Categoría de fibra

Concepto en la teoría de categorías

Las categorías fibrosas (o categorías fibrosas ) son entidades abstractas en matemáticas que se utilizan para proporcionar un marco general para la teoría de la descendencia . Formalizan las diversas situaciones en geometría y álgebra en las que se pueden definir imágenes inversas (o pull-backs ) de objetos como los fibrados vectoriales . Como ejemplo, para cada espacio topológico existe la categoría de fibrados vectoriales en el espacio, y para cada función continua de un espacio topológico X a otro espacio topológico Y se asocia el funtor pullback que toma fibrados en Y a fibrados en X. Las categorías fibrosas formalizan el sistema que consiste en estas categorías y funtores de imagen inversa. Aparecen configuraciones similares en diversas formas en matemáticas, en particular en geometría algebraica , que es el contexto en el que aparecieron originalmente las categorías fibrosas. Las categorías fibrosas se utilizan para definir pilas , que son categorías fibrosas (sobre un sitio) con "descendencia". Las fibraciones también juegan un papel importante en la semántica categórica de la teoría de tipos , y en particular en la de las teorías de tipos dependientes .

Las categorías fibrosas fueron introducidas por Alexander Grothendieck  (1959, 1971) y desarrolladas con más detalle por Jean Giraud  (1964, 1971).

Antecedentes y motivaciones

Existen muchos ejemplos en topología y geometría en los que se considera que algunos tipos de objetos existen sobre o por encima de algún espacio base subyacente . Los ejemplos clásicos incluyen fibrados vectoriales, fibrados principales y haces sobre espacios topológicos. Otro ejemplo lo dan las "familias" de variedades algebraicas parametrizadas por otra variedad. Un ejemplo típico de estas situaciones es que, para un tipo adecuado de una función entre espacios base, existe una operación de imagen inversa correspondiente (también llamada pull-back ) que lleva los objetos considerados definidos en al mismo tipo de objetos en . Este es, de hecho, el caso en los ejemplos anteriores: por ejemplo, la imagen inversa de un fibrado vectorial en es un fibrado vectorial en . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{*}(E)}$ ${\displaystyle X}$

Además, a menudo ocurre que los "objetos en un espacio base" considerados forman una categoría, o en otras palabras tienen aplicaciones ( morfismos ) entre ellos. En tales casos, la operación de imagen inversa a menudo es compatible con la composición de estas aplicaciones entre objetos, o en términos más técnicos es un funtor . Nuevamente, este es el caso en los ejemplos enumerados anteriormente.

Sin embargo, a menudo sucede que si es otro mapa, los funtores de imagen inversa no son estrictamente compatibles con los mapas compuestos: si es un objeto sobre (un fibrado vectorial, por ejemplo), bien puede ser que ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle f^{*}(g^{*}(z))\neq (g\circ f)^{*}(z).}$

En cambio, estas imágenes inversas son isomorfas por naturaleza . Esta introducción de cierta "holgura" en el sistema de imágenes inversas hace que aparezcan algunas cuestiones delicadas, y es esta configuración la que las categorías fibrosas formalizan.

La principal aplicación de las categorías fibrosas es la teoría de la descendencia , que se ocupa de una amplia generalización de las técnicas de "pegado" utilizadas en topología. Para sustentar una teoría de la descendencia con la suficiente generalidad como para que pueda aplicarse en situaciones no triviales de geometría algebraica, la definición de categorías fibrosas es bastante general y abstracta. Sin embargo, la intuición subyacente es bastante sencilla si se tienen en cuenta los ejemplos básicos analizados anteriormente.

Definiciones formales

Existen dos definiciones técnicas esencialmente equivalentes de categorías fibrosas, que se describirán a continuación. Todo el análisis de esta sección ignora los problemas de teoría de conjuntos relacionados con las categorías "grandes". El análisis puede hacerse completamente riguroso, por ejemplo, restringiendo la atención a categorías pequeñas o utilizando universos .

