Preapilado

Categoría de geometría algebraica que satisface las condiciones de elevación

En geometría algebraica , un preapilamiento F sobre una categoría C equipada con alguna topología de Grothendieck es una categoría junto con un funtor p : F → C que satisface una cierta condición de sustentación y tal que (cuando las fibras son grupoides) los objetos localmente isomorfos son isomorfos. Una pila es un preapilamiento con descensos efectivos, lo que significa que los objetos locales pueden unirse para convertirse en un objeto global.

Los preapilamientos que aparecen en la naturaleza son típicamente pilas, pero algunos preapilamientos construidos de manera ingenua (por ejemplo, el esquema de grupoide o el preapilamiento de fibrados vectoriales proyectivizados ) pueden no ser pilas. Los preapilamientos pueden estudiarse por sí solos o pasarse a pilas.

Dado que una pila es un preapilamiento, todos los resultados de los preapilamientos también son válidos para las pilas. A lo largo del artículo, trabajamos con una categoría base fija C ; por ejemplo, C puede ser la categoría de todos los esquemas sobre algún esquema fijo equipado con alguna topología de Grothendieck .

Definición informal

Sea F una categoría y supongamos que está fibrada sobre C a través del funtor ; esto significa que se pueden construir pullbacks a lo largo de morfismos en C , hasta isomorfismos canónicos. ${\displaystyle p:F\to C}$

Dado un objeto U en C y objetos x , y en , para cada morfismo en C , después de fijar los pullbacks , dejamos ^{[1] [2]} ${\displaystyle F(U)=p^{-1}(U)}$ ${\displaystyle f:V\to U}$ ${\displaystyle f^{*}x,f^{*}y}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]}$

sea ​​el conjunto de todos los morfismos de a ; aquí, el corchete significa que identificamos canónicamente diferentes conjuntos Hom resultantes de diferentes elecciones de pullbacks. Para cada uno sobre U , defina la función de restricción de f a g : sea la composición ${\displaystyle f^{*}x}$ ${\displaystyle f^{*}y}$ ${\displaystyle g:W\to V}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)}$

${\displaystyle [\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[\operatorname {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatorname {Hom} ((f\circ g)^{*}x,(f\circ g)^{*}y)]}$

donde se utiliza un isomorfismo canónico para obtener el = a la derecha. Entonces es un prehaz en la categoría de corte , la categoría de todos los morfismos en C con destino U . ${\displaystyle g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ ${\displaystyle C_{/U}}$

Por definición, F es un preapilado si, para cada par x , y , es un haz de conjuntos con respecto a la topología de Grothendieck inducida en . ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ ${\displaystyle C_{/U}}$

Esta definición se puede formular de manera equivalente de la siguiente manera. ^[3] Primero, para cada familia de cobertura , "definimos" la categoría como una categoría donde: escritura , etc., ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$ ${\displaystyle F(\{V_{i}\to U\})}$ ${\displaystyle p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}}$

1. Un objeto es un conjunto de pares que consisten en objetos y isomorfismos que satisfacen la condición de cociclo: ${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle F(V_{i})}$ ${\displaystyle \varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}}$ ${\displaystyle p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}}$
2. Un morfismo consiste en tal que ${\displaystyle \{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}}$ ${\displaystyle F(V_{i})}$ ${\displaystyle \psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.}$

Un objeto de esta categoría se denomina dato de descendencia. Esta categoría no está bien definida ; el problema es que los pullbacks se determinan solo hasta isomorfismos canónicos; de manera similar, los productos de fibra se definen solo hasta isomorfismos canónicos, a pesar de la práctica de notación en sentido contrario. En la práctica, uno simplemente hace algunas identificaciones canónicas de pullbacks, sus composiciones, productos de fibra, etc.; hasta tales identificaciones, la categoría anterior está bien definida (en otras palabras, está definida hasta una equivalencia canónica de categorías).

