Pila de módulos de curvas elípticas

En matemáticas , la pila de módulos de curvas elípticas , denotada como o , es una pila algebraica sobre la clasificación de curvas elípticas . Nótese que es un caso especial de la pila de módulos de curvas algebraicas . En particular, sus puntos con valores en algún campo corresponden a curvas elípticas sobre el campo, y más generalmente, los morfismos de un esquema a él corresponden a curvas elípticas sobre . La construcción de este espacio abarca más de un siglo debido a las diversas generalizaciones de las curvas elípticas a medida que el campo se ha desarrollado. Todas estas generalizaciones están contenidas en . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathrm {ell} }}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

Propiedades

Pila lisa Deligne-Mumford

La pila de módulos de curvas elípticas es una pila Deligne-Mumford suave y separada de tipo finito sobre , pero no es un esquema ya que las curvas elípticas tienen automorfismos no triviales. ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

j-invariante

Existe un morfismo propio de la línea afín, el espacio de módulos gruesos de las curvas elípticas, dado por el j -invariante de una curva elíptica. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

Construcción sobre los números complejos

Es una observación clásica que cada curva elíptica sobre se clasifica por sus períodos . Dada una base para su homología integral y una forma diferencial holomorfa global (que existe ya que es suave y la dimensión del espacio de tales diferenciales es igual al género , 1), las integrales dan los generadores para una red -de rango 2 dentro de ^{[1] pg 158} . A la inversa, dada una red integral de rango dentro de , hay una incrustación del toro complejo en a partir de la función P de Weierstrass ^{[1] pg 165} . Esta correspondencia isomorfa está dada por y se mantiene hasta la homotecia de la red , que es la relación de equivalencia Es estándar entonces escribir la red en la forma para , un elemento del semiplano superior , ya que la red podría ser multiplicada por , y ambos generan la misma subred. Entonces, el semiplano superior da un espacio de parámetros de todas las curvas elípticas sobre . Existe una equivalencia adicional de curvas dada por la acción de donde una curva elíptica definida por la red es isomorfa a las curvas definidas por la red dada por la acción modular Entonces, la pila de módulos de curvas elípticas sobre está dada por el cociente de pila Nótese que algunos autores construyen este espacio de módulos usando en cambio la acción del grupo modular . En este caso, los puntos en que solo tienen estabilizadores triviales son densos. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in H_{1}(E,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (E,\Omega _{E}^{1})}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\int _{\alpha }\omega &\int _{\beta }\omega \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}&\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle E_{\Lambda }=\mathbb {C} /\Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {C} /\Lambda \to E(\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle z\mapsto [\wp (z,\Lambda ),\wp '(z,\Lambda ),1]\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$$ ${\displaystyle \Lambda }$ $${\displaystyle z\Lambda \sim \Lambda ~{\text{for}}~z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$ ${\displaystyle \tau \in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \omega _{1}^{-1}}$ ${\displaystyle \tau ,-\tau }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{Mat}}_{2,2}(\mathbb {Z} ):ad-bc=1\right\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \cdot \tau '}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot \tau &={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\\&=\tau '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}\cong [{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\backslash {\mathfrak {h}}]}$$ ${\displaystyle {\text{PSL}}_{2}(\mathbb {Z} )={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm I\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

Los dominios fundamentales de la acción de en el semiplano superior se muestran aquí como pares de triángulos ideales de diferentes colores que comparten un borde. El dominio fundamental "estándar" se muestra con bordes más oscuros. Al identificar adecuadamente los puntos en el límite de esta región, obtenemos el espacio de módulos grueso de curvas elípticas. Los puntos apilados en y están en el límite de esta región. ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \tau =i}$ ${\displaystyle \tau =e^{2\pi i/3},e^{\pi i/3}}$

${\displaystyle \qquad }$

Puntos apilados/Orbifold

Genéricamente, los puntos en son isomorfos a la pila clasificadora ya que cada curva elíptica corresponde a una doble cobertura de , por lo que la -acción sobre el punto corresponde a la involución de estas dos ramas de la cobertura. Hay unos pocos puntos especiales ^{[2] pg 10-11} correspondientes a curvas elípticas con -invariante igual a y donde los grupos de automorfismos son de orden 4, 6, respectivamente ^{[3] pg 170} . Un punto en el dominio fundamental con estabilizador de orden corresponde a , y los puntos correspondientes al estabilizador de orden corresponden a ^{[4] pg 78} . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle B(\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle 1728}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \tau =i}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \tau =e^{2\pi i/3},e^{\pi i/3}}$

Representación de involuciones de curvas planas

Dada una curva plana por su ecuación de Weierstrass y una solución , genéricamente para j-invariante , existe la -involución enviando . En el caso especial de una curva con multiplicación compleja existe la -involución enviando . El otro caso especial es cuando , entonces una curva de la forma existe la -involución enviando donde es la tercera raíz de la unidad . $${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$$ ${\displaystyle (t,s)}$ ${\displaystyle j\neq 0,1728}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle (t,s)\mapsto (t,-s)}$ $${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4}$ ${\displaystyle (t,s)\mapsto (-t,{\sqrt {-1}}\cdot s)}$ ${\displaystyle a=0}$ $${\displaystyle y^{2}=x^{3}+b}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /6}$ ${\displaystyle (t,s)\mapsto (\zeta _{3}t,-s)}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$ ${\displaystyle e^{2\pi i/3}}$