Morfismos y funtores cartesianos

Si es un funtor entre dos categorías y es un objeto de , entonces la subcategoría de que consiste en aquellos objetos para los cuales y aquellos morfismos que satisfacen , se llama categoría de fibra (o fibra ) sobre , y se denota por . Los morfismos de se llaman -morfismos , y para los objetos de , el conjunto de -morfismos se denota por . La imagen por de un objeto o un morfismo en se llama su proyección (por ). Si es un morfismo de , entonces aquellos morfismos de que proyectan a se llaman -morfismos , y el conjunto de -morfismos entre objetos y en se denota por . ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi (x)=S}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \phi (m)={\text{id}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(x,y)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{f}(x,y)}$

Un morfismo en se llama -cartesiano (o simplemente cartesiano ) si satisface la siguiente condición: ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi }$

si es la proyección de , y si es un -morfismo, entonces hay precisamente un -morfismo tal que . ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n:z\to y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a:z\to x}$ ${\displaystyle m\circ a=n}$

Un morfismo cartesiano se llama imagen inversa de su proyección ; el objeto se llama imagen inversa de por . ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle f=\phi (m)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$

Los morfismos cartesianos de una categoría de fibra son precisamente los isomorfismos de . En general, puede haber más de un morfismo cartesiano que se proyecte a un morfismo dado , posiblemente teniendo diferentes fuentes; por lo tanto, puede haber más de una imagen inversa de un objeto dado en por . Sin embargo, es una consecuencia directa de la definición que dos de esas imágenes inversas sean isomorfas en . ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F_{T}}$

Un funtor también se denomina -categoría , o se dice que se convierte en una -categoría o en una categoría sobre . Un -funtor de una -categoría a una -categoría es un funtor tal que . -categorías forman de manera natural una 2-categoría , donde los 1-morfismos son -funtores y los 2-morfismos son transformaciones naturales entre -funtores cuyos componentes se encuentran en alguna fibra. ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \psi :G\to E}$ ${\displaystyle \alpha :F\to G}$ ${\displaystyle \psi \circ \alpha =\phi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Un funtor entre dos categorías se denomina funtor cartesiano si toma morfismos cartesianos en morfismos cartesianos. Los funtores cartesianos entre dos categorías forman una categoría , con transformaciones naturales como morfismos. Se proporciona un caso especial al considerar como una categoría a través del funtor identidad: entonces un funtor cartesiano de a una categoría se denomina sección cartesiana . Por lo tanto, una sección cartesiana consiste en una elección de un objeto en para cada objeto en , y para cada morfismo una elección de una imagen inversa . Una sección cartesiana es, por lo tanto, un sistema (estrictamente) compatible de imágenes inversas sobre objetos de . La categoría de secciones cartesianas de se denota por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x_{S}}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle m_{f}:x_{T}\to x_{S}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)=\mathrm {Cart} _{E}(E,F).}$

En el caso importante donde tiene un objeto terminal (por lo tanto en particular cuando es un topos o la categoría de flechas con objetivo en ) el funtor ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{/S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \epsilon \colon {\underset {\longleftarrow }{\mathrm {Lim} }}(F/E)\to F_{e},\qquad s\mapsto s(e)}$

es plenamente fiel (Lema 5.7 de Giraud (1964)).

Categorías fibrosas y categorías hendidas

La definición técnicamente más flexible y económica de categorías fibrosas se basa en el concepto de morfismos cartesianos. Equivale a una definición en términos de clivajes , siendo esta última definición la original presentada en Grothendieck (1959); la definición en términos de morfismos cartesianos fue introducida en Grothendieck (1971) en 1960-1961.