Existe un funtor obvio que envía un objeto al dato de descendencia que define. Se puede decir entonces: F es un preapilamiento si y solo si, para cada familia de cobertura , el funtor es completamente fiel. Una afirmación como esta es independiente de las elecciones de identificaciones canónicas mencionadas anteriormente. ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$ ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$

La imagen esencial de consiste precisamente en datos de descendencia efectiva (justamente la definición de "efectiva"). Por lo tanto, F es una pila si y solo si, para cada familia de cobertura , es una equivalencia de categorías. ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$ ${\displaystyle \{V_{i}\to U\}}$ ${\displaystyle F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})}$

Estas reformulaciones de las definiciones de preapilamientos y pilas hacen que los significados intuitivos de esos conceptos sean muy explícitos: (1) "categoría fibrosa" significa que se puede construir un pullback (2) "preapilamiento en grupoides" significa además "localmente isomorfo" e implica "isomorfo" (3) "apilamiento en grupoides" significa, además de las propiedades anteriores, que se puede construir un objeto global a partir de datos locales sujetos a condiciones de cociclo. Todos estos elementos dan lugar a isomorfismos canónicos .

Morfismos

Definiciones

Dados los preapilamientos sobre la categoría base fija C , un morfismo es un funtor tal que (1) y (2) asigna morfismos cartesianos a morfismos cartesianos. Nótese que (2) es automático si G está fibrilado en grupoides; por ejemplo, una pila algebraica (ya que todos los morfismos son cartesianos entonces). ${\displaystyle p:F\to C,q:G\to C}$ ${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle q\circ f=p}$

Si es la pila asociada a un esquema S en la categoría base C , entonces la fibra es, por construcción, el conjunto de todos los morfismos desde U hasta S en C . Análogamente, dado un esquema U en C visto como una pila (es decir, ) y una categoría F fibrada en grupoides sobre C , el lema de 2-Yoneda dice: hay una equivalencia natural de categorías ^[4] ${\displaystyle p:F_{S}\to C}$ ${\displaystyle p^{-1}(U)=F_{S}(U)}$ ${\displaystyle F_{U}}$

${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)}$

donde se refiere a la categoría de functor relativo ; los objetos son los funtores de U a F sobre C y los morfismos son las transformaciones naturales que preservan la base. ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Funct} _{C}}$

Producto de fibra

Sean morfismos de preapilados. Entonces, por definición, ^[6] el producto de fibra es la categoría donde ${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$ ${\displaystyle F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G}$

1. un objeto es una tripleta formada por un objeto x en F , un objeto y en G , ambos sobre el mismo objeto en C , y un isomorfismo en G sobre el morfismo identidad en C , y ${\displaystyle (x,y,\psi )}$ ${\displaystyle \psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$
2. un morfismo consiste en en F , en G , ambos sobre el mismo morfismo en C , tales que . ${\displaystyle (x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ ${\displaystyle g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )}$

Viene con los funtores olvidadizos p , q de F a G. ${\displaystyle F\times _{B}G}$

Este producto de fibras se comporta como un producto de fibras habitual pero con isomorfismos naturales. El significado de esto es el siguiente. En primer lugar, el cuadrado obvio no conmuta; en cambio, para cada objeto en : ${\displaystyle (x,y,\psi )}$ ${\displaystyle F\times _{B}G}$

${\displaystyle \psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )}$.

Es decir, existe una transformación natural invertible (= isomorfismo natural)

${\displaystyle \Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q}$.

En segundo lugar, satisface la propiedad universal estricta: dado un preapilado H , morfismos , , un isomorfismo natural , existe un junto con isomorfismos naturales y tal que es . En general, un producto de fibras de F y G sobre B es un preapilado canónicamente isomorfo al anterior. ${\displaystyle u:H\to F}$ ${\displaystyle v:H\to G}$ ${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$ ${\displaystyle w:H\to F\times _{B}G}$ ${\displaystyle u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w}$ ${\displaystyle q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v}$ ${\displaystyle f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v}$ ${\displaystyle f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w}$ ${\displaystyle F\times _{B}G}$

