Función de Bessel

Familias de soluciones de ecuaciones diferenciales relacionadas

Las funciones de Bessel describen la parte radial de las vibraciones de una membrana circular .

Las funciones de Bessel , definidas por primera vez por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel , son soluciones canónicas y ( x ) de la ecuación diferencial de Bessel para un número complejo arbitrario , que representa el orden de la función de Bessel. Aunque y producen la misma ecuación diferencial, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de tal manera que las funciones de Bessel sean en su mayoría funciones suaves de . $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)y=0}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Los casos más importantes son cuando es un número entero o semientero . Las funciones de Bessel para números enteros también se conocen como funciones cilíndricas o armónicas cilíndricas porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas . Las funciones de Bessel esféricas con semientero se obtienen al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Aplicaciones de las funciones de Bessel

La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables de la ecuación de Laplace y de la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas . Por lo tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( α = n ); en problemas esféricos, se obtienen órdenes semienteros ( α = n + ⁠1/2⁠ ). Por ejemplo:

• Ondas electromagnéticas en una guía de ondas cilíndrica
• Amplitudes de presión de flujos rotacionales no viscosos
• Conducción de calor en un objeto cilíndrico
• Modos de vibración de una membrana acústica circular o anular delgada (como un parche de tambor u otro membranófono ) o placas más gruesas como una chapa metálica (véase la teoría de placas de Kirchhoff-Love , la teoría de placas de Mindlin-Reissner )
• Problemas de difusión en una red
• Soluciones de la ecuación radial de Schrödinger (en coordenadas esféricas y cilíndricas) para una partícula libre
• Representación en el espacio de posiciones del propagador de Feynman en la teoría cuántica de campos
• Solución de patrones de radiación acústica
• Fricción dependiente de la frecuencia en tuberías circulares
• Dinámica de cuerpos flotantes
• Resolución angular
• Difracción de objetos helicoidales, incluido el ADN
• Función de densidad de probabilidad del producto de dos variables aleatorias distribuidas normalmente ^[1]
• Análisis de las ondas superficiales generadas por microtremores, en geofísica y sismología .

Las funciones de Bessel también aparecen en otros problemas, como el procesamiento de señales (por ejemplo, consulte síntesis de audio FM , ventana de Kaiser o filtro de Bessel ).

Definiciones

Como se trata de una ecuación diferencial lineal, las soluciones se pueden escalar a cualquier amplitud. Las amplitudes elegidas para las funciones se originan en los primeros trabajos en los que las funciones aparecían como soluciones de integrales definidas en lugar de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como la ecuación diferencial es de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes . Sin embargo, según las circunstancias, son convenientes diversas formulaciones de estas soluciones. En la siguiente tabla se resumen diferentes variaciones y se describen en las siguientes secciones.

Las funciones de Bessel de segundo tipo y las funciones de Bessel esféricas de segundo tipo a veces se denotan por _N n _y n n _, respectivamente, en lugar de Y _{n e} y n . ^{[2] [3]}

Funciones de Bessel del primer tipo: Yo alfa ( el ) {\displaystyle J_{\alpha}(z)}

Gráfico de la función de Bessel de primer tipo, , para órdenes enteros . ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha =0,1,2}$

Gráfica de la función de Bessel de primer tipo con en el plano de a . ${\displaystyle J_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle \alpha =0.5}$ ${\displaystyle -2-2i}$ ${\displaystyle 2+2i}$

Las funciones de Bessel de primer tipo, denotadas como J _α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel. Para  α entero o positivo , las funciones de Bessel de primer tipo son finitas en el origen ( x = 0 ); mientras que para α no entero negativo  , las funciones de Bessel de primer tipo divergen cuando x tiende a cero. Es posible definir la función por veces una serie de Maclaurin (nótese que α no necesita ser un entero, y las potencias no enteras no están permitidas en una serie de Taylor), que se puede encontrar aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel: ^[4] donde Γ( z ) es la función gamma , una generalización desplazada de la función factorial a valores no enteros. Algunos autores anteriores definen la función de Bessel de primer tipo de manera diferente, esencialmente sin la división por en ; ^[5] esta definición no se utiliza en este artículo. La función de Bessel de primera especie es una función entera si α es un entero, de lo contrario es una función multivaluada con singularidad en cero. Los gráficos de las funciones de Bessel se parecen más o menos a funciones oscilantes seno o coseno que decaen proporcionalmente a (ver también sus formas asintóticas a continuación), aunque sus raíces no son generalmente periódicas, excepto asintóticamente para x grandes . (La serie indica que − J ₁ ( x ) es la derivada de J ₀ ( x ) , de manera muy similar a −sin x es la derivada de cos x ; de manera más general, la derivada de J _n ( x ) se puede expresar en términos de J _{n ± 1} ( x ) mediante las identidades a continuación). ${\displaystyle x^{\alpha }}$ $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha },}$$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x/2}$ ${\displaystyle x^{-{1}/{2}}}$

Para un número no entero α , las funciones J _α ( x ) y J _{− α} ( x ) son linealmente independientes, y por lo tanto son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otra parte, para un número entero de orden n , es válida la siguiente relación (la función gamma tiene polos simples en cada uno de los números enteros no positivos): ^[6] $${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).}$$

Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, se descubre que la segunda solución linealmente independiente es la función de Bessel de segunda especie, como se analiza a continuación.

Integrales de Bessel

Otra definición de la función de Bessel, para valores enteros de n , es posible utilizando una representación integral: ^[7] que también se llama fórmula de Hansen-Bessel. ^[8] $${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\pi }e^{i(n\tau -x\sin \tau )}\,d\tau \right),}$$

Éste fue el enfoque que utilizó Bessel ^[9] y a partir de esta definición derivó varias propiedades de la función. La definición puede extenderse a órdenes no enteros mediante una de las integrales de Schläfli, para Re( x ) > 0 : ^{[7] [10] [11] [12] [13]} $${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh t-\alpha t}\,dt.}$$

Relación con las series hipergeométricas

Las funciones de Bessel se pueden expresar en términos de la serie hipergeométrica generalizada como ^[14] $${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\;_{0}F_{1}\left(\alpha +1;-{\frac {x^{2}}{4}}\right).}$$

Esta expresión está relacionada con el desarrollo de funciones de Bessel en términos de la función de Bessel-Clifford .