Una categoría es una categoría fibrosa (o una -categoría fibrosa , o una categoría fibrosa sobre ) si cada morfismo cuyo codominio está en el rango de proyección tiene al menos una imagen inversa, y además la composición de cualesquiera dos morfismos cartesianos en es siempre cartesiana. En otras palabras, una -categoría es una categoría fibrosa si siempre existen imágenes inversas (para morfismos cuyos codominios están en el rango de proyección) y son transitivas . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m\circ n}$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$

Si tiene un objeto terminal y si está fibrado sobre , entonces el funtor de las secciones cartesianas a definido al final de la sección anterior es una equivalencia de categorías y además sobreyectiva sobre objetos. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle F_{e}}$

Si es una categoría fibrosa , siempre es posible, para cada morfismo en y cada objeto en , elegir (usando el axioma de elección ) precisamente una imagen inversa . La clase de morfismos así seleccionada se llama clivaje y los morfismos seleccionados se llaman morfismos de transporte (del clivaje). Una categoría fibrosa junto con un clivaje se llama categoría hendida . Un clivaje se llama normalizado si los morfismos de transporte incluyen todas las identidades en ; esto significa que las imágenes inversas de los morfismos identidad se eligen para que sean morfismos identidad. Evidentemente, si existe un clivaje, se puede elegir que sea normalizado; consideraremos solo clivajes normalizados a continuación. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle F}$

La elección de una división (normalizada) para una categoría de fibras especifica, para cada morfismo en , un funtor ; en objetos es simplemente la imagen inversa por el morfismo de transporte correspondiente, y en morfismos se define de manera natural por la propiedad universal definitoria de los morfismos cartesianos. La operación que asocia a un objeto de la categoría de fibras y a un morfismo el funtor imagen inversa es casi un funtor contravariante de a la categoría de categorías. Sin embargo, en general no conmuta estrictamente con la composición de morfismos. En cambio, si y son morfismos en , entonces hay un isomorfismo de funtores. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F_{S}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle g:U\to T}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle c_{f,g}\colon \quad g^{*}f^{*}\to (f\circ g)^{*}.}$

Estos isomorfismos satisfacen las dos compatibilidades siguientes:

1. ${\displaystyle c_{f,\mathrm {id} _{T}}=c_{\mathrm {id} _{S},f}=\mathrm {id} _{f^{*}}}$
2. Para tres morfismos consecutivos y objeto se cumple lo siguiente: ${\displaystyle h,g,f\colon \quad V\to U\to T\to S}$ ${\displaystyle x\in F_{S}}$ ${\displaystyle c_{f,g\circ h}\cdot c_{g,h}(f^{*}(x))=c_{f\circ g,h}(x)\cdot h^{*}(c_{f,g}(x)).}$

Se puede demostrar (véase Grothendieck (1971) sección 8) que, inversamente, cualquier colección de funtores junto con isomorfismos que satisfacen las compatibilidades anteriores, define una categoría hendida. Estas colecciones de funtores de imagen inversa proporcionan una visión más intuitiva de las categorías fibrosas; y, de hecho, fue en términos de tales funtores de imagen inversa compatibles que las categorías fibrosas fueron introducidas en Grothendieck (1959). ${\displaystyle f^{*}:F_{S}\to F_{T}}$ ${\displaystyle c_{f,g}}$

El artículo de Gray al que se hace referencia a continuación establece analogías entre estas ideas y la noción de fibración de espacios.

Estas ideas se simplifican en el caso de los grupoides , como se muestra en el artículo de Brown al que se hace referencia más adelante, que obtiene una familia útil de secuencias exactas a partir de una fibración de grupoides.

Divisiones y categorías de fibras divididas

Una escisión (normalizada) tal que la composición de dos morfismos de transporte es siempre un morfismo de transporte se denomina escisión , y una categoría fibrosa con una escisión se denomina categoría (fibrizada) escindida . En términos de funtores de imagen inversa, la condición de ser una escisión significa que la composición de funtores de imagen inversa correspondientes a morfismos componibles en es igual al funtor de imagen inversa correspondiente a . En otras palabras, los isomorfismos de compatibilidad de la sección anterior son todos identidades para una categoría escindida. Por lo tanto, las categorías escindidas corresponden exactamente a funtores verdaderos de a la categoría de categorías. ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle c_{f,g}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

A diferencia de las divisiones, no todas las categorías de fibras admiten divisiones. Para ver un ejemplo, véase a continuación.