Cuando B es la categoría base C (el preapilado sobre sí mismo), se omite B y simplemente se escribe . Nótese que, en este caso, en los objetos hay todas las identidades. ${\displaystyle F\times G}$ ${\displaystyle \psi }$

Ejemplo : Para cada preapilado , existe el morfismo diagonal dado por . ${\displaystyle p:X\to C}$ ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x,1_{p(x)})}$

Ejemplo : Dado , . ^[7] ${\displaystyle F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2}$ ${\displaystyle (F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})}$

Ejemplo : Dado y el morfismo diagonal , ${\displaystyle f:F\to B,g:G\to B}$ ${\displaystyle \Delta :B\to B\times B}$

${\displaystyle F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B}$;

Este isomorfismo se construye simplemente a mano.

Morfismos representables

Se dice que un morfismo de preapilados es fuertemente representable si, para cada morfismo de un esquema S en C visto como un preapilado, el producto de fibra de los preapilados es un esquema en C. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}S}$

En particular, la definición se aplica al mapa de estructura (la categoría base C es un preapilado sobre sí mismo a través de la identidad). Entonces p es fuertemente representable si y solo si es un esquema en C. ${\displaystyle p:X\to C}$ ${\displaystyle X\simeq X\times _{C}C}$

La definición se aplica también al morfismo diagonal . Si es fuertemente representable, entonces todo morfismo de un esquema U es fuertemente representable ya que es fuertemente representable para cualquier T → X . ${\displaystyle \Delta :X\to X\times X}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle U\to X}$ ${\displaystyle U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X}$

Si es un morfismo fuertemente representable, para cualquier , S un esquema visto como un preapilado, la proyección es un morfismo de esquemas ; esto permite transferir muchas nociones de propiedades sobre morfismos de esquemas al contexto de pila. Es decir, sea P una propiedad sobre morfismos en la categoría base C que es estable bajo cambios de base y que es local en la topología de C (por ejemplo, topología étale o topología suave ). Entonces se dice que un morfismo fuertemente representable de preapilados tiene la propiedad P si, para cada morfismo , T un esquema visto como un preapilado, la proyección inducida tiene la propiedad P . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}S\to S}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}T\to T}$

Ejemplo: el preapilamiento dado por una acción de un grupo algebraico

Sea G un grupo algebraico que actúa desde la derecha sobre un esquema X de tipo finito sobre un cuerpo k . Entonces la acción de grupo de G sobre X determina un preapilamiento (pero no una pila) sobre la categoría C de k -esquemas, como sigue. Sea F la categoría donde

1. un objeto es un par formado por un esquema U en C y x en el conjunto , ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)}$
2. un morfismo consta de un en C y un elemento tal que xg = y ' donde escribimos . ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$ ${\displaystyle U\to V}$ ${\displaystyle g\in G(U)}$ ${\displaystyle y':U\to V{\overset {y}{\to }}X}$

A través del funtor olvidadizo de C , esta categoría F se fibrila en grupoides y se conoce como grupoide de acción o grupoide de transformación. También se puede llamar el preapilado cociente de X por G y denotarse como , ya que, como resulta, la apilación de este es la pila cociente . La construcción es un caso especial de formación de #El preapilado de clases de equivalencia; en particular, F es un preapilado. ${\displaystyle [X/G]^{pre}}$ ${\displaystyle [X/G]}$

Cuando X es un punto y G es afín, el cociente es el preapilado clasificador de G y su apilación es la pila clasificadora de G. ${\displaystyle *=\operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle [*/G]^{pre}=BG^{pre}}$

Si consideramos a X como un preapilamiento (de hecho, una pila), existe el mapa canónico obvio

${\displaystyle \pi :X\to F}$

sobre C ; explícitamente, cada objeto en el preapilado X va a sí mismo, y cada morfismo , que satisface x igual por definición, va al elemento del grupo identidad de G ( U ). ${\displaystyle (U,x:U\to X)}$ ${\displaystyle (U,x)\to (V,y)}$ ${\displaystyle U\to V{\overset {y}{\to }}X}$