Relación con los polinomios de Laguerre

En términos de los polinomios de Laguerre L _k y el parámetro elegido arbitrariamente t , la función de Bessel se puede expresar como ^[15] $${\displaystyle {\frac {J_{\alpha }(x)}{\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha }}}={\frac {e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {L_{k}^{(\alpha )}\left({\frac {x^{2}}{4t}}\right)}{\binom {k+\alpha }{k}}}{\frac {t^{k}}{k!}}.}$$

Funciones de Bessel del segundo tipo:Y α

Gráfico de la función de Bessel de segundo tipo Y _n ( z ) con n = 0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Las funciones de Bessel de segundo tipo, denotadas por Y _α ( x ) , ocasionalmente denotadas en cambio por N _α ( x ) , son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que tienen una singularidad en el origen ( x = 0 ) y son multivaluadas . Estas a veces se denominan funciones de Weber , ya que fueron introducidas por HM Weber  (1873), y también funciones de Neumann en honor a Carl Neumann . ^[16]

Para un número no entero α , Y _α ( x ) está relacionado con J _α ( x ) por $${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}.}$$

En el caso de orden entero n , la función se define tomando el límite como un no entero α que tiende a n : $${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{\alpha \to n}Y_{\alpha }(x).}$$

Si n es un entero no negativo, tenemos la serie ^[17]

$${\displaystyle Y_{n}(z)=-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{-n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}+{\frac {2}{\pi }}J_{n}(z)\ln {\frac {z}{2}}-{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }(\psi (k+1)+\psi (n+k+1)){\frac {\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right)^{k}}{k!(n+k)!}}}$$

Gráfico de la función de Bessel de segundo tipo, Y _α ( x ) , para órdenes enteros α = 0, 1, 2

donde es la función digamma , la derivada logarítmica de la función gamma . ^[3] ${\displaystyle \psi (z)}$

También existe una fórmula integral correspondiente (para Re( x ) > 0 ): ^[18] $${\displaystyle Y_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(x\sin \theta -n\theta )\,d\theta -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left(e^{nt}+(-1)^{n}e^{-nt}\right)e^{-x\sinh t}\,dt.}$$

En el caso donde n = 0 : (siendo la constante de Euler ) ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle Y_{0}\left(x\right)={\frac {4}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos \left(x\cos \theta \right)\left(\gamma +\ln \left(2x\sin ^{2}\theta \right)\right)\,d\theta .}$$

Y _α ( x ) es necesaria como segunda solución linealmente independiente de la ecuación de Bessel cuando α es un entero. Pero Y _α ( x ) tiene más significado que eso. Puede considerarse como una pareja "natural" de J _α ( x ) . Véase también la subsección sobre funciones de Hankel a continuación.

Además, cuando α es un número entero, como ocurrió de manera similar con las funciones del primer tipo, es válida la siguiente relación: $${\displaystyle Y_{-n}(x)=(-1)^{n}Y_{n}(x).}$$

Tanto J _α ( x ) como Y _α ( x ) son funciones holomorfas de x en el plano complejo cortado a lo largo del eje real negativo. Cuando α es un entero, las funciones de Bessel J son funciones enteras de x . Si x se mantiene fijo en un valor distinto de cero, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras de α .

Las funciones de Bessel de segundo tipo cuando α es un entero son un ejemplo del segundo tipo de solución en el teorema de Fuchs .

Funciones de Hankel:yo(1) α,yo(2) α

Gráfica de la función de Hankel de primer tipo H⁽¹⁾
_a( x ) con n = −0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Gráfica de la función de Hankel de segundo tipo H⁽²⁾
_uno( x ) con n = −0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Otra formulación importante de las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de Hankel de primer y segundo tipo , H⁽¹⁾
_α( x ) y H⁽²⁾
_α( x ) , definida como ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x),\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

donde i es la unidad imaginaria . Estas combinaciones lineales también se conocen como funciones de Bessel de tercer tipo ; son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Bessel. Su nombre se debe a Hermann Hankel .

Estas formas de combinación lineal satisfacen numerosas propiedades de apariencia simple, como fórmulas asintóticas o representaciones integrales. Aquí, "simple" significa una apariencia de un factor de la forma e ^{i f (x)} . Para reales donde , son de valor real, las funciones de Bessel de primera y segunda especie son las partes real e imaginaria, respectivamente, de la primera función de Hankel y las partes real e imaginaria negativa de la segunda función de Hankel. Por lo tanto, las fórmulas anteriores son análogas de la fórmula de Euler , sustituyendo H ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$⁽¹⁾
_α( x ) , H⁽²⁾
_α( x ) para y , para , , como se muestra explícitamente en la expansión asintótica. ${\displaystyle e^{\pm ix}}$ ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \sin(x)}$

Las funciones de Hankel se utilizan para expresar soluciones de ondas cilíndricas que se propagan hacia afuera y hacia adentro de la ecuación de onda cilíndrica, respectivamente (o viceversa, dependiendo de la convención de signos para la frecuencia ).

Utilizando las relaciones anteriores, se pueden expresar como $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{-\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{i\sin \alpha \pi }},\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&={\frac {J_{-\alpha }(x)-e^{\alpha \pi i}J_{\alpha }(x)}{-i\sin \alpha \pi }}.\end{aligned}}}$$

Si α es un número entero, se debe calcular el límite. Las siguientes relaciones son válidas, independientemente de si α es un número entero o no: ^[20] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{-\alpha }^{(1)}(x)&=e^{\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(1)}(x),\\[6mu]H_{-\alpha }^{(2)}(x)&=e^{-\alpha \pi i}H_{\alpha }^{(2)}(x).\end{aligned}}}$$

En particular, si α = m + ⁠1/2⁠ siendo m un entero no negativo, las relaciones anteriores implican directamente que $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m+1}Y_{m+{\frac {1}{2}}}(x),\\[5pt]Y_{-(m+{\frac {1}{2}})}(x)&=(-1)^{m}J_{m+{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

Estos son útiles para desarrollar las funciones esféricas de Bessel (ver a continuación).

Las funciones de Hankel admiten las siguientes representaciones integrales para Re( x ) > 0 : ^[21] donde los límites de integración indican la integración a lo largo de un contorno que puede elegirse de la siguiente manera: de −∞ a 0 a lo largo del eje real negativo, de 0 a ± π i a lo largo del eje imaginario, y de ± π i a +∞ ± π i a lo largo de un contorno paralelo al eje real. ^[18] $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(x)&={\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty +\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]H_{\alpha }^{(2)}(x)&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{-\infty }^{+\infty -\pi i}e^{x\sinh t-\alpha t}\,dt,\end{aligned}}}$$

Funciones de Bessel modificadas:Yo α,Kα​

Las funciones de Bessel son válidas incluso para argumentos complejos x , y un caso especial importante es el de un argumento puramente imaginario. En este caso, las soluciones de la ecuación de Bessel se denominan funciones de Bessel modificadas (u ocasionalmente funciones de Bessel hiperbólicas ) de primer y segundo tipo y se definen como ^[22] cuando α no es un entero; cuando α es un entero, se utiliza el límite. Se eligen para que tengan valores reales para argumentos reales y positivos x . La expansión en serie para I _α ( x ) es, por tanto, similar a la de J _α ( x ) , pero sin el factor ^m alterno (−1) . $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha },\\[5pt]K_{\alpha }(x)&={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin \alpha \pi }},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle K_{\alpha }}$se puede expresar en términos de funciones de Hankel: $${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\begin{cases}{\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix)&-\pi <\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}\\{\frac {\pi }{2}}(-i)^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(2)}(-ix)&-{\frac {\pi }{2}}<\arg x\leq \pi \end{cases}}}$$

Utilizando estas dos fórmulas se puede obtener el resultado + , comúnmente conocido como integral de Nicholson o fórmula de Nicholson, para dar lo siguiente ${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(z)}$ ${\displaystyle Y_{\alpha }^{2}(z)}$ $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\cosh(2\alpha t)K_{0}(2x\sinh t)\,dt,}$$

dado que se cumple la condición Re( x ) > 0. También se puede demostrar que $${\displaystyle J_{\alpha }^{2}(x)+Y_{\alpha }^{2}(x)={\frac {8\cos(\alpha \pi )}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }K_{2\alpha }(2x\sinh t)\,dt,}$$

sólo cuando | Re(α) | < ⁠1/2⁠ y Re(x) ≥ 0 pero no cuando x = 0 . ^[23]

Podemos expresar la primera y la segunda función de Bessel en términos de las funciones de Bessel modificadas (estas son válidas si − π < arg z ≤ ⁠π/2⁠ ): ^[24] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {\alpha \pi i}{2}}I_{\alpha }(z),\\[1ex]Y_{\alpha }(iz)&=e^{\frac {(\alpha +1)\pi i}{2}}I_{\alpha }(z)-{\tfrac {2}{\pi }}e^{-{\frac {\alpha \pi i}{2}}}K_{\alpha }(z).\end{aligned}}}$$

I _α ( x ) y K _α ( x ) son las dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de Bessel modificada : ^[25] $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha ^{2}\right)y=0.}$$

A diferencia de las funciones de Bessel ordinarias, que oscilan como funciones de un argumento real, I _α y K _α son funciones que crecen y decaen exponencialmente respectivamente. Al igual que la función de Bessel ordinaria J _α , la función I _α tiende a cero en x = 0 para α > 0 y es finita en x = 0 para α = 0 . Análogamente, K _α diverge en x = 0 con una singularidad de tipo logarítmico para K ₀ , y ⁠1/2⁠ Γ(| α |)(2/ x ) ^{| α |} de lo contrario. ^[26]

Dos fórmulas integrales para las funciones de Bessel modificadas son (para Re( x ) > 0 ): ^[27] $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }e^{x\cos \theta }\cos \alpha \theta \,d\theta -{\frac {\sin \alpha \pi }{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t-\alpha t}\,dt,\\[5pt]K_{\alpha }(x)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x\cosh t}\cosh \alpha t\,dt.\end{aligned}}}$$

Las funciones de Bessel pueden describirse como transformadas de Fourier de potencias de funciones cuadráticas. Por ejemplo (para Re(ω) > 0 ): $${\displaystyle 2\,K_{0}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{i\omega t}}{\sqrt {t^{2}+1}}}\,dt.}$$

Esto se puede demostrar demostrando la igualdad con la definición integral anterior para K ₀ . Esto se hace integrando una curva cerrada en el primer cuadrante del plano complejo.

Las funciones de Bessel modificadas K _1/3 y K _2/3 se pueden representar en términos de integrales rápidamente convergentes ^[28] $${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\frac {1}{3}}(\xi )&={\sqrt {3}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx,\\[5pt]K_{\frac {2}{3}}(\xi )&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {3+2x^{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}}\exp \left(-\xi \left(1+{\frac {4x^{2}}{3}}\right){\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{3}}}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$$

La función de Bessel modificada es útil para representar la distribución de Laplace como una mezcla de distribuciones normales a escala exponencial. ${\displaystyle K_{\frac {1}{2}}(\xi )=(2\xi /\pi )^{-1/2}\exp(-\xi )}$

La función de Bessel modificada del segundo tipo también ha sido denominada con los siguientes nombres (ahora poco comunes):

• Función de Basset según Alfred Barnard Basset
• Función de Bessel modificada de tercer tipo
• Función de Hankel modificada ^[29]
• Función Macdonald en honor a Hector Munro Macdonald

Funciones esféricas de Bessel:yo​,y n

Gráfico de la función esférica de Bessel de primer tipo j _n ( z ) con n = 0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Gráfico de la función esférica de Bessel de segundo tipo y _n ( z ) con n = 0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Funciones esféricas de Bessel de primer tipo, j _n ( x ) , para n = 0, 1, 2

Funciones esféricas de Bessel de segundo tipo, y _n ( x ) , para n = 0, 1, 2

Al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la forma $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Las dos soluciones linealmente independientes de esta ecuación se denominan funciones esféricas de Bessel j _n e y _n , y están relacionadas con las funciones ordinarias de Bessel J _n e Y _n por ^[30] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}$$

y _n también se denota n _n o η _n ; algunos autores llaman a estas funciones funciones esféricas de Neumann .

De las relaciones con las funciones de Bessel ordinarias se desprende directamente que: $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-1)^{n}y_{-n-1}(x)\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)\end{aligned}}}$$

Las funciones esféricas de Bessel también se pueden escribir como (Fórmulas de Rayleigh )^[31] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}$$

La función esférica de Bessel cero j ₀ ( x ) también se conoce como función sinc (no normalizada) . Las primeras funciones esféricas de Bessel son: ^[32] y ^[33] $${\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}}.\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}$$

Las primeras raíces distintas de cero de las primeras funciones esféricas de Bessel son:

Función generadora

Las funciones esféricas de Bessel tienen funciones generadoras ^[34] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}$$

