Pila diferenciable

Una pila diferenciable es el análogo en geometría diferencial de una pila algebraica en geometría algebraica . Puede describirse como una pila sobre variedades diferenciables que admite un atlas, o como un grupoide de Lie hasta la equivalencia de Morita . ^[1]

Las pilas diferenciables son particularmente útiles para manejar espacios con singularidades (es decir, orbifolds, espacios de hojas, cocientes), que aparecen naturalmente en la geometría diferencial pero no son variedades diferenciables. Por ejemplo, las pilas diferenciables tienen aplicaciones en la teoría de la foliación , ^[2] la geometría de Poisson ^[3] y la teoría K torcida . ^[4]

Definición

Definición 1 (a través de fibraciones grupoides)

Recordemos que una categoría fibrilada en grupoides (también llamada fibración de grupoide ) consiste en una categoría junto con un funtor a la categoría de variedades diferenciables tales que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una categoría fibrada , es decir, para cualquier objeto de y cualquier flecha de hay una flecha encima ; ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle V\to U}$ ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle v\to u}$ ${\displaystyle V\to U}$
2. para cada triángulo conmutativo en y cada flecha una y otra vez , existe una única flecha sobre que hace que el triángulo conmute. ${\displaystyle W\to V\to U}$ ${\displaystyle \mathrm {Mdf} }$ ${\displaystyle w\to u}$ ${\displaystyle W\to U}$ ${\displaystyle v\to u}$ ${\displaystyle V\to U}$ ${\displaystyle w\to v}$ ${\displaystyle W\to V}$ ${\displaystyle w\to v\to u}$

Estas propiedades garantizan que, para cada objeto en , se pueda definir su fibra , denotada por o , como la subcategoría de formada por todos los objetos de que yace sobre y todos los morfismos de que yace sobre . Por construcción, es un grupoide , lo que explica el nombre. Una pila es una fibración grupoide que satisface otras propiedades de encolado, expresadas en términos de descendencia . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle id_{U}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$

Cualquier variedad define su categoría de porción , cuyos objetos son pares de una variedad y una función suavizada ; entonces es una fibración de grupoide que en realidad también es una pila. Un morfismo de fibraciones de grupoide se llama inmersión representable si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)}$ ${\displaystyle (U,f)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to X}$ ${\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

• para cada variedad y cualquier morfismo , el producto fibrado es representable, es decir, es isomorfo a (para alguna variedad ) como fibraciones grupoides; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}}$ ${\displaystyle F_{V}}$ ${\displaystyle Y}$
• El mapa inducido suave es una inmersión . ${\displaystyle V\to U}$

Una pila diferenciable es una pila junto con un tipo especial de inmersión representable (se pide que cada inmersión descrita anteriormente sea sobreyectiva ), para alguna variedad . El mapa se llama atlas, presentación o cubierta de la pila . ^{[5] [6]} ${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle V\to U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$

Definición 2 (a través de 2-functores)

Recordemos que un preapilamiento (de grupoides) en una categoría , también conocido como 2 - prehaz , es un 2-funtor , donde es la 2-categoría de grupoides (teóricos de conjuntos) , sus morfismos y las transformaciones naturales entre ellos. Una pila es un preapilamiento que satisface otras propiedades de pegado (de manera análoga a las propiedades de pegado satisfechas por un haz). Para enunciar dichas propiedades con precisión, es necesario definir (pre)pilaciones en un sitio , es decir, una categoría equipada con una topología de Grothendieck . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle \mathrm {Grp} }$

Cualquier objeto define una pila , que asocia a otro objeto el grupoide de morfismos de a . Una pila se llama geométrica si existe un objeto y un morfismo de pilas (a menudo llamado atlas, presentación o portada de la pila ) tal que ${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)}$ ${\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ ${\displaystyle X}$

• el morfismo es representable, es decir, para cada objeto en y cualquier morfismo el producto fibrizado es isomorfo a (para algún objeto ) como pilas; ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}}$ ${\displaystyle {\underline {Z}}}$ ${\displaystyle Z}$
• El morfismo inducido satisface una propiedad adicional dependiendo de la categoría (por ejemplo, para una variedad se pide que sea una inmersión ). ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Una pila diferenciable es una pila en , la categoría de variedades diferenciables (vista como un sitio con la topología de cobertura abierta habitual), es decir, un 2-funtor , que también es geométrico, es decir, admite un atlas como el descrito anteriormente. ^{[7] [8]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$

Obsérvese que, reemplazando por la categoría de esquemas afines , se recupera la noción estándar de pila algebraica . De manera similar, reemplazando por la categoría de espacios topológicos , se obtiene la definición de pila topológica. ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$ ${\displaystyle \mathrm {Mfd} }$

Definición 3 (mediante equivalencias de Morita)

Recordemos que un grupoide de Lie consta de dos variedades diferenciables y , junto con dos inmersiones sobreyectivas , así como una función de multiplicación parcial , una función unitaria y una función inversa , que satisfacen compatibilidades de tipo grupo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s,t:G\to M}$ ${\displaystyle m:G\times _{M}G\to G}$ ${\displaystyle u:M\to G}$ ${\displaystyle i:G\to G}$

Dos grupoides de Lie y son equivalentes de Morita si existe un bifibrado principal entre ellos, es decir, un fibrado derecho principal y un fibrado izquierdo principal , de modo que las dos acciones en conmutan. La equivalencia de Morita es una relación de equivalencia entre grupoides de Lie, más débil que el isomorfismo pero lo suficientemente fuerte como para preservar muchas propiedades geométricas. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to N}$ ${\displaystyle P}$

Una pila diferenciable , denotada como , es la clase de equivalencia de Morita de algún grupoide de Lie . ^{[5] [9]} ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Equivalencia entre las definiciones 1 y 2

Toda categoría fibrosa define el 2-haz . A la inversa, cualquier preapilamiento da lugar a una categoría , cuyos objetos son pares de una variedad y un objeto , y cuyos morfismos son aplicaciones tales que . Tal se convierte en una categoría fibrosa con el funtor . ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} }$ ${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in X(U)}$ ${\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)}$ ${\displaystyle X(\phi )(y)=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U}$

Las propiedades de encolado que definen una pila en la primera y en la segunda definición son equivalentes; de manera similar, un atlas en el sentido de la Definición 1 induce un atlas en el sentido de la Definición 2 y viceversa. ^[5]

Equivalencia entre las definiciones 2 y 3

Todo grupoide de Lie da lugar a la pila diferenciable , que envía cualquier variedad a la categoría de - torsores en (es decir, - fibrados principales ). Cualquier otro grupoide de Lie en la clase Morita de induce una pila isomorfa. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Por el contrario, cualquier pila diferenciable tiene la forma , es decir, se puede representar mediante un grupoide de Lie. Más precisamente, si es un atlas de la pila , entonces se define el grupoide de Lie y se comprueba que es isomorfo a . ${\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} }$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle BG_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Un teorema de Dorette Pronk establece una equivalencia de bicategorías entre pilas diferenciables según la primera definición y grupoides de Lie hasta la equivalencia de Morita. ^[10]

Ejemplos

• Cualquier variedad define una pila diferenciable , que se representa de manera trivial mediante el morfismo identidad . La pila corresponde a la clase de equivalencia de Morita del grupoide unidad . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}}$ ${\displaystyle {\underline {M}}}$ ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$
• Cualquier grupo de Lie define una pila diferenciable , que envía cualquier variedad a la categoría de -fibrado principal en . Se presenta mediante el morfismo de pila trivial , enviando un punto al -fibrado universal sobre el espacio de clasificación de . La pila corresponde a la clase de equivalencia de Morita de vista como un grupoide de Lie sobre un punto (es decir, la clase de equivalencia de Morita de cualquier grupoide de Lie transitivo con isotropía ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\underline {pt}}\to BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}}$ ${\displaystyle G}$
• Cualquier foliación en una variedad define una pila diferenciable a través de sus espacios de hojas. Corresponde a la clase de equivalencia de Morita del grupoide de holonomía . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$
• Cualquier orbifold es una pila diferenciable, ya que es la clase de equivalencia de Morita de un grupoide de Lie propio con isotropías discretas (por lo tanto finito , ya que las isotropías de los grupoides de Lie propios son compactas ).

Pila diferenciable de cocientes

Dada una acción de grupo de Lie sobre , su pila cociente (diferenciable) es la contraparte diferencial de la pila cociente (algebraica) en geometría algebraica. Se define como la pila que asocia a cualquier variedad la categoría de fibrados principales y funciones -equivariantes . Es una pila diferenciable representada por el morfismo de pila definido para cualquier variedad como ${\displaystyle a:M\times G\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi :P\to M}$ ${\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})}$$

donde es el mapa -equivariante . ^[7] ${\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g}$

La pila corresponde a la clase de equivalencia de Morita del grupoide de acción . En consecuencia, se recuperan los siguientes casos particulares: ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle M\times G\rightrightarrows M}$

• Si es un punto, la pila diferenciable coincide con ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle BG}$
• Si la acción es libre y propia (y por tanto el cociente es una variedad), la pila diferenciable coincide con ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle [M/G]}$ ${\displaystyle {\underline {M/G}}}$
• Si la acción es propia (y por lo tanto el cociente es un orbifold), la pila diferenciable coincide con la pila definida por el orbifold. ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle [M/G]}$

Espacio diferencial

Un espacio diferenciable es una pila diferenciable con estabilizadores triviales. Por ejemplo, si un grupo de Lie actúa libremente pero no necesariamente de manera adecuada sobre una variedad, entonces el cociente por él no es en general una variedad sino un espacio diferenciable.

Con topología de Grothendieck

Una pila diferenciable puede estar equipada con topología de Grothendieck de una cierta manera (ver la referencia). Esto da la noción de un haz sobre . Por ejemplo, el haz de -formas diferenciales sobre está dado por, para cualquier en sobre una variedad , siendo el espacio de -formas sobre . El haz se llama el haz de estructura sobre y se denota por . viene con derivada exterior y por lo tanto es un complejo de haces de espacios vectoriales sobre : uno tiene entonces la noción de cohomología de De Rham de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Gerbes

Un epimorfismo entre pilas diferenciables se llama gerbe sobre si también es un epimorfismo. Por ejemplo, si es una pila, es una gerbe. Un teorema de Giraud dice que corresponde uno a uno al conjunto de gerbes sobre que son localmente isomorfos a y que vienen con trivializaciones de sus bandas. ^[11] ${\displaystyle G\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G\to G\times _{X}G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$ ${\displaystyle H^{2}(X,S^{1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle BS^{1}\times X\to X}$

Referencias

1. Blohmann, Christian (1 de enero de 2008). "Grupos de Lie apilados". International Mathematics Research Notices . 2008 . arXiv : math/0702399 . doi :10.1093/imrn/rnn082. ISSN  1687-0247.
2. Moerdijk, Ieke (1993). "Foliaciones, grupoides y étendues de Grothendieck". Rev. Acad. Ciencia. Zaragoza . 48 (2): 5–33. SEÑOR  1268130.
3. Blohmann, Christian; Weinstein, Alan (2008). "Objetos similares a grupos en la geometría y el álgebra de Poisson". Geometría de Poisson en matemáticas y física. Matemáticas contemporáneas. Vol. 450. American Mathematical Society. págs. 25–39. arXiv : math/0701499 . doi :10.1090/conm/450. ISBN. 978-0-8218-4423-6.ID S2C  16778766.
4. Tu, Jean-Louis; Xu, Ping; Laurent-Gengoux, Camille (1 de noviembre de 2004). "Teoría K retorcida de pilas diferenciables". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 37 (6): 841–910. arXiv : matemáticas/0306138 . doi :10.1016/j.ansens.2004.10.002. ISSN  0012-9593. S2CID  119606908 – vía Numérización de documentos antiguos matemáticos.  [fr] .
5. Behrend, Kai ; Xu, Ping (2011). "Pilas diferenciables y gerbes". Revista de geometría simpléctica . 9 (3): 285–341. arXiv : math/0605694 . doi :10.4310/JSG.2011.v9.n3.a2. ISSN  1540-2347. S2CID  17281854.
6. Grégory Ginot, Introducción a las pilas diferenciables (y gerbes, espacios de módulos…), 2013
7. Jochen Heinloth: Algunas notas sobre pilas diferenciables , Mathematisches Institut Seminars, Universität Göttingen, 2004-05, p. 1-32.
8. Eugene Lerman, Anton Malkin, Caracteres diferenciales como pilas y precuantificación, 2008
9. Ping Xu, Stacks diferenciables, Gerbes y teoría K retorcida, 2017
10. Pronk, Dorette A. (1996). "Etendues y pilas como bicategorías de fracciones". Composición Matemática . 102 (3): 243–303 - vía Numérisation de documentos anciens mathématiques.  [fr] .
11. Giraud, Jean (1971). "Cohomología no abélienne". Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 179 . doi :10.1007/978-3-662-62103-5. ISBN 978-3-540-05307-1. ISSN  0072-7830.

Enlaces externos

• http://ncatlab.org/nlab/show/diferenciable+stack