Entonces el mapa canónico anterior encaja en un coecualizador 2 (un cociente 2):

${\displaystyle X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F}$,

donde t : ( x , g ) → xg es la acción de grupo dada y s una proyección. No es 1-coecualizador ya que, en lugar de la igualdad , se ha dado por ${\displaystyle \pi \circ s=\pi \circ t}$ ${\displaystyle \pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t}$

${\displaystyle g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).}$

El pre-apilamiento de clases de equivalencia

Sea X un esquema en la categoría base C . Por definición, una pre-relación de equivalencia es un morfismo en C tal que, para cada esquema T en C , la función tiene la imagen que es una relación de equivalencia . El prefijo "pre-" se debe a que no requerimos que sea una función inyectiva . ${\displaystyle R\to X\times X}$ ${\displaystyle f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)}$ ${\displaystyle f(T)}$

Ejemplo : Sea un grupo algebraico G el que actúa sobre un esquema X de tipo finito sobre un cuerpo k . Tómese y luego para cualquier esquema T sobre k sea ${\displaystyle R=X\times _{k}G}$

${\displaystyle f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).}$

Por el lema de Yoneda , esto determina un morfismo f , que es claramente una prerelación de equivalencia.

Para cada pre-relación de equivalencia dada (+ algunos datos más), hay un pre-apilado asociado F definido de la siguiente manera. ^[8] En primer lugar, F es una categoría donde: con las notaciones , ${\displaystyle f:R\to X\times X}$ ${\displaystyle s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f}$

1. Un objeto es un par formado por un esquema T y un morfismo x : T → X en C ${\displaystyle (T,x)}$
2. Un morfismo consiste en un y tal que y ${\displaystyle (T,x)\to (S,y)}$ ${\displaystyle T\to S}$ ${\displaystyle \delta :T\to R}$ ${\displaystyle s\circ \delta =x}$ ${\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X}$
3. la composición de seguida de consta de y se obtiene de la siguiente manera: ya que , por la propiedad universal, existe una función inducida ${\displaystyle (,\delta ):(T,x)\to (S,y)}$ ${\displaystyle (,\delta '):(S,y)\to (U,z)}$ ${\displaystyle T\to S\to U}$ ${\displaystyle \delta '':T\to R}$ ${\displaystyle t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}}$

   ${\displaystyle (\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R}$.

   Luego sea seguido por la multiplicación ${\displaystyle \delta ''}$ ${\displaystyle T\to R\times _{t,s}R}$
4. El morfismo identidad de un objeto consiste en la función identidad T → T y δ que es seguida por ; este último se obtiene factorizando el morfismo diagonal a través de f , posible por reflexividad. ${\displaystyle (T,x)}$ ${\displaystyle x:T\to X}$ ${\displaystyle e:X\to R}$

Mediante un funtor olvidadizo, la categoría F se fibrila en grupoides. Finalmente, comprobamos que F es un preapilado; ^[9] para ello, observe: para los objetos x , y en F ( U ) y un objeto en , ${\displaystyle f:V\to U}$ ${\displaystyle C_{/U}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^{*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}}$

Ahora bien, esto significa que es el producto de fibras de y . Como el producto de fibras de haces es un haz, se deduce que es un haz. ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$ ${\displaystyle (s,t):R\to X\times X}$ ${\displaystyle (x,y):U\to X\times X}$ ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)}$

El preapilado F anterior se puede escribir como y su apilación se escribe como . ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ ${\displaystyle [X/\sim _{R}]}$

Nótese que, cuando X se considera como una pila, tanto X como tienen el mismo conjunto de objetos. En el nivel de morfismos, mientras que X solo tiene morfismos de identidad como morfismos, la prepilación tiene morfismos adicionales especificados por la prerrelación de equivalencia f . ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ ${\displaystyle [X/\sim _{R}]^{pre}}$ ${\displaystyle \delta }$