Expansiones en series finitas

A diferencia de las funciones enteras de Bessel J _n ( x ), Y _n ( x ) , las funciones esféricas de Bessel j _n ( x ), y _n ( x ) tienen una expresión en serie finita: ^[35] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}j_{n}(x)&={\frac {\pi }{2x}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=\\&={\frac {1}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r-n-1}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]\\&={\frac {1}{x}}\left[\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\\y_{n}(x)&=(-1)^{n+1}j_{-n-1}(x)=(-1)^{n+1}{\frac {\pi }{2x}}J_{-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}(x)=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{2x}}\left[e^{ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {i^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}+e^{-ix}\sum _{r=0}^{n}{\frac {(-i)^{r+n}(n+r)!}{r!(n-r)!(2x)^{r}}}\right]=\\&={\frac {(-1)^{n+1}}{x}}\left[\cos \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r)!}{(2r)!(n-2r)!(2x)^{2r}}}+\sin \left(x-{\frac {n\pi }{2}}\right)\sum _{r=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {(-1)^{r}(n+2r+1)!}{(2r+1)!(n-2r-1)!(2x)^{2r+1}}}\right]\end{alignedat}}}$$

Relaciones diferenciales

En lo siguiente, f _n es cualquiera de j _n , y _n , h⁽¹⁾
_a, yo⁽²⁾
_unopara n = 0, ±1, ±2, ... ^[36] $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}$$

Funciones esféricas de Hankel:yo(1) a,yo(2) uno

Gráfica de la función esférica de Hankel de primer tipo h⁽¹⁾
_a( x ) con n = -0,5 en el plano complejo de −2 − 2 i a 2 + 2 i

Gráfica de la función esférica de Hankel de segundo tipo h⁽²⁾
_uno( x ) con n = −0,5 en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

También existen análogos esféricos de las funciones de Hankel: $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}^{(1)}(x)&=j_{n}(x)+iy_{n}(x),\\h_{n}^{(2)}(x)&=j_{n}(x)-iy_{n}(x).\end{aligned}}}$$

De hecho, existen expresiones simples en forma cerrada para las funciones de Bessel de orden semientero en términos de las funciones trigonométricas estándar y, por lo tanto, para las funciones esféricas de Bessel. En particular, para los enteros no negativos n : $${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!\,(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}},}$$

y h⁽²⁾
_unoes el complejo conjugado de este (para x real ). Se deduce, por ejemplo, que j ₀ ( x ) = ⁠pecado x/incógnita⁠ y y ₀ ( x ) = − ⁠porque x/incógnita⁠ , y así sucesivamente.

Las funciones esféricas de Hankel aparecen en problemas que implican propagación de ondas esféricas , por ejemplo en la expansión multipolar del campo electromagnético .

Funciones de Riccati-Bessel:S n,C n,ξ n,ζn​

Las funciones de Riccati -Bessel difieren apenas ligeramente de las funciones esféricas de Bessel: $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-iC_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+iC_{n}(x)\end{aligned}}}$$

Gráfica compleja de funciones de Riccati-Bessel Sn desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

Satisfacen la ecuación diferencial $${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}$$

Por ejemplo, este tipo de ecuación diferencial aparece en mecánica cuántica al resolver el componente radial de la ecuación de Schrödinger con una barrera de potencial infinita cilíndrica hipotética. ^[37] Esta ecuación diferencial, y las soluciones de Riccati-Bessel, también surgen en el problema de la dispersión de ondas electromagnéticas por una esfera, conocida como dispersión de Mie después de la primera solución publicada por Mie (1908). Véase, por ejemplo, Du (2004) ^[38] para desarrollos y referencias recientes.

Siguiendo a Debye (1909), a veces se utiliza la notación ψ _n , χ _n en lugar de S _n , C _n .

Formas asintóticas

Las funciones de Bessel tienen las siguientes formas asintóticas . Para argumentos pequeños , se obtiene, cuando no es un entero negativo: ^[4] ${\displaystyle 0<z\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }.}$$

Cuando α es un entero negativo, tenemos $${\displaystyle J_{\alpha }(z)\sim {\frac {(-1)^{\alpha }}{(-\alpha )!}}\left({\frac {2}{z}}\right)^{\alpha }.}$$

Para la función de Bessel de segundo tipo tenemos tres casos: donde γ es la constante de Euler-Mascheroni (0,5772...). $${\displaystyle Y_{\alpha }(z)\sim {\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi }}\left(\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)+\gamma \right)&{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]-{\dfrac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }+{\dfrac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }\cot(\alpha \pi )&{\text{if }}\alpha {\text{ is a positive integer (one term dominates unless }}\alpha {\text{ is imaginary)}},\\[1ex]-{\dfrac {(-1)^{\alpha }\Gamma (-\alpha )}{\pi }}\left({\dfrac {z}{2}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha {\text{ is a negative integer,}}\end{cases}}}$$

Para argumentos reales grandes z ≫ | α ² − ⁠1/4⁠ |, no se puede escribir una forma asintótica verdadera para funciones de Bessel de primera y segunda especie (a menos queαseaun semientero) porque tienenceroshasta el infinito, lo que tendría que coincidir exactamente con cualquier expansión asintótica. Sin embargo, para un valor dado dearg z se puede escribir una ecuación que contenga un término de orden| z | ⁻¹ :^[39] $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\cos \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi ,\\Y_{\alpha }(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}\left(\sin \left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+e^{\left|\operatorname {Im} (z)\right|}{\mathcal {O}}\left(|z|^{-1}\right)\right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<\pi .\end{aligned}}}$$

(Para α = ⁠1/2⁠ los últimos términos de estas fórmulas desaparecen por completo; véanse las funciones esféricas de Bessel anteriores).

Las formas asintóticas de las funciones de Hankel son: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<2\pi ,\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-2\pi <\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Estos se pueden extender a otros valores de arg z utilizando ecuaciones que relacionan H⁽¹⁾
_α( ze ^{en π} ) y H⁽²⁾
_α( se ^{en π} ) a H⁽¹⁾
_α( z ) y H⁽²⁾
_α( z ) . ^[40]

Es interesante que, aunque la función de Bessel de primera especie es la media de las dos funciones de Hankel, J _α ( z ) no es asintótica a la media de estas dos formas asintóticas cuando z es negativo (porque una u otra no será correcta en ese caso, dependiendo del arg z utilizado). Pero las formas asintóticas para las funciones de Hankel nos permiten escribir formas asintóticas para las funciones de Bessel de primera y segunda especie para z compleja (no real) siempre que | z | tienda a infinito en un ángulo de fase constante arg z (usando la raíz cuadrada que tiene parte real positiva): $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]J_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi ,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim -i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}-\pi <\arg z<0,\\[1ex]Y_{\alpha }(z)&\sim i{\frac {1}{\sqrt {2\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&&{\text{for }}0<\arg z<\pi .\end{aligned}}}$$