Dominio fundamental y visualización

Hay un subconjunto del plano de la mitad superior llamado dominio fundamental que contiene cada clase de isomorfismo de curvas elípticas. Es el subconjunto Es útil considerar este espacio porque ayuda a visualizar la pila . A partir del mapa cociente, la imagen de es sobreyectiva y su interior es inyectivo ^{[4] pág. 78.} Además, los puntos en el límite se pueden identificar con su imagen especular bajo la involución enviando , por lo que se pueden visualizar como la curva proyectiva con un punto eliminado en el infinito ^{[5] pág. 52} . $${\displaystyle D=\{z\in {\mathfrak {h}}:|z|\geq 1{\text{ and }}{\text{Re}}(z)\leq 1/2\}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}\to {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\backslash {\mathfrak {h}}}$$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\text{Re}}(z)\mapsto -{\text{Re}}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Paquetes de líneas y funciones modulares

Hay fibrados lineales sobre la pila de módulos cuyas secciones corresponden a funciones modulares en el semiplano superior . En hay -acciones compatibles con la acción sobre dada por El grado de acción está dado por por lo tanto, el fibrado lineal trivial con el grado de acción desciende a un fibrado lineal único denotado . Observe que la acción sobre el factor es una representación de sobre por lo tanto, tales representaciones se pueden tensar juntas, mostrando . Las secciones de son entonces funciones secciones compatibles con la acción de , o equivalentemente, funciones tales que Esta es exactamente la condición para que una función holomorfa sea modular. ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ $${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\times {\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}\to {\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}}$$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:(z,\tau )\mapsto \left((c\tau +d)^{k}z,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes l}\cong {\mathcal {L}}^{\otimes (k+l)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes k}}$ ${\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {C} \times {\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot \tau \right)=(c\tau +d)^{k}f(\tau )}$$

Formas modulares

Las formas modulares son las funciones modulares que se pueden extender a la compactificación esto se debe a que para compactar la pila se debe agregar un punto en el infinito, lo cual se hace mediante un proceso de pegado pegando el -disco (donde una función modular tiene su -expansión) ^{[2] págs 29-33} . $${\displaystyle {\overline {{\mathcal {L}}^{\otimes k}}}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

Curvas universales

La construcción de las curvas universales es un proceso de dos pasos: (1) construir una curva versal y luego (2) demostrar que se comporta bien con respecto a la acción sobre . La combinación de estas dos acciones produce la pila de cocientes ${\displaystyle {\mathcal {E}}\to {\mathcal {M}}_{1,1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ $${\displaystyle [({\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {Z} ^{2})\backslash \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}]}$$

Curva versal

Cada retículo de rango 2 en induce una acción canónica sobre . Como antes, dado que cada retículo es homotético a un retículo de la forma entonces la acción envía un punto a Como en puede variar en esta acción, hay una acción inducida sobre dando el espacio cociente al proyectar sobre . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (1,\tau )}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle (m,n)\cdot z\mapsto z+m\cdot 1+n\cdot \tau }$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times {\mathfrak {h}}}$ $${\displaystyle (m,n)\cdot (z,\tau )\mapsto (z+m\cdot 1+n\cdot \tau ,\tau )}$$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

SL₂-acción sobre Z²

Hay una -acción sobre que es compatible con la acción sobre , es decir, dado un punto y un , la nueva red y una acción inducida desde , que se comporta como se esperaba. Esta acción está dada por que es la multiplicación de matrices a la derecha, por lo que ${\displaystyle {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle z\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle g\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle g\cdot z}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\cdot g}$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:(m,n)\mapsto (m,n)\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle (m,n)\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=(am+cn,bm+dn)}$$

Véase también

• Dominio fundamental
• Homotecia
• Estructura de niveles (geometría algebraica)
• Módulos de variedades abelianas
• Variedad Shimura
• Curva modular
• Cohomología elíptica

Referencias

1. Silverman, Joseph H. (2009). La aritmética de las curvas elípticas (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09494-6.OCLC 405546184  .
2. Hain, Richard (25 de marzo de 2014). "Conferencias sobre espacios de módulos de curvas elípticas". arXiv : 0812.1803 [math.AG].
3. Galbraith, Steven. "Curvas elípticas" (PDF) . Matemáticas de la criptografía de clave pública. Cambridge University Press – vía The University of Auckland.
4. Serre, Jean-Pierre (1973). Un curso de aritmética . Nueva York: Springer New York. ISBN 978-1-4684-9884-4.OCLC 853266550  .
5. Henriques, André G. "La pila de módulos de curvas elípticas". En Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G; Hill, Michael A. (eds.). Formas modulares topológicas (PDF) . Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7. OCLC  884782304. Archivado desde el original (PDF) el 9 de junio de 2020, a través de la Universidad de California, Los Ángeles.

• Hain, Richard (2008), Lecciones sobre espacios de módulos de curvas elípticas , arXiv : 0812.1803 , Bibcode :2008arXiv0812.1803H
• Lurie, Jacob (2009), Un estudio de la cohomología elíptica (PDF)
• Olsson, Martin (2016), Espacios algebraicos y pilas , Colloquium Publications, vol. 62, American Mathematical Society, ISBN 978-1470427986

Enlaces externos

• módulos+pila+de+curvas+elípticas+en+el + laboratorio
• "La pila de módulos de curvas elípticas", proyecto Stacks