Haz de módulos

Haz formado por módulos en un espacio anillado; generalización de fibrados vectoriales

En matemáticas, un haz de O -módulos o simplemente un O -módulo sobre un espacio anillado ( X , O ) es un haz F tal que, para cualquier subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un O ( U )-módulo y las funciones de restricción F ( U ) →  F ( V ) son compatibles con las funciones de restricción O ( U ) →  O ( V ): la restricción de fs es la restricción de f por la restricción de s para cualquier f en O ( U ) y s en F ( U ).

El caso estándar es cuando X es un esquema y O su haz de estructura. Si O es el haz constante , entonces un haz de O -módulos es lo mismo que un haz de grupos abelianos (es decir, un haz abeliano ). ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Si X es el espectro primo de un anillo R , entonces cualquier módulo R define un módulo O _X (llamado haz asociado ) de manera natural. De manera similar, si R es un anillo graduado y X es el Proy de R , entonces cualquier módulo graduado define un módulo O _X de manera natural. Los módulos O que surgen de esta manera son ejemplos de haces cuasi-coherentes y, de hecho, en esquemas afines o proyectivos, todos los haces cuasi-coherentes se obtienen de esta manera.

Los haces de módulos sobre un espacio anillado forman una categoría abeliana . ^[1] Además, esta categoría tiene suficientes inyectivos , ^[2] y en consecuencia se puede definir y se define la cohomología de haces como el i -ésimo funtor derivado por la derecha del funtor de sección global . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,-)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Ejemplos

• Dado un espacio anillado ( X , O ), si F es un O -submódulo de O , entonces se llama haz de ideales o haz ideal de O , ya que para cada subconjunto abierto U de X , F ( U ) es un ideal del anillo O ( U ).
• Sea X una variedad suave de dimensión n . Entonces el haz tangente de X es el dual del haz cotangente y el haz canónico es la n -ésima potencia exterior ( determinante ) de . ${\displaystyle \Omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}}$
• Un haz de álgebras es un haz de módulos que también es un haz de anillos.

Operaciones

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Si F y G son O -módulos, entonces su producto tensorial, denotado por

${\displaystyle F\otimes _{O}G}$o , ${\displaystyle F\otimes G}$

es el módulo O que es el haz asociado al prehaz (Para ver que no se puede evitar la gavillación, calcule las secciones globales de donde O (1) es el haz tortuoso de Serre en un espacio proyectivo). ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes _{O(U)}G(U).}$ ${\displaystyle O(1)\otimes O(-1)=O}$

De manera similar, si F y G son O -módulos, entonces

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,G)}$

denota el módulo O que es el haz . ^[4] En particular, el módulo O ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} _{O|_{U}}(F|_{U},G|_{U})}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)}$

se llama módulo dual de F y se denota por . Nota: para cualquier O -módulo E , F , existe un homomorfismo canónico ${\displaystyle {\check {F}}}$

${\displaystyle {\check {E}}\otimes F\to {\mathcal {H}}om_{O}(E,F)}$,

que es un isomorfismo si E es un haz localmente libre de rango finito. En particular, si L es localmente libre de rango uno (tal L se llama haz invertible o fibrado lineal ), ^[5] entonces esto se lee:

${\displaystyle {\check {L}}\otimes L\simeq O,}$

lo que implica que las clases de isomorfismo de haces invertibles forman un grupo. Este grupo se llama grupo de Picard de X y se identifica canónicamente con el primer grupo de cohomología (por el argumento estándar con la cohomología de Čech ). ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})}$

Si E es un haz localmente libre de rango finito, entonces existe un mapa O -lineal dado por el emparejamiento ; se llama mapa de trazas de E. ${\displaystyle {\check {E}}\otimes E\simeq \operatorname {End} _{O}(E)\to O}$

Para cualquier módulo O F , el álgebra tensorial , el álgebra exterior y el álgebra simétrica de F se definen de la misma manera. Por ejemplo, la k -ésima potencia exterior

${\displaystyle \bigwedge ^{k}F}$

es el haz asociado al prehaz . Si F es localmente libre de rango n , entonces se denomina fibrado lineal determinante (aunque técnicamente es un haz invertible ) de F , denotado por det( F ). Existe un emparejamiento perfecto natural: ${\textstyle U\mapsto \bigwedge _{O(U)}^{k}F(U)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{n}F}$

${\displaystyle \bigwedge ^{r}F\otimes \bigwedge ^{n-r}F\to \det(F).}$

Sea f : ( X , O ) →( X ' , O ' ) un morfismo de espacios anillados. Si F es un O -módulo, entonces el haz de imágenes directas es un O ' -módulo a través de la función natural O ' → f _* O (dicha función natural es parte de los datos de un morfismo de espacios anillados). ${\displaystyle f_{*}F}$