Para las funciones de Bessel modificadas, Hankel también desarrolló expansiones asintóticas : ^{[41] [42]} $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}\left(1-{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}-{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {\pi }{2}},\\K_{\alpha }(z)&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\left(1+{\frac {4\alpha ^{2}-1}{8z}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)}{2!(8z)^{2}}}+{\frac {\left(4\alpha ^{2}-1\right)\left(4\alpha ^{2}-9\right)\left(4\alpha ^{2}-25\right)}{3!(8z)^{3}}}+\cdots \right)&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\frac {3\pi }{2}}.\end{aligned}}}$$

También existe la forma asintótica (para números reales grandes ) ^[43] ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi z}}{\sqrt[{4}]{1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\exp \left(-\alpha \operatorname {arsinh} \left({\frac {\alpha }{z}}\right)+z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}\right)\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{z{\sqrt {1+{\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}}}}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

Cuando α = ⁠1/2⁠ , todos los términos excepto el primero desaparecen, y tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sinh(z)}{\sqrt {z}}}\sim {\frac {e^{z}}{\sqrt {2\pi z}}}&&{\text{for }}\left|\arg z\right|<{\tfrac {\pi }{2}},\\[1ex]K_{{1}/{2}}(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {e^{-z}}{\sqrt {z}}}.\end{aligned}}}$$

Para argumentos pequeños , tenemos ${\displaystyle 0<|z|\ll {\sqrt {\alpha +1}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\alpha }(z)&\sim {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha },\\[1ex]K_{\alpha }(z)&\sim {\begin{cases}-\ln \left({\dfrac {z}{2}}\right)-\gamma &{\text{if }}\alpha =0\\[1ex]{\frac {\Gamma (\alpha )}{2}}\left({\dfrac {2}{z}}\right)^{\alpha }&{\text{if }}\alpha >0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Propiedades

Para el orden entero α = n , J _n se define a menudo a través de una serie de Laurent para una función generadora: un enfoque utilizado por PA Hansen en 1843. (Esto se puede generalizar al orden no entero mediante la integración de contorno u otros métodos). $${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t-{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(x)t^{n}}$$

Las series infinitas de funciones de Bessel en la forma donde surgen en muchos sistemas físicos y se definen en forma cerrada por la serie de Sung. ^[44] Por ejemplo, cuando N = 3: . De manera más general, la serie de Sung y la serie de Sung alternada se escriben como: ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)}$ $\nu ,p\in \mathbb {Z} ,\ N\in \mathbb {Z} ^{+}$ ${\textstyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu +p}(x)={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {(x{\sqrt {3}}/2-2\pi p/3)}\right]}$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {2\pi q/N}}e^{-i2\pi pq/N}}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }(-1)^{\nu }J_{N\nu +p}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{q=0}^{N-1}e^{ix\sin {(2q+1)\pi /N}}e^{-i(2q+1)\pi p/N}}$$

Una expansión en serie utilizando funciones de Bessel ( serie de Kapteyn ) es

${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{n}(nz).}$

Otra relación importante para los órdenes enteros es la expansión de Jacobi-Anger : y que se utiliza para expandir una onda plana como una suma de ondas cilíndricas , o para encontrar la serie de Fourier de una señal FM modulada por tono . $${\displaystyle e^{iz\cos \phi }=\sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}J_{n}(z)e^{in\phi }}$$ $${\displaystyle e^{\pm iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )\pm 2i\sum _{n=0}^{\infty }J_{2n+1}(z)\sin((2n+1)\phi )}$$

De manera más general, una serie se denomina expansión de Neumann de f . Los coeficientes para ν = 0 tienen la forma explícita donde O _k es el polinomio de Neumann . ^[45] $${\displaystyle f(z)=a_{0}^{\nu }J_{\nu }(z)+2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +k}(z)}$$ $${\displaystyle a_{k}^{0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z|=c}f(z)O_{k}(z)\,dz}$$

Las funciones seleccionadas admiten la representación especial debido a la relación de ortogonalidad $${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}^{\nu }J_{\nu +2k}(z)}$$ $${\displaystyle a_{k}^{\nu }=2(\nu +2k)\int _{0}^{\infty }f(z){\frac {J_{\nu +2k}(z)}{z}}\,dz}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\alpha }(z)J_{\beta }(z){\frac {dz}{z}}={\frac {2}{\pi }}{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}$$

De manera más general, si f tiene un punto de ramificación cerca del origen de tal naturaleza que entonces o donde es la transformada de Laplace de f . ^[46] $${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}(z)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\sum _{k=0}a_{k}J_{\nu +k}\right\}(s)={\frac {1}{\sqrt {1+s^{2}}}}\sum _{k=0}{\frac {a_{k}}{\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{\nu +k}}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}a_{k}\xi ^{\nu +k}={\frac {1+\xi ^{2}}{2\xi }}{\mathcal {L}}\{f\}\left({\frac {1-\xi ^{2}}{2\xi }}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$

Otra forma de definir las funciones de Bessel es la fórmula de representación de Poisson y la fórmula de Mehler-Sonine: donde ν > − ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\nu }(z)&={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{\Gamma \left(\nu +{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\int _{-1}^{1}e^{izs}\left(1-s^{2}\right)^{\nu -{\frac {1}{2}}}\,ds\\[5px]&={\frac {2}{{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\cdot {\sqrt {\pi }}\cdot \Gamma \left({\frac {1}{2}}-\nu \right)}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin zu}{\left(u^{2}-1\right)^{\nu +{\frac {1}{2}}}}}\,du\end{aligned}}}$$1/2⁠ y z ∈ C . ^[47] Esta fórmula es útil especialmente cuando se trabaja con transformadas de Fourier .

Como la ecuación de Bessel se vuelve hermítica (autoadjunta) si se divide por x , las soluciones deben satisfacer una relación de ortogonalidad para las condiciones de contorno apropiadas. En particular, se deduce que: donde α > −1 , δ _{m , n} es el delta de Kronecker , y u _{α , m} es el m ésimo cero de J _α ( x ) . Esta relación de ortogonalidad se puede utilizar entonces para extraer los coeficientes en la serie de Fourier-Bessel , donde una función se desarrolla en base a las funciones J _α ( x u _{α , m} ) para α fijo y m variable . $${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)J_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[J_{\alpha }'\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

Una relación análoga para las funciones esféricas de Bessel se deduce inmediatamente: $${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,m}\right)j_{\alpha }\left(xu_{\alpha ,n}\right)\,dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}\left[j_{\alpha +1}\left(u_{\alpha ,m}\right)\right]^{2}}$$

Si se define una función de vagón de x que depende de un pequeño parámetro ε como:

$${\displaystyle f_{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x-1}{\varepsilon }}\right)}$$

(donde rect es la función rectángulo ) entonces la transformada de Hankel de la misma (de cualquier orden dado α > − ⁠1/2⁠ ), g _ε ( k ) , tiende a J _α ( k ) cuando ε tiende a cero, para cualquier k dado . Por el contrario, la transformada de Hankel (del mismo orden) de g _ε ( k ) es f _ε ( x ) :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)g_{\varepsilon }(k)\,dk=f_{\varepsilon }(x)}$$

que es cero en todas partes excepto cerca de 1. A medida que ε se acerca a cero, el lado derecho se acerca a δ ( x − 1) , donde δ es la función delta de Dirac . Esto admite el límite (en el sentido distribucional ):

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }kJ_{\alpha }(kx)J_{\alpha }(k)\,dk=\delta (x-1)}$$

Un cambio de variables produce entonces la ecuación de cierre : ^[48]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }xJ_{\alpha }(ux)J_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {1}{u}}\delta (u-v)}$$

para α > − ⁠1/2⁠ . La transformada de Hankel puede expresar una función bastante arbitraria ^{[ aclaración necesaria ]} como una integral de funciones de Bessel de diferentes escalas. Para las funciones de Bessel esféricas la relación de ortogonalidad es: para α > −1 . $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2}j_{\alpha }(ux)j_{\alpha }(vx)\,dx={\frac {\pi }{2uv}}\delta (u-v)}$$

Otra propiedad importante de las ecuaciones de Bessel, que se desprende de la identidad de Abel , involucra el wronskiano de las soluciones: donde A _α y B _α son dos soluciones cualesquiera de la ecuación de Bessel, y C _α es una constante independiente de x (que depende de α y de las funciones de Bessel particulares consideradas). En particular, y para α > −1 . $${\displaystyle A_{\alpha }(x){\frac {dB_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dA_{\alpha }}{dx}}B_{\alpha }(x)={\frac {C_{\alpha }}{x}}}$$ $${\displaystyle J_{\alpha }(x){\frac {dY_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dJ_{\alpha }}{dx}}Y_{\alpha }(x)={\frac {2}{\pi x}}}$$ $${\displaystyle I_{\alpha }(x){\frac {dK_{\alpha }}{dx}}-{\frac {dI_{\alpha }}{dx}}K_{\alpha }(x)=-{\frac {1}{x}},}$$

Para α > −1 , la función entera par de género 1, x ^{− α} J _α ( x ) , tiene solo ceros reales. Sea todos sus ceros positivos, entonces $${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots <j_{\alpha ,n}<\cdots }$$ $${\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{j_{\alpha ,n}^{2}}}\right)}$$

(Existe una gran cantidad de otras integrales e identidades conocidas que no se reproducen aquí, pero que se pueden encontrar en las referencias).

Relaciones de recurrencia

Las funciones J _α , Y _α , H⁽¹⁾
_α, y H⁽²⁾
_αtodas satisfacen las relaciones de recurrencia ^[49] y donde Z denota J , Y , H ⁽¹⁾ o H ⁽²⁾ . Estas dos identidades se combinan a menudo, por ejemplo, se suman o se restan, para producir varias otras relaciones. De esta manera, por ejemplo, se pueden calcular funciones de Bessel de órdenes superiores (o derivadas superiores) dados los valores en órdenes inferiores (o derivadas inferiores). En particular, se deduce que ^[50] $${\displaystyle {\frac {2\alpha }{x}}Z_{\alpha }(x)=Z_{\alpha -1}(x)+Z_{\alpha +1}(x)}$$ $${\displaystyle 2{\frac {dZ_{\alpha }(x)}{dx}}=Z_{\alpha -1}(x)-Z_{\alpha +1}(x),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[x^{\alpha }Z_{\alpha }(x)\right]&=x^{\alpha -m}Z_{\alpha -m}(x),\\\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{m}\left[{\frac {Z_{\alpha }(x)}{x^{\alpha }}}\right]&=(-1)^{m}{\frac {Z_{\alpha +m}(x)}{x^{\alpha +m}}}.\end{aligned}}}$$

Las funciones de Bessel modificadas siguen relaciones similares: y y $${\displaystyle e^{\left({\frac {x}{2}}\right)\left(t+{\frac {1}{t}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(x)t^{n}}$$ $${\displaystyle e^{z\cos \theta }=I_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)\cos n\theta }$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{z\cos(m\theta )+y\cos \theta }d\theta =I_{0}(z)I_{0}(y)+2\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}(z)I_{mn}(y).}$$

La relación de recurrencia se lee donde C _α denota I _α o e ^{αi π} K _α . Estas relaciones de recurrencia son útiles para problemas de difusión discreta. $${\displaystyle {\begin{aligned}C_{\alpha -1}(x)-C_{\alpha +1}(x)&={\frac {2\alpha }{x}}C_{\alpha }(x),\\[1ex]C_{\alpha -1}(x)+C_{\alpha +1}(x)&=2{\frac {d}{dx}}C_{\alpha }(x),\end{aligned}}}$$

Trascendencia

En 1929, Carl Ludwig Siegel demostró que J _ν ( x ) , J ' _ν ( x ) y la derivada logarítmica ⁠J' _ν ( x )/J _ν ( x )⁠ son números trascendentales cuando ν es racional y x es algebraico y distinto de cero. ^[51] La misma prueba también implica que K _ν ( x ) es trascendental bajo los mismos supuestos. ^[52]

Sumas con funciones de Bessel

El producto de dos funciones de Bessel admite la siguiente suma: De estas igualdades se sigue que y como consecuencia $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{n-\nu }(y)=J_{n}(x+y),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(y)=J_{n}(y-x).}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)=\delta _{n,0}}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }^{2}(x)=1.}$$

Estas sumas se pueden extender para un prefactor polinómico. Por ejemplo, $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,1}+\delta _{n,-1}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu J_{\nu }^{2}(x)=0,}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }(x)J_{\nu +n}(x)={\frac {x}{2}}\left(\delta _{n,-1}-\delta _{n,1}\right)+{\frac {x^{2}}{4}}\left(\delta _{n,-2}+2\delta _{n,0}+\delta _{n,2}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{\nu =-\infty }^{\infty }\nu ^{2}J_{\nu }^{2}(x)={\frac {x^{2}}{2}}.}$$

Teorema de multiplicación

Las funciones de Bessel obedecen a un teorema de multiplicación donde λ y ν pueden tomarse como números complejos arbitrarios. ^{[53] [54]} Para | λ ² − 1 | < 1 , ^[53] la expresión anterior también se cumple si J se reemplaza por Y . Las identidades análogas para funciones de Bessel modificadas y | λ ² − 1 | < 1 son y $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(1-\lambda ^{2}\right)z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$$ $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }I_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}I_{\nu +n}(z)}$$ $${\displaystyle \lambda ^{-\nu }K_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {\left(\lambda ^{2}-1\right)z}{2}}\right)^{n}K_{\nu +n}(z).}$$

