Construcción de Grothendieck

La construcción de Grothendieck (nombrada en honor a Alexander Grothendieck ) es una construcción utilizada en el campo matemático de la teoría de categorías . Es una construcción fundamental en la teoría de la descendencia , en la teoría de pilas y en la teoría de categorías con fibras . En lógica categórica , la construcción se utiliza para modelar la relación entre una teoría de tipos y una lógica sobre esa teoría de tipos, y permite la traducción de conceptos de la teoría de categorías indexadas a la teoría de categorías con fibras, como el concepto de hiperdoctrina de Lawvere.

La construcción de Grothendieck fue estudiada por primera vez para el caso especial de prehaces de conjuntos por Mac Lane, donde se la denominó categoría de elementos . ^[1]

Motivación

Si es una familia de conjuntos indexados por otro conjunto, se puede formar la unión disjunta o coproducto ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$,

que es el conjunto de todos los pares ordenados tales que . El conjunto de unión disjunto está naturalmente equipado con una función de "proyección" ${\displaystyle (i,a)}$ ${\displaystyle a\in A_{i}}$

${\displaystyle \pi :\coprod _{i\in I}A_{i}\to I}$

definido por

${\displaystyle \pi (i,a)=i}$.

A partir de la proyección es posible reconstruir la familia original de conjuntos hasta una biyección canónica, como para cada uno a través de la biyección . En este contexto, para , la preimagen del conjunto singleton se llama la "fibra" de sobre , y cualquier conjunto equipado con una elección de función se dice que está "fibrado" sobre . De esta manera, la construcción de unión disjunta proporciona una forma de ver cualquier familia de conjuntos indexados por como un conjunto "fibrado" sobre , y a la inversa, para cualquier conjunto fibrado sobre , podemos verlo como la unión disjunta de las fibras de . Jacobs se ha referido a estas dos perspectivas como "indexación de visualización" e "indexación puntual". ^[2] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle i\in I,A_{i}\cong \pi ^{-1}(\{i\})}$ ${\displaystyle a\mapsto (i,a)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{i\})}$ ${\displaystyle \{i\}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:B\to I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f:B\to I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

La construcción de Grothendieck generaliza esto a las categorías. Para cada categoría , familia de categorías indexadas por los objetos de forma funcional, la construcción de Grothendieck devuelve una nueva categoría sobre la que se ha aplicado una fibra a un funtor cuyas fibras son las categorías . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \{F(c)\}_{c\in {\mathcal {C}}}}$

Definición

Sea un funtor de cualquier categoría pequeña a la categoría de categorías pequeñas . La construcción de Grothendieck para es la categoría (también escrita , o ), con ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma (F)}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{\textstyle {\mathcal {C}}}F}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}\int F}$ ${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}}$

• objetos que son pares , donde y ; y ${\displaystyle (c,x)}$ ${\displaystyle c\in \operatorname {obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {obj} (F(c))}$
• morfismos en ser pares tales que en , y en . ${\displaystyle \operatorname {hom} _{\Gamma (F)}((c_{1},x_{1}),(c_{2},x_{2}))}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f:c_{1}\to c_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:F(f)(x_{1})\to x_{2}}$ ${\displaystyle F(c_{2})}$

La composición de morfismos está definida por . ${\displaystyle (f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ F(f)(g'))}$

Ejemplo

Si es un grupo , entonces puede verse como una categoría, con un objeto y todos los morfismos invertibles . Sea un funtor cuyo valor en el único objeto de es la categoría una categoría que representa al grupo de la misma manera. El requisito de que sea un funtor es entonces equivalente a especificar un homomorfismo de grupo donde denota el grupo de automorfismos de Finalmente, la construcción de Grothendieck da como resultado una categoría con un objeto, que nuevamente puede verse como un grupo, y en este caso, el grupo resultante es ( isomorfo a) el producto semidirecto ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G},}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}_{G}\to \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{G}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{H},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (H),}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle F\rtimes {\mathcal {C}}_{G},}$ ${\displaystyle H\rtimes _{\varphi }G.}$

Véase también

• Categoría de elementos

Referencias

• Mac Lane y Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic , págs. 44.
• RW Thomason (1979). Colindamiento de homotopía en la categoría de categorías pequeñas. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 85, págs. 91-109. doi:10.1017/S0305004100055535.

Específico

1. Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994). Haces en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de topos (2.ª edición impresa corregida). Nueva York: Springer. ISBN 9780387977102.
2. Jacobs, Bart (1999). Lógica categórica y teoría de tipos . Ámsterdam, Lausana, Nueva York [etc.]: Elsevier. ISBN 0444501703.

Enlaces externos

• Construcción Grothendieck en el laboratorio n