Morfismos co-cartesianos y categorías co-fibradas

Se puede invertir la dirección de las flechas en las definiciones anteriores para llegar a los conceptos correspondientes de morfismos co-cartesianos, categorías co-fibradas y categorías co-fibradas divididas (o categorías co-divididas). Más precisamente, si es un funtor, entonces un morfismo en se llama co-cartesiano si es cartesiano para el funtor opuesto . Entonces también se llama imagen directa e imagen directa de para . Una -categoría co-fibrada es una -categoría tal que existe una imagen directa para cada morfismo en y que la composición de imágenes directas es una imagen directa. Una co-escisión y una co-división se definen de manera similar, correspondiendo a funtores de imagen directa en lugar de funtores de imagen inversa. ${\displaystyle \phi :F\to E}$ ${\displaystyle m:x\to y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi ^{\text{op}}:F^{\text{op}}\to E^{\text{op}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f=\phi (m)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Propiedades

Las 2 categorías de categorías de fibra y categorías divididas

Las categorías fibradas sobre una categoría fija forman una 2-categoría , donde la categoría de morfismos entre dos categorías fibradas y se define como la categoría de funtores cartesianos de a . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {Fib} (E)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

De manera similar, las categorías divididas forman una 2-categoría (del francés catégorie scindée ), donde la categoría de morfismos entre dos categorías divididas y es la subcategoría completa de -funtores de a que consiste en aquellos funtores que transforman cada morfismo de transporte de en un morfismo de transporte de . Cada uno de estos morfismos de -categorías divididas es también un morfismo de categorías con -fibras, es decir, . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {Scin} (E)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\text{Scin}}_{E}(F,G)\subset {\text{Cart}}_{E}(F,G)}$

Hay un 2-funtor olvidadizo natural que simplemente olvida la división. ${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$

Existencia de categorías divididas equivalentes

Si bien no todas las categorías fibrosas admiten una división, cada categoría fibrosa es de hecho equivalente a una categoría dividida. De hecho, hay dos formas canónicas de construir una categoría dividida equivalente para una categoría fibrosa dada sobre . Más precisamente, el 2-functor olvidadizo admite un 2-adjunto derecho y un 2-adjunto izquierdo (Teoremas 2.4.2 y 2.4.4 de Giraud 1971), y y son las dos categorías divididas asociadas. Los funtores de adjunción y son ambos cartesianos y equivalencias ( ibid .). Sin embargo, si bien su composición es una equivalencia (de categorías, y de hecho de categorías fibrosas), no es en general un morfismo de categorías divididas. Por lo tanto, las dos construcciones difieren en general. Las dos construcciones anteriores de categorías divididas se utilizan de manera crítica en la construcción de la pila asociada a una categoría fibrosa (y en particular la pila asociada a una pre-pila ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i:\mathbf {Scin} (E)\to \mathbf {Fib} (E)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S(F)}$ ${\displaystyle L(F)}$ ${\displaystyle S(F)\to F}$ ${\displaystyle F\to L(F)}$ ${\displaystyle S(F)\to L(F)}$

Categorías fibriladas en grupoides

Existe una construcción relacionada con las categorías fibriladas denominadas categorías fibriladas en grupoides. Se trata de categorías fibriladas tales que cualquier subcategoría dada por ${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

1. Arreglar un objeto ${\displaystyle c\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$
2. Los objetos de la subcategoría son donde ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle p(x)=c}$
3. Las flechas están dadas por tal que ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle p(f)={\text{id}}_{c}}$

es un grupoide denotado . Los 2-funtores asociados de la construcción de Grothendieck son ejemplos de pilas . En resumen, el funtor asociado envía un objeto a la categoría , y un morfismo induce un funtor de la estructura de categoría fibrada. Es decir, para un objeto considerado como un objeto de , hay un objeto donde . Esta asociación da un funtor que es un funtor de grupoides. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle F_{p}:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$ ${\displaystyle d\to c}$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}}_{c})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle p(y)=d}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}\to {\mathcal {F}}_{d}}$

