Pila de módulos de haces vectoriales

Concepto en geometría algebraica

En geometría algebraica, la pila de módulos de fibrados vectoriales de rango n Vect _n es la pila que parametriza fibrados vectoriales (o haces localmente libres ) de rango n sobre algunos espacios razonables.

Es una pila algebraica suave de dimensión negativa . ^[1] Además, al considerar un fibrado vectorial de rango n como un fibrado principal, Vect _n es isomorfo a la pila de clasificación. ${\displaystyle -n^{2}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle BGL_{n}=[{\text{pt}}/GL_{n}].}$

Definición

Para la categoría base, sea C la categoría de esquemas de tipo finito sobre un cuerpo fijo k . Entonces es la categoría donde ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}}$

1. Un objeto es un par de un esquema U en C y un fibrado vectorial de rango n E sobre U. ${\displaystyle (U,E)}$
2. un morfismo consiste en en C y un isomorfismo de haz . ${\displaystyle (U,E)\to (V,F)}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle f^{*}F{\overset {\sim }{\to }}E}$

Sea el funtor olvidadizo. Por medio de p , es un preapilado sobre C . Que sea una pila sobre C es precisamente la afirmación "los fibrados vectoriales tienen la propiedad de descendencia ". Nótese que cada fibra sobre U es la categoría de los fibrados vectoriales de rango n sobre U donde cada morfismo es un isomorfismo (es decir, cada fibra de p es un grupoide). ${\displaystyle p:\operatorname {Vect} _{n}\to C}$ ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Vect} _{n}(U)=p^{-1}(U)}$

Véase también

• pila de clasificación
• pila de módulos de haces principales

Referencias

1. Behrend 2002, Ejemplo 20.2.

• Behrend, Kai (2002). "Localización e invariantes de Gromov-Witten". En de Bartolomeis; Dubrovin; Reina (eds.). Cohomología cuántica. Apuntes de clase en matemáticas . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 1776. Berlín: Springer. págs. 3–38. doi :10.1007/978-3-540-45617-9_2.