Una importancia de esta construcción es que proporciona un atlas para un espacio algebraico: cada espacio algebraico tiene la forma para algunos esquemas U , R y una prerelación de equivalencia étale tal que, para cada T , es una función inyectiva ("étale" significa que las dos aplicaciones posibles son étale). ${\displaystyle [U/\sim _{R}]}$ ${\displaystyle f:R\to U\times U}$ ${\displaystyle f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)}$ ${\displaystyle s,t:R\to U\times U\to U}$

Partiendo de una pila Deligne–Mumford , se puede encontrar una pre-relación de equivalencia para algunos esquemas R , U de modo que sea la apilación del preapilado asociado a ella: . ^[10] Esto se hace de la siguiente manera. Por definición, hay un morfismo sobreyectivo étale de algún esquema U. Dado que la diagonal es fuertemente representable, el producto de fibra es un esquema (es decir, representado por un esquema) y entonces sea ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle f:R\to U\times U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\simeq [U/\sim _{R}]}$ ${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle U\times _{\mathfrak {X}}U=R}$

${\displaystyle s,t:R\rightrightarrows U}$

sean las proyecciones primera y segunda. Tomando , vemos que es una prerrelación de equivalencia. Terminamos, aproximadamente, de la siguiente manera. ${\displaystyle f=(s,t):R\to U\times U}$ ${\displaystyle f}$

1. Extender a (nada cambia en el nivel de objeto; solo necesitamos explicar cómo enviar ). ${\displaystyle \pi :U\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \pi :[U/\sim _{R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle \delta }$
2. Por la propiedad universal de apilamiento, los factores a través de . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle [U/\sim _{R}]\to {\mathfrak {X}}}$
3. Compruebe que el último mapa es un isomorfismo.

Pilas asociadas a preapilamientos

Existe una forma de asociar una pila a un preapilamiento determinado. Es similar a la agrupación de un preapilamiento y se denomina apilación . La idea de la construcción es bastante simple: dado un preapilamiento , dejamos que HF sea la categoría donde un objeto es un dato de descendencia y un morfismo es el de los datos de descendencia. (Los detalles se omiten por ahora) ${\displaystyle p:F\to C}$

Resulta que es una pila y viene con un morfismo natural tal que F es una pila si y solo si θ es un isomorfismo. ${\displaystyle \theta :F\to HF}$

En algunos casos especiales, la apilación puede describirse en términos de torsores para esquemas de grupos afines o generalizaciones. De hecho, según este punto de vista, una pila en grupoides no es más que una categoría de torsores, y un preapilado una categoría de torsores triviales, que son modelos locales de torsores.

Notas

1. Vistoli 2005, § 3.7.
2. Behrend y col. 2006, cap. 4., § 1.
3. Vistoli 2005, Definición 4.6.
4. Vistoli 2005, § 3.6.2.
5. Vistoli 2005, Definición 3.33.
6. Behrend y col. 2006, Definición 2.25.
7. Behrend y col. 2006, Ejemplo 2.29.
8. Behrend y col. 2006, Definición 3.13.
9. El argumento aquí es el Lema 25.6. de las notas de clase de M. Olsson sobre pilas.
10. Behrend et al. 2006, Proposición 5.20. y Behrend et al. 2006, Teorema 4.35. Nota editorial: la referencia utiliza el lenguaje de los esquemas de grupoides, pero el esquema de grupoides que utilizan es el mismo que una prerelación de equivalencia utilizada aquí; compare la Proposición 3.6. y las verificaciones a continuación.

Referencias

• Behrend, Kai; Conrad, Brian; Edidin, Dan; Fulton, William; Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Kresch, Andrew (2006), Pilas algebraicas, archivado desde el original el 2008-05-05 , consultado el 2017-06-13
• Vistoli, Angelo (2005), "Topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría de la descendencia", Geometría algebraica fundamental , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 1–104, arXiv : math/0412512 , Bibcode :2004math.....12512V, MR  2223406

Enlaces externos

• Dai Tamaki (7 de agosto de 2019). “Prestacks y categorías con fibra”.