Ejemplos

Categorías de fibras

1. El funtor , que envía una categoría a su conjunto de objetos, es una fibración. Para un conjunto , la fibra consta de categorías con . Las flechas cartesianas son los funtores totalmente fieles. ${\displaystyle {\text{Ob}}:{\textbf {Cat}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\text{Ob}}(C)=S}$
2. Categorías de flechas : Para cualquier categoría la categoría de flechas en tiene como objetos los morfismos en , y como morfismos los cuadrados conmutativos en (más precisamente, un morfismo de a consiste en morfismos y tales que ). El funtor que lleva una flecha a su objetivo hace en una -categoría; para un objeto de la fibra es la categoría de -objetos en , es decir, flechas en con objetivo . Los morfismos cartesianos en son precisamente los cuadrados cartesianos en , y por lo tanto se sobrefibra precisamente cuando existen productos de fibra en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f:X\to T}$ ${\displaystyle g:Y\to S}$ ${\displaystyle a:X\to Y}$ ${\displaystyle b:T\to S}$ ${\displaystyle bf=ga}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle E_{/S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$
3. Fibras : los productos de fibras existen en la categoría de espacios topológicos y, por lo tanto, según el ejemplo anterior, están fibrilados sobre . Si es la subcategoría completa de que consiste en flechas que son mapas de proyección de fibras , entonces es la categoría de fibras en y está fibrilado sobre . La elección de una escisión equivale a la elección de funtores de imagen inversa (o pull-back ) ordinarios para fibras. ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle A({\text{Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}}$ ${\displaystyle A({\text{Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$
4. Fibrados vectoriales : De manera similar a los ejemplos anteriores, las proyecciones de fibrados vectoriales reales (complejos) a sus espacios base forman una categoría ( ) sobre (morfismos de fibrados vectoriales que respetan la estructura del espacio vectorial de las fibras). Esta -categoría también está fibrosada, y los funtores de imagen inversa son los funtores de pull-back ordinarios para fibrados vectoriales. Estas categorías fibrosas son subcategorías (no completas) de . ${\displaystyle p:V\to S}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle {\text{Vect}}_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle {\text{Fib}}}$
5. Haces en espacios topológicos : Los funtores de imagen inversa de haces convierten las categorías de haces en espacios topológicos en una categoría fibrosa (escindida) sobre . Esta categoría fibrosa puede describirse como la subcategoría completa de que consiste en espacios étalé de haces. Al igual que con los fibrados vectoriales, los haces de grupos y anillos también forman categorías fibrosas de . ${\displaystyle {\text{Sh}}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Sh}}}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$ ${\displaystyle A({\text{Top}})}$ ${\displaystyle {\text{Top}}}$
6. Haces sobre topos : Si es un topo y es un objeto en , la categoría de -objetos también es un topo, interpretada como la categoría de haces sobre . Si es un morfismo en , el funtor de imagen inversa puede describirse de la siguiente manera: para un haz sobre y un objeto en uno tiene igual a . Estas imágenes inversas convierten las categorías en una categoría de fibra dividida sobre . Esto puede aplicarse en particular a los topos "grandes" de los espacios topológicos. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:T\to S}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle p:U\to T}$ ${\displaystyle E_{T}}$ ${\displaystyle f^{*}F(U)={\text{Hom}}_{T}(U,f^{*}F)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(f\circ p,F)=F(U)}$ ${\displaystyle E_{S}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TOP}$
7. Haces cuasi coherentes sobre esquemas : Los haces cuasi coherentes forman una categoría fibrosa sobre la categoría de esquemas . Este es uno de los ejemplos que motivan la definición de categorías fibrosas.
8. Categoría fibrosa que no admite división : Un grupo puede considerarse como una categoría con un objeto y los elementos de como morfismos, siendo la composición de morfismos dada por la ley de grupos. Un homomorfismo de grupo puede entonces considerarse como un funtor, que se convierte en una -categoría. Puede comprobarse que en esta configuración todos los morfismos en son cartesianos; por lo tanto, está fibrosado precisamente cuando es sobreyectivo. Una división en esta configuración es una sección (teórica de conjuntos) de la cual conmuta estrictamente con la composición, o en otras palabras, una sección de la cual es también un homomorfismo. Pero como es bien sabido en la teoría de grupos , esto no siempre es posible (se puede tomar la proyección en una extensión de grupo no dividida ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
9. Categoría co-fibrizada de haces : El funtor de imagen directa de haces convierte las categorías de haces en espacios topológicos en una categoría co-fibrizada. La transitividad de la imagen directa muestra que esto es incluso co-dividido naturalmente.