Ceros de la función de Bessel

Hipótesis de Bourget

El propio Bessel demostró originalmente que para los enteros no negativos n , la ecuación J _n ( x ) = 0 tiene un número infinito de soluciones en x . ^[55] Sin embargo, cuando las funciones J _n ( x ) se representan en el mismo gráfico, ninguno de los ceros parece coincidir para diferentes valores de n, excepto el cero en x = 0 . Este fenómeno se conoce como la hipótesis de Bourget en honor al matemático francés del siglo XIX que estudió las funciones de Bessel. Específicamente, establece que para cualquier entero n ≥ 0 y m ≥ 1 , las funciones J _n ( x ) y J _{n + m} ( x ) no tienen ceros comunes aparte del que está en x = 0 . La hipótesis fue demostrada por Carl Ludwig Siegel en 1929. ^[56]

Trascendencia

Siegel demostró en 1929 que cuando ν es racional, todas las raíces distintas de cero de J _ν (x) y J ' _ν (x) son trascendentales , ^[57] como lo son todas las raíces de K _ν (x) . ^[52] También se sabe que todas las raíces de las derivadas superiores para n ≤ 18 son trascendentales, excepto los valores especiales y . ^[57] ${\displaystyle J_{\nu }^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle J_{1}^{(3)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$ ${\displaystyle J_{0}^{(4)}(\pm {\sqrt {3}})=0}$

Enfoques numéricos

Para estudios numéricos sobre los ceros de la función de Bessel, ver Gil, Segura & Temme (2007), Kravanja et al. (1998) y Moler (2004).

Valores numéricos

Los primeros ceros en J ₀ (es decir, j _0,1 , j _0,2 y j _0,3 ) aparecen en argumentos de aproximadamente 2,40483, 5,52008 y 8,65373, respectivamente. ^[58]

Véase también

• Función de la ira
• Polinomios de Bessel
• Función de Bessel-Clifford
• Función de Bessel-Maitland
• Serie de Fourier-Bessel
• Función q -Bessel de Hahn-Exton
• Transformación de Hankel
• Funciones de Bessel incompletas
• Función q -Bessel de Jackson
• Funciones de Kelvin
• Transformación de Kontorovich-Lebedev
• Algoritmo de Lentz
• Regla de la suma de Lerche-Newberger
• Función de Lommel
• Polinomio de Lommel
• Polinomio de Neumann
• Funciones de Riccati-Bessel
• La serie de Schlömilch
• Fórmula de Sonine
• Función de Struve
• Vibraciones de una membrana circular
• Función de Weber (definida en Función de ira )
• Problema del círculo de Gauss

Notas

1. Wilensky, Michael; Brown, Jordan; Hazelton, Bryna (junio de 2023). "Por qué y cuándo esperar distribuciones de error gaussiano en mediciones del espectro de potencia de 21 cm en épocas de reionización". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 521 (4): 5191–5206. arXiv : 2211.13576 . doi : 10.1093/mnras/stad863 .
2. Weisstein, Eric W. "Función esférica de Bessel de segundo tipo". MathWorld .
3. Weisstein, Eric W. "Función de Bessel del segundo tipo". MathWorld .
4. Abramowitz y Stegun, pág. 360, 9.1.10.
5. Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (1927). Un curso de análisis moderno (4ª ed.). Cambridge University Press. pág. 356.Por ejemplo, Hansen (1843) y Schlömilch (1857).
6. Abramowitz y Stegun, pag. 358, 9.1.5.
7. Temme, Nico M. (1996). Funciones especiales: Una introducción a las funciones clásicas de la física matemática (2.ª edición impresa). Nueva York: Wiley. pp. 228–231. ISBN 0471113131.
8. Weisstein, Eric W. "Fórmula Hansen-Bessel". MundoMatemático .
9. Bessel, F. (1824). La integral relevante es una ecuación no numerada entre las ecuaciones 28 y 29. Nótese que hoy en día la integral de Bessel se escribiría . ${\displaystyle I_{k}^{h}}$ ${\displaystyle J_{h}(k)}$
10. Watson, pág. 176
11. "Propiedades de las funciones de Hankel y Bessel". Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2010. Consultado el 18 de octubre de 2010 .
12. "Representaciones integrales de la función de Bessel". www.nbi.dk . Archivado desde el original el 3 de octubre de 2022 . Consultado el 25 de marzo de 2018 .
13. Arfken y Weber, ejercicio 11.1.17.
14. Abramowitz y Stegun, pag. 362, 9.1.69.
15. Szegő, Gábor (1975). Polinomios ortogonales (4ª ed.). Providencia, Rhode Island: AMS.
16. "Funciones de Bessel de primer y segundo tipo" (PDF) . mhtlab.uwaterloo.ca . p. 3. Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09 . Consultado el 24 de mayo de 2022 .
17. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST (10.8.1). Consultado en línea el 25 de octubre de 2016.
18. Watson, pág. 178.
19. Abramowitz y Stegun, pag. 358, 9.1.3, 9.1.4.
20. Abramowitz y Stegun, pag. 358, 9.1.6.
21. Abramowitz y Stegun, pag. 360, 9.1.25.
22. Abramowitz y Stegun, pag. 375, 9.6.2, 9.6.10, 9.6.11.
23. Dixon; Ferrar, WL (1930). "Una prueba directa de la integral de Nicholson". The Quarterly Journal of Mathematics . Oxford: 236–238. doi :10.1093/qmath/os-1.1.236.
24. Abramowitz y Stegun, pag. 375, 9.6.3, 9.6.5.
25. Abramowitz y Stegun, pag. 374, 9.6.1.
26. Greiner, Walter; Reinhardt, Joachim (2009). Electrodinámica cuántica . Springer. pág. 72. ISBN. 978-3-540-87561-1.
27. Watson, pág. 181.
28. Khokonov, M. Kh. (2004). "Procesos en cascada de pérdida de energía por emisión de fotones duros". Journal of Experimental and Theoretical Physics . 99 (4): 690–707. Bibcode :2004JETP...99..690K. doi :10.1134/1.1826160. S2CID  122599440.. Derivado de fórmulas obtenidas de IS Gradshteyn e IM Ryzhik , Tabla de integrales, series y productos (Fizmatgiz, Moscú, 1963; Academic Press, Nueva York, 1980).
29. Se hace referencia a ella como tal en: Teichroew, D. (1957). "La mezcla de distribuciones normales con diferentes varianzas" (PDF) . The Annals of Mathematical Statistics . 28 (2): 510–512. doi : 10.1214/aoms/1177706981 .
30. Abramowitz y Stegun, pag. 437, 10.1.1.
31. Abramowitz y Stegun, pag. 439, 10.1.25, 10.1.26.
32. Abramowitz y Stegun, pag. 438, 10.1.11.
33. Abramowitz y Stegun, pag. 438, 10.1.12.
34. Abramowitz y Stegun, pag. 439, 10.1.39.
35. LV Babushkina, MK Kerimov, AI Nikitin, Algoritmos para calcular funciones de Bessel de orden semientero con argumentos complejos, pág. 110, pág. 111.
36. Abramowitz y Stegun, pag. 439, 10.1.23, 10.1.24.
37. Griffiths. Introducción a la mecánica cuántica, 2.ª edición, pág. 154.
38. Du, Hong (2004). "Cálculo de dispersión de Mie". Óptica Aplicada . 43 (9): 1951–1956. Código Bibliográfico :2004ApOpt..43.1951D. doi :10.1364/ao.43.001951. PMID  15065726.
39. Abramowitz y Stegun, pag. 364, 9.2.1.
40. Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST , Sección 10.11.
41. Abramowitz y Stegun, pag. 377, 9.7.1.
42. Abramowitz y Stegun, pag. 378, 9.7.2.
43. Fröhlich y Spencer 1981 Apéndice B
44. Sung, S.; Hovden, R. (2022). "Sobre series infinitas de funciones de Bessel de primera especie". arXiv : 2211.01148 [math-ph].
45. Abramowitz y Stegun, pag. 363, 9.1.82 y sigs.
46. Watson, GN (25 de agosto de 1995). Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel. Cambridge University Press. ISBN 9780521483919. Recuperado el 25 de marzo de 2018 – vía Google Books.
47. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "8.411.10". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN  2014010276.
48. Arfken y Weber, sección 11.2
49. Abramowitz y Stegun, pag. 361, 9.1.27.
50. Abramowitz y Stegun, pag. 361, 9.1.30.
51. Siegel, Carl L. (2014). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Sobre algunas aplicaciones de aproximaciones diofánticas: una traducción de Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen de Carl Ludwig Siegel por Clemens Fuchs, con un comentario y el artículo Puntos integrales en curvas: el teorema de Siegel después de la prueba de Siegel por Clemens Fuchs y Umberto Zannier (en alemán). Escuela Normal Superior. págs. 81-138. doi :10.1007/978-88-7642-520-2_2. ISBN 978-88-7642-520-2.
52. James, RD (noviembre de 1950). "Reseña: Carl Ludwig Siegel, Números trascendentales". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 56 (6): 523–526. doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09435-X .
53. Abramowitz y Stegun, pág. 363, 9.1.74.
54. Truesdell, C. (1950). "Sobre los teoremas de adición y multiplicación para las funciones especiales". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 1950 (12): 752–757. Bibcode :1950PNAS...36..752T. doi : 10.1073/pnas.36.12.752 . PMC 1063284 . PMID  16578355. 
55. Bessel, F. (1824), artículo 14.
56. Watson, págs. 484–485.
57. Lorch, Lee; Muldoon, Martin E. (1995). "Trascendentalidad de ceros de derivadas superiores de funciones que involucran funciones de Bessel". Revista Internacional de Matemáticas y Ciencias Matemáticas . 18 (3): 551–560. doi : 10.1155/S0161171295000706 .
58. Abramowitz y Stegun, pág. 409

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 9". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 355, 435. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253. Véase también el capítulo 10.
• Arfken, George B. y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , 6.ª edición (Harcourt: San Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0 . 
• Bessel, Friedrich (1824). "Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht" [Investigación de la parte de las perturbaciones planetarias que surgen del movimiento del sol]. Abhandlungen de Berlín . Reproducido en las páginas 84 a 109 de Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel. Leipzig: Engelmann. 1875.Traducción del texto al inglés.
• Bowman, Frank Introducción a las funciones de Bessel (Dover: Nueva York, 1958). ISBN 0-486-60462-4 . 
• Gil, A.; Segura, J.; Temme, NM (2007). Métodos numéricos para funciones especiales . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas.
• Kravanja, P.; Ragos, O.; Vrahatis, MN; Zafiropoulos, FA (1998), "ZEBEC: Un paquete de software matemático para calcular ceros simples de funciones de Bessel de orden real y argumento complejo", Computer Physics Communications , 113 (2–3): 220–238, Bibcode :1998CoPhC.113..220K, doi :10.1016/S0010-4655(98)00064-2
• Mie, G. (1908). "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen". Annalen der Physik . 25 (3): 377. Código bibliográfico : 1908AnP...330..377M. doi : 10.1002/andp.19083300302 .
• Olver, FWJ ; Maximon, LC (2010), "Función de Bessel", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248..
• Press, WH ; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 6.5. Funciones de Bessel de orden entero", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8, archivado desde el original el 3 de febrero de 2021 , consultado el 28 de septiembre de 2022.
• B España, MG Smith, Funciones de la física matemática , Van Nostrand Reinhold Company, Londres, 1970. El capítulo 9 trata de las funciones de Bessel.
• NM Temme, Funciones especiales. Introducción a las funciones clásicas de la física matemática , John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, 1996. ISBN 0-471-11313-1 . El capítulo 9 trata de las funciones de Bessel. 
• Watson, GN , Tratado sobre la teoría de las funciones de Bessel, segunda edición , (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3 . 
• Weber, Heinrich (1873), "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen", Mathematische Annalen , 6 (2): 146–161, doi :10.1007/BF01443190, S2CID  122409461.

Enlaces externos

• Lizorkin, PI (2001) [1994], "Funciones de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Karmazina, LN; Prudnikov, AP (2001) [1994], "Función cilíndrica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Bessel", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Páginas de funciones Wolfram sobre funciones J e Y de Bessel y funciones I y K de Bessel modificadas. Las páginas incluyen fórmulas, evaluadores de funciones y calculadoras de gráficos.
• Weisstein, Eric W. "Funciones de Bessel del primer tipo". MathWorld .
• Funciones de Bessel Jν, Yν, Iν y Kν en el manual de funciones de Librow.
• FWJ Olver, LC Maximon, Funciones de Bessel (capítulo 10 de la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas).
• Moler, CB (2004). Computación numérica con MATLAB (PDF) . Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. Archivado desde el original (PDF) el 8 de agosto de 2017.