Ventana del Kaiser

Se utