Pilas de módulos

Módulos de curvas

• Mumford (1965) estudió la pila de módulos M _1,1 de las curvas elípticas y demostró que su grupo de Picard es cíclico de orden 12. Para las curvas elípticas sobre los números complejos , la pila correspondiente es similar a un cociente del semiplano superior por la acción del grupo modular .
• El espacio de módulos de curvas algebraicas definido como una familia universal de curvas suaves de género dado no existe como una variedad algebraica porque en particular hay curvas que admiten automorfismos no triviales. Sin embargo, hay una pila de módulos , que es un buen sustituto para el inexistente espacio de módulos finos de curvas de género suaves. De manera más general, hay una pila de módulos de curvas de género con puntos marcados. En general, esta es una pila algebraica, y es una pila de Deligne-Mumford para o o (en otras palabras, cuando los grupos de automorfismos de las curvas son finitos). Esta pila de módulos tiene una completitud que consiste en la pila de módulos de curvas estables (para y dados ), que es propia sobre Spec Z . Por ejemplo, es la pila clasificadora del grupo lineal general proyectivo. (Hay una sutileza en la definición de , ya que uno tiene que usar espacios algebraicos en lugar de esquemas para construirlo). ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g=1,n\geq 1}$ ${\displaystyle g=0,n\geq 3}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

Espacios de módulos de Kontsevich

Otra clase de espacios de módulos ampliamente estudiados son los espacios de módulos de Kontsevich que parametrizan el espacio de aplicaciones estables entre curvas de un género fijo a un espacio fijo cuya imagen representa una clase de cohomología fija. Estos espacios de módulos se denotan ^[3] ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

y pueden tener un comportamiento salvaje, como ser pilas reducibles cuyos componentes no tienen la misma dimensión. Por ejemplo, ^[3] la pila de módulos

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

tiene curvas suaves parametrizadas por un subconjunto abierto . En el límite del espacio de módulos, donde las curvas pueden degenerar en curvas reducibles, hay una subpila que parametriza curvas reducibles con un componente de género y un componente de género que se intersecan en un punto, y la función envía la curva de género a un punto. Dado que todas esas curvas de género están parametrizadas por , y hay una elección dimensional adicional de dónde se intersecan estas curvas en la curva de género, el componente de límite tiene dimensión . ${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10}$

Otras pilas de módulos

• Una pila Picard generaliza una variedad Picard .
• La pila de módulos de leyes de grupos formales clasifica las leyes de grupos formales .
• Un esquema ind, como un espacio proyectivo infinito, y un esquema formal son una pila.
• En el programa geométrico Langlands se utiliza una pila de módulos de shtukas . (Véase también shtukas ).

Pilas geométricas

Pilas proyectivas ponderadas

La construcción de espacios proyectivos ponderados implica tomar la variedad cociente de algunos por una -acción. En particular, la acción envía una tupla ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

y el cociente de esta acción da el espacio proyectivo ponderado . Dado que esto puede tomarse como un cociente de pila, la pila proyectiva ponderada ^{[4] pág. 30} es ${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

Tomando el lugar de desaparición de un polinomio ponderado en un fibrado de líneas se obtiene una variedad proyectiva ponderada apilada. ${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$

Curvas apiladas

Las curvas apiladas , u orbicurvas, se pueden construir tomando el cociente de apilamiento de un morfismo de curvas por el grupo de monodromía de la cubierta sobre los puntos genéricos. Por ejemplo, tomemos un morfismo proyectivo

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

que es genéricamente etale . El cociente de apilamiento del dominio por da un apilamiento con puntos de apilamiento que tienen un grupo estabilizador en las raíces quintas de la unidad en el diagrama. Esto se debe a que estos son los puntos donde se ramifica la cubierta. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mu _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$ ${\displaystyle x/y}$

Pila no afín

Un ejemplo de una pila no afín es la semirrecta con dos orígenes apilados. Esta puede construirse como el colímite de dos inclusiones de . ${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$

Haces cuasi-coherentes en pilas algebraicas

Sobre una pila algebraica se puede construir una categoría de haces cuasi-coherentes similar a la categoría de haces cuasi-coherentes sobre un esquema.

Un haz cuasi coherente es, en líneas generales, uno que se parece localmente al haz de un módulo sobre un anillo. El primer problema es decidir qué se entiende por "localmente": esto implica la elección de una topología de Grothendieck, y hay muchas opciones posibles para esto, todas las cuales tienen algunos problemas y ninguna de las cuales parece completamente satisfactoria. La topología de Grothendieck debe ser lo suficientemente fuerte como para que la pila sea localmente afín en esta topología: los esquemas son localmente afines en la topología de Zariski, por lo que esta es una buena opción para los esquemas como descubrió Serre, los espacios algebraicos y las pilas de Deligne-Mumford son localmente afines en la topología étale, por lo que generalmente se usa la topología étale para estos, mientras que las pilas algebraicas son localmente afines en la topología suave, por lo que se puede usar la topología suave en este caso. Para pilas algebraicas generales, la topología étale no tiene suficientes conjuntos abiertos: por ejemplo, si G es un grupo conexo suave, entonces las únicas cubiertas étale de la pila de clasificación BG son uniones de copias de BG, que no son suficientes para dar la teoría correcta de haces cuasicoherentes.

En lugar de utilizar la topología suave para pilas algebraicas, a menudo se utiliza una modificación de la misma llamada topología Lis-Et (abreviatura de Lisse-Etale: lisse es el término francés para suave), que tiene los mismos conjuntos abiertos que la topología suave, pero las coberturas abiertas están dadas por etale en lugar de por funciones suaves. Esto suele parecer conducir a una categoría equivalente de haces cuasi coherentes, pero es más fácil de utilizar: por ejemplo, es más fácil de comparar con la topología etale en espacios algebraicos. La topología Lis-Et tiene un problema técnico sutil: un morfismo entre pilas no da en general un morfismo entre los topos correspondientes. (El problema es que si bien uno puede construir un par de funtores adjuntos f _* , f *, según sea necesario para un morfismo geométrico de topoi, el funtor f * no queda exacto en general. Este problema es conocido por haber causado algunos errores en artículos y libros publicados. ^[5] ) Esto significa que construir el pullback de un haz cuasicoherente bajo un morfismo de pilas requiere un esfuerzo adicional.

También es posible utilizar topologías más finas. La mayoría de las topologías de Grothendieck "suficientemente grandes" razonables parecen conducir a categorías equivalentes de haces cuasi-coherentes, pero cuanto más grande es una topología, más difícil es de manejar, por lo que generalmente se prefieren usar topologías más pequeñas siempre que tengan suficientes conjuntos abiertos. Por ejemplo, la topología fppf grande conduce esencialmente a la misma categoría de haces cuasi-coherentes que la topología Lis-Et, pero tiene un problema sutil: la incrustación natural de haces cuasi-coherentes en módulos O _X en esta topología no es exacta (no preserva los núcleos en general).

Otros tipos de pila

Las pilas diferenciables y las pilas topológicas se definen de manera similar a las pilas algebraicas, excepto que la categoría subyacente de esquemas afines se reemplaza por la categoría de variedades suaves o espacios topológicos.

De manera más general, se puede definir la noción de n -haz o pila n -1, que es aproximadamente una especie de haz que toma valores en n -1 categorías. Hay varias formas no equivalentes de hacer esto. Los 1-haces son lo mismo que las haces, y los 2-haces son lo mismo que las pilas. Se denominan pilas superiores.

Una extensión muy similar y análoga es desarrollar la teoría de pilas sobre objetos no discretos (es decir, un espacio es realmente un espectro en topología algebraica). Los objetos apilados resultantes se denominan pilas derivadas (o pilas espectrales). El libro en construcción de Jacob Lurie , Spectral Algebraic Geometry, estudia una generalización que él llama pila espectral Deligne-Mumford. Por definición, es un ∞-topos anillado que es étale-localmente el espectro étale de un E _∞ -ring (esta noción subsume la de un esquema derivado , al menos en característica cero).

Problemas de teoría de conjuntos

Existen algunos problemas menores de teoría de conjuntos con la base habitual de la teoría de pilas, porque las pilas suelen definirse como ciertos funtores de la categoría de conjuntos y, por lo tanto, no son conjuntos. Hay varias formas de abordar este problema:

• Se puede trabajar con universos de Grothendieck: una pila es entonces un funtor entre clases de algún universo de Grothendieck fijo, por lo que estas clases y las pilas son conjuntos en un universo de Grothendieck más grande. El inconveniente de este enfoque es que hay que suponer la existencia de suficientes universos de Grothendieck, lo que es esencialmente un gran axioma cardinal.
• Se pueden definir pilas como funtores del conjunto de conjuntos de rango suficientemente grande y llevar un registro cuidadoso de los rangos de los distintos conjuntos que se utilizan. El problema con esto es que implica una contabilidad adicional bastante tediosa.
• Se pueden utilizar los principios de reflexión de la teoría de conjuntos que establecen que se pueden encontrar modelos de conjuntos de cualquier fragmento finito de los axiomas de ZFC para demostrar que se pueden encontrar automáticamente conjuntos que sean aproximaciones suficientemente cercanas al universo de todos los conjuntos.
• Se puede simplemente ignorar el problema. Éste es el enfoque adoptado por muchos autores.

Véase también

• Pila algebraica
• Grupo Chow de una pila
• Pila Deligne-Mumford
• Glosario de geometría algebraica
• Persiguiendo pilas
• Espacio cociente de una pila algebraica
• Anillo de formas modulares
• Prehaz simple
• Proyecto Stacks
• Pila tórica
• Espacio generalizado

Notas

1. Alper, Jarod; Hall, Jack; Rydh, David (2020). "Un teorema de rebanadas de Luna étale para pilas algebraicas". Anales de Matemáticas . 191 (3): 675–738. doi :10.4007/annals.2020.191.3.1. hdl : 10150/641331 . ISSN  0003-486X. JSTOR  10.4007/annals.2020.191.3.1. S2CID  3225788.
2. Heinloth, Jochen (29 de enero de 2009), "Conferencias sobre la pila de módulos de fibrados vectoriales en una curva", Variedades de banderas afines y fibrados principales , Basilea: Springer Basel (publicado en 2010), págs. 123-153, doi :10.1007/978-3-0346-0288-4_4, ISBN 978-3-0346-0287-7
3. Massarenti, Alez. "Módulos de aplicaciones estables, invariantes de Gromov-Witten y cohomología cuántica" (PDF) . pp. 1–4. Archivado (PDF) desde el original el 23 de enero de 2018.
4. Fantechi, Barbara; Mann, Etienne; Nironi, Fabio (22 de septiembre de 2009). "Pilas de DM tóricas lisas". arXiv : 0708.1254 [math.AG].
5. Véase, por ejemplo, Olsson, Martin (2007). "Gavillas en pilas de Artin". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2007 (603): 55-112. doi :10.1515/CRELLE.2007.012. SEÑOR  2312554. S2CID  15445962.

Referencias

Pedagógico

• Behrend, Kai; Conrado, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Bárbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas, archivado desde el original el 5 de mayo de 2008
• Goméz, Tomás (1999), Pilas algebraicas , arXiv : math/9911199 , Bibcode :1999math.....11199GEs un artículo expositivo que describe los conceptos básicos de las pilas con ejemplos.
• Edidin, Dan (2003), "¿Qué es... una pila?" (PDF) , Avisos de la AMS , 50 (4): 458–459

Guías de la literatura

• https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0

Referencias

• Artin, Michael (1974), "Deformaciones versales y pilas algebraicas", Inventiones Mathematicae , 27 (3): 165–189, Bibcode :1974InMat..27..165A, doi :10.1007/BF01390174, ISSN  0020-9910, MR  0399094, S2CID  122887093
• Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969), "La irreducibilidad del espacio de curvas de género dado", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (36): 75–109, CiteSeerX  10.1.1.589.288 , doi :10.1007/BF02684599, ISSN  1618-1913, MR  0262240, S2CID  16482150
• Fantechi, Barbara (2001), "Stacks para todos" (PDF) , Congreso Europeo de Matemáticas, Volumen I , Progr. Math., vol. 201, Basilea: Birkhäuser, pp. 349–359, ISBN 3-7643-6417-3, Sr.  1905329
• Giraud, Jean (1964), "Méthode de la descente", Société Mathématique de France. Boletín. Suplemento. Memoria , 2 : viii+150, SEÑOR  0190142
• Giraud, Jean (1966), Cohomologie non abélienne de degré 2 , tesis, París{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abelienne , Springer , ISBN 3-540-05307-7
• Gómez, Tomás L. (2001), "Pilas algebraicas", Proceedings - Mathematical Sciences , 111 (1): 1–31, arXiv : math/9911199 , doi :10.1007/BF02829538, MR  1818418, S2CID  373638
• Grothendieck, Alejandro (1959). "Technique de descente et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. I. Généralités. Descente par morphismes fidèlement plats". Seminario Bourbaki . 5 (Exposición 190).
• Laumon, Gerard; Moret-Bailly, Laurent (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas, vol. 39, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3, Sr.  1771927Lamentablemente, este libro utiliza la afirmación incorrecta de que los morfismos de las pilas algebraicas inducen morfismos de topos lisos. Olsson (2007) corrigió algunos de estos errores.
• Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2008), "Las seis operaciones para gavillas en pilas Artin. I. Coeficientes finitos", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publicaciones Mathématiques , 107 (1): 109–168, arXiv : math/0512097 , doi : 10.1007/s10240-008-0011-6, MR  2434692, S2CID  371801
• Mumford, David (1965), "Problemas de grupos de módulos de Picard", en Schilling, OFG (ed.), Arithmetical Algebraic Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , Nueva York: Harper & Row, págs. 33–81, MR  0201443
• Olsson, Martin Christian (2007), Geraschenko, Anton (ed.), Notas del curso de Matemáticas 274: Pilas (PDF)
• Olsson, Martin (2016), Espacios algebraicos y pilas , Colloquium Publications, vol. 62, American Mathematical Society, ISBN 978-1470427986
• Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría de la descendencia", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode :2004math.....12512V, MR  2223406

Lectura adicional

• Morava, Jack (2012). "Teorías de cualquier cosa". arXiv : 1202.0684 [math.CT].

Enlaces externos

• pila en el laboratorio n
• Descenso en el laboratorio n
• De Jong, Aise Johan, Proyecto Stacks
• Fulton, William, ¿Qué es una pila?, videoconferencia y notas de MSRI
• Toën, Bertrand (2007), Cours de Master 2: Campos algébriques (2006-2007)
• "¿Buenas referencias introductorias sobre pilas algebraicas?"