Si G es un módulo O ' , entonces la imagen inversa del módulo de G es el módulo O dado como el producto tensorial de módulos: ${\displaystyle f^{*}G}$

${\displaystyle f^{-1}G\otimes _{f^{-1}O'}O}$

donde es la imagen inversa del haz de G y se obtiene por adjudicación . ${\displaystyle f^{-1}G}$ ${\displaystyle f^{-1}O'\to O}$ ${\displaystyle O'\to f_{*}O}$

Existe una relación adjunta entre y : para cualquier O -módulo F y O' -módulo G , ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f^{*}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{O}(f^{*}G,F)\simeq \operatorname {Hom} _{O'}(G,f_{*}F)}$

como grupo abeliano. También existe la fórmula de proyección : para un módulo O F y un módulo O' E localmente libre de rango finito,

${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)\simeq f_{*}F\otimes E.}$

Propiedades

Sea ( X , O ) un espacio anillado. Se dice que un módulo O F está generado por secciones globales si existe una sobreyección de módulos O :

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}O\to F\to 0.}$

Explícitamente, esto significa que hay secciones globales s _i de F tales que las imágenes de s _i en cada tallo F _x generan F _x como O _x -módulo.

Un ejemplo de un haz de este tipo es el asociado en geometría algebraica a un R -módulo M , siendo R cualquier anillo conmutativo , en el espectro de un anillo Spec ( R ). Otro ejemplo: según el teorema de Cartan A , cualquier haz coherente en una variedad de Stein está abarcado por secciones globales. (cf. el teorema de Serre A más abajo.) En la teoría de esquemas , una noción relacionada es fibrado lineal amplio . (Por ejemplo, si L es un fibrado lineal amplio, alguna potencia de él es generada por secciones globales.)

Un O -módulo inyectivo es flasque (es decir, todas las funciones de restricción F ( U ) → F ( V ) son sobreyectivas). ^[6] Dado que un haz flasque es acíclico en la categoría de haces abelianos, esto implica que el i -ésimo funtor derivado por la derecha del funtor de sección global en la categoría de O -módulos coincide con la i -ésima cohomología del haz habitual en la categoría de haces abelianos. ^[7] ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

Gavilla asociada a un módulo

Sea un módulo sobre un anillo . Pon y escribe . Para cada par , por la propiedad universal de localización, existe una función natural ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle D(f)=\{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (A[f^{-1}])}$ ${\displaystyle D(f)\subseteq D(g)}$

${\displaystyle \rho _{g,f}:M[g^{-1}]\to M[f^{-1}]}$

teniendo la propiedad de que . Entonces ${\displaystyle \rho _{g,f}=\rho _{g,h}\circ \rho _{h,f}}$

${\displaystyle D(f)\mapsto M[f^{-1}]}$

es un funtor contravariante de la categoría cuyos objetos son los conjuntos D ( f ) y morfismos las inclusiones de conjuntos a la categoría de grupos abelianos . Se puede demostrar ^[8] que es de hecho un haz B (es decir, satisface el axioma de pegado) y por lo tanto define el haz en X llamado el haz asociado a M . ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

El ejemplo más básico es la estructura haz en X ; es decir, . Además, tiene la estructura de -módulo y por lo tanto se obtiene el funtor exacto de Mod _A , la categoría de módulos sobre A a la categoría de módulos sobre . Define una equivalencia de Mod _A a la categoría de haces cuasi-coherentes en X , con el inverso , el funtor de sección global . Cuando X es noetheriano , el funtor es una equivalencia de la categoría de A -módulos generados finitamente a la categoría de haces coherentes en X . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}={\widetilde {A}}}$ ${\displaystyle M\mapsto {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

La construcción tiene las siguientes propiedades: para cualquier A -módulo M , N , y cualquier morfismo , ${\displaystyle \varphi :M\to N}$

• ${\displaystyle M[f^{-1}]^{\sim }={\widetilde {M}}|_{D(f)}}$. ^[9]
• Para cualquier ideal primo p de A , como O _p = A _p -módulo. ${\displaystyle {\widetilde {M}}_{p}\simeq M_{p}}$
• ${\displaystyle (M\otimes _{A}N)^{\sim }\simeq {\widetilde {M}}\otimes _{\widetilde {A}}{\widetilde {N}}}$. ^[10]
• Si M se presenta finitamente , . ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)^{\sim }\simeq {\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}})}$
• ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(M,N)\simeq \Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\widetilde {A}}({\widetilde {M}},{\widetilde {N}}))}$, ya que la equivalencia entre Mod _A y la categoría de haces cuasi-coherentes en X .
• ${\displaystyle (\varinjlim M_{i})^{\sim }\simeq \varinjlim {\widetilde {M_{i}}}}$; ^[11] en particular, tomando una suma directa y ~ conmuta.
• Una secuencia de módulos A es exacta si y solo si la secuencia inducida por es exacta. En particular, . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (\ker(\varphi ))^{\sim }=\ker({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {coker} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {coker} ({\widetilde {\varphi }}),(\operatorname {im} (\varphi ))^{\sim }=\operatorname {im} ({\widetilde {\varphi }})}$

Gavilla asociada a un módulo graduado

Existe un análogo graduado de la construcción y equivalencia de la sección precedente. Sea R un anillo graduado generado por elementos de grado uno como R ₀ -álgebra ( R ₀ significa la pieza de grado cero) y M un R -módulo graduado . Sea X el Proy de R (por lo que X es un esquema proyectivo si R es noetheriano). Entonces existe un O -módulo tal que para cualquier elemento homogéneo f de grado positivo de R , existe un isomorfismo natural ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

${\displaystyle {\widetilde {M}}|_{\{f\neq 0\}}\simeq (M[f^{-1}]_{0})^{\sim }}$

como haces de módulos en el esquema afín ; ^[12] de hecho, esto se define mediante pegado. ${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} (R[f^{-1}]_{0})}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Ejemplo : Sea R (1) el módulo R graduado dado por R (1) _n = R _{n +1} . Entonces se denomina haz tortuoso de Serre , que es el dual del fibrado lineal tautológico si R es finitamente generado en grado uno. ${\displaystyle O(1)={\widetilde {R(1)}}}$

Si F es un O -módulo en X , entonces, escribiendo , hay un homomorfismo canónico: ${\displaystyle F(n)=F\otimes O(n)}$

${\displaystyle \left(\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,F(n))\right)^{\sim }\to F,}$

lo cual es un isomorfismo si y sólo si F es cuasi-coherente.

Cálculo de la cohomología de haces

La cohomología de haces tiene fama de ser difícil de calcular. Por ello, el siguiente hecho general es fundamental para cualquier cálculo práctico:

Teorema  —  Sea X un espacio topológico, F un haz abeliano sobre él y una cubierta abierta de X tal que para cualquier i , p y 's en . Entonces para cualquier i , ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(U_{i_{0}}\cap \cdots \cap U_{i_{p}},F)=0}$ ${\displaystyle U_{i_{j}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {H} ^{i}(C^{\bullet }({\mathfrak {U}},F))}$

donde el lado derecho es la i -ésima cohomología de Čech .

El teorema de desaparición de Serre ^[13] establece que si X es una variedad proyectiva y F un haz coherente en ella, entonces, para un valor n suficientemente grande , la torsión de Serre F ( n ) se genera mediante un número finito de secciones globales. Además,

1. Para cada i , H ⁱ ( X , F ) se genera finitamente sobre R ₀ , y
2. Existe un entero n ₀ , que depende de F , tal que $${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F(n))=0,\,i\geq 1,n\geq n_{0}.}$$

^{[14] [15] [16]}

Extensión de la gavilla

Sea ( X , O ) un espacio anillado, y sean F , H haces de O -módulos en X . Una extensión de H por F es una secuencia corta exacta de O -módulos

${\displaystyle 0\rightarrow F\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0.}$

Al igual que con las extensiones de grupo, si fijamos F y H , entonces todas las clases de equivalencia de extensiones de H por F forman un grupo abeliano (cf. suma de Baer ), que es isomorfo al grupo Ext , donde el elemento identidad en corresponde a la extensión trivial. ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{1}(H,F)}$

En el caso donde H es O , tenemos: para cualquier i ≥ 0,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)=\operatorname {Ext} _{O}^{i}(O,F),}$

ya que ambos lados son los funtores derivados derechos del mismo funtor ${\displaystyle \Gamma (X,-)=\operatorname {Hom} _{O}(O,-).}$

Nota : Algunos autores, especialmente Hartshorne, omiten el subíndice O.

Supongamos que X es un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Sean F , G haces coherentes sobre X e i un entero. Entonces existe n ₀ tal que

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{O}^{i}(F,G(n))=\Gamma (X,{\mathcal {E}}xt_{O}^{i}(F,G(n))),\,n\geq n_{0}}$. ^[17]

Resoluciones locales gratuitas

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$se puede calcular fácilmente para cualquier haz coherente utilizando una resolución localmente libre: ^[18] dado un complejo ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \cdots \to {\mathcal {L}}_{2}\to {\mathcal {L}}_{1}\to {\mathcal {L}}_{0}\to {\mathcal {F}}\to 0}$

entonces

${\displaystyle {\mathcal {RHom}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})={\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}})}$

por eso

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{k}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=h^{k}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {L}}_{\bullet },{\mathcal {G}}))}$

Ejemplos

Hipersuperficie

Consideremos una hipersuperficie lisa de grado . Luego, podemos calcular una resolución ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}}}$

y encuentra que

${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=h^{i}({\mathcal {Hom}}({\mathcal {O}}(-d)\to {\mathcal {O}},{\mathcal {F}}))}$

Unión de intersecciones completas suaves

Considere el esquema

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f)(g_{1},g_{2},g_{3})}}\right)\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

donde es una intersección completa y suave y , . Tenemos un complejo ${\displaystyle (f,g_{1},g_{2},g_{3})}$ ${\displaystyle \deg(f)=d}$ ${\displaystyle \deg(g_{i})=e_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2}-e_{3}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{3}\\-g_{2}\\-g_{1}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{1}-e_{3})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2}-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}g_{2}&g_{3}&0\\-g_{1}&0&-g_{3}\\0&-g_{1}&g_{2}\end{bmatrix}}}{\begin{matrix}{\mathcal {O}}(-d-e_{1})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{2})\\\oplus \\{\mathcal {O}}(-d-e_{3})\end{matrix}}{\xrightarrow {\begin{bmatrix}fg_{1}&fg_{2}&fg_{3}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}}$

resolviendo lo cual podemos utilizar para calcular . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X},}$ ${\displaystyle {\mathcal {Ext}}^{i}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})}$

Véase también

• Módulo D (en lugar de O , también se puede considerar D , el conjunto de operadores diferenciales).
• ideal fraccionario
• paquete de vectores holomórficos
• libertad genérica

Notas

1. Vakil, Matemáticas 216: Fundamentos de geometría algebraica, 2.5.
2. Hartshorne, Cap. III, Proposición 2.2.
3. Este funtor de cohomología coincide con el funtor derivado por la derecha del funtor de sección global en la categoría de haces abelianos; cf. Hartshorne, Cap. III, Proposición 2.6.
4. Hay un homomorfismo canónico:

   ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{O}(F,O)_{x}\to \operatorname {Hom} _{O_{x}}(F_{x},O_{x}),}$

   lo cual es un isomorfismo si F es de presentación finita (EGA, Cap. 0, 5.2.6.)
5. Para haces coherentes, tener un tensor inverso es lo mismo que estar localmente libre de rango uno; de hecho, existe el siguiente hecho: si y si F es coherente, entonces F , G están localmente libres de rango uno. (cf. EGA, Cap. 0, 5.4.3.) ${\displaystyle F\otimes G\simeq O}$
6. Hartshorne, Cap. III, Lema 2.4.
7. ver también: https://math.stackexchange.com/q/447234
8. Hartshorne, Cap. II, Proposición 5.1.
9. EGA I, Cap. I, Proposición 1.3.6. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
10. EGA I, cap. I, Corolario 1.3.12. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
11. EGA I, cap. Yo, Corolario 1.3.9. harvnb error: no target: CITEREFEGA_I (help)
12. Hartshorne, Cap. II, Proposición 5.11.
13. "Sección 30.2 (01X8): Cohomología de haces cuasi-coherentes de Čech: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2023 .
14. Costa, Miró-Roig & Pons-Llopis 2021, Teorema 1.3.1
15. "Enlaces con la cohomología de haces". Cohomología local . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. 2012. págs. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN . 9780521513630.
16. Serre 1955, §.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.
17. Hartshorne, Cap. III, Proposición 6.9.
18. Hartshorne, Robin. Geometría algebraica . págs. 233–235.

Referencias

• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR  0217083.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Costa, Laura; Miró-Roig, Rosa María; Pons-Llopis, Joan (2021). Paquetes Ulrich. doi :10.1515/9783110647686. ISBN 9783110647686.
• "Enlaces con la cohomología de haces". Cohomología local . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. 2012. págs. 438–479. doi :10.1017/CBO9781139044059.023. ISBN . 9780521513630.
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents (§.66 Faisceaux algébriques cohérents sur les variétés projectives.)" (PDF) , Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi :10.2307/1969915, JSTOR  1969915, SEÑOR  0068874