Curva apilada

Objeto en geometría algebraica

En matemáticas, una curva apilada es un objeto de geometría algebraica que es, aproximadamente, una curva algebraica con "puntos fraccionarios" potenciales llamados puntos apilados . Una curva apilada es un tipo de pila que se utiliza para estudiar la teoría de Gromov-Witten , la geometría enumerativa y los anillos de formas modulares .

Las curvas apiladas están estrechamente relacionadas con los orbifolds unidimensionales y, por lo tanto, a veces se las denomina curvas orbifold u orbicurvas .

Definición

Una curva apilada sobre un cuerpo k es una pila Deligne-Mumford suave , apropiada y geométricamente conectada de dimensión 1 sobre k que contiene un subesquema abierto denso. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Propiedades

Una curva apilada está determinada de forma única (hasta el isomorfismo) por su espacio grueso X (una curva cuasi-proyectiva suave sobre k ), un conjunto finito de puntos x _i (sus puntos apilados) y números enteros n _i (sus órdenes de ramificación) mayores que 1. ^[3] El divisor canónico de es linealmente equivalente a la suma del divisor canónico de X y un divisor de ramificación R : ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle K_{\mathfrak {X}}\sim K_{X}+R.}$

Siendo g el género del espacio grueso X , el grado del divisor canónico de es por tanto: ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle d=\deg K_{\mathfrak {X}}=2-2g-\sum _{i=1}^{r}{\frac {n_{i}-1}{n_{i}}}.}$

Una curva apilada se llama esférica si d es positiva, euclidiana si d es cero e hiperbólica si d es negativa. ^[3]

Aunque el enunciado correspondiente del teorema de Riemann-Roch no se cumple para las curvas apiladas, ^[1] existe una generalización del teorema de existencia de Riemann que da una equivalencia de categorías entre la categoría de curvas apiladas sobre los números complejos y la categoría de curvas orbifold complejas. ^{[1] [2] [4]}

Aplicaciones

La generalización de GAGA para curvas apiladas se utiliza en la derivación de la teoría de la estructura algebraica de anillos de formas modulares . ^[2]

El estudio de curvas apiladas se utiliza ampliamente en la teoría equivariante de Gromov-Witten y en la geometría enumerativa. ^{[1] [5]}

Referencias

1. Voight, John; Zureick-Brown, David (2015). El anillo canónico de una curva apilada . Memorias de la American Mathematical Society . arXiv : 1501.04657 . Código Bibliográfico :2015arXiv150104657V.
2. Landesman, Aaron; Ruhm, Peter; Zhang, Robin (2016). "Anillos canónicos de espín de curvas apiladas logarítmicamente". Annales de l'Institut Fourier . 66 (6): 2339–2383. arXiv : 1507.02643 . doi :10.5802/aif.3065.
3. Kresch, Andrew (2009). "Sobre la geometría de las pilas Deligne-Mumford". En Abramovich, Dan ; Bertram, Aaron; Katzarkov, Ludmil; Pandharipande, Rahul; Thaddeus, Michael (eds.). Geometría algebraica: Seattle 2005 Parte 1. Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 80. Providence, RI: Amer. Math. Soc. págs. 259–271. CiteSeerX 10.1.1.560.9644 . doi :10.5167/uzh-21342. ISBN .  978-0-8218-4702-2.
4. Behrend, Kai ; Noohi, Behrang (2006). "Uniformización de las curvas de Deligne-Mumford". J. Reine Angew. Matemáticas. 599 : 111–153. arXiv : math/0504309 . Código Bibliográfico :2005math......4309B.
5. Johnson, Paul (2014). "Teoría de ondas gravitacionales equivariante de curvas apiladas" (PDF) . Comunicaciones en física matemática . 327 (2): 333–386. Bibcode :2014CMaPh.327..333J. doi :10.1007/s00220-014-2021-1. ISSN  1432-0916.