Categoría fibrilada en grupoides

Uno de los principales ejemplos de categorías fibriladas en grupoides proviene de objetos grupoides internos a una categoría . Por lo tanto, dado un objeto grupoide ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle x{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}y}$

Hay un objeto grupoide asociado.

${\displaystyle h_{x}{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}}$

en la categoría de funtores contravariantes de la incrustación de Yoneda . Dado que este diagrama aplicado a un objeto da un grupoide interno a los conjuntos ${\displaystyle {\underline {\text{Hom}}}({\mathcal {C}}^{op},{\text{Sets}})}$ ${\displaystyle z\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$

${\displaystyle h_{x}(z){\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}h_{y}(z)}$

Hay un pequeño grupoide asociado . Esto da un 2-functor contravariante y, utilizando la construcción de Grothendieck , esto da una categoría fibrada en grupoides sobre . Nótese que la categoría de fibra sobre un objeto es simplemente el grupoide asociado del grupoide original en conjuntos. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\to {\text{Groupoids}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Cociente de grupo

Dado un objeto de grupo que actúa sobre un objeto de , hay un objeto grupoide asociado ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a:G\to {\text{Aut}}(X)}$

${\displaystyle G\times X{\underset {t}{\overset {s}{\rightrightarrows }}}{}X}$

donde es la proyección sobre y es el mapa de composición . Este grupoide da una categoría inducida fibrilada en grupoides denotados . ${\displaystyle s:G\times X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t:G\times X\to X}$ ${\displaystyle G\times X\xrightarrow {\left(a,{\text{id}}\right)} {\text{Aut}}(X)\times X\xrightarrow {(f,x)\mapsto f(x)} X}$ ${\displaystyle p:[X/G]\to {\mathcal {C}}}$

Complejo de cadena de dos términos

Para una categoría abeliana cualquier complejo de dos términos ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{1}\xrightarrow {d} {\mathcal {E}}_{0}}$

tiene un grupoide asociado

${\displaystyle s,t:{\mathcal {E}}_{1}\oplus {\mathcal {E}}_{0}\rightrightarrows {\mathcal {E}}_{0}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}s(e_{1}+e_{0})&=e_{0}\\t(e_{1}+e_{0})&=d(e_{1})+e_{0}\end{aligned}}}$

Este grupoide puede utilizarse entonces para construir una categoría fibrilada en grupoides. Un ejemplo notable de esto se encuentra en el estudio del complejo cotangente para intersecciones locales completas y en el estudio de exalcomm .

Véase también

• Construcción de Grothendieck
• Pila (matemáticas)
• El criterio de Artin
• Fibración de conjuntos simpliciales

Referencias

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• Giraud, Jean (1971). Cohomologie non abelienne . Saltador . ISBN 3-540-05307-7.
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Enlaces externos

• SGA 1.VI - Categorías de fibras y descendencia - páginas 119-153
• Fibración de Grothendieck en el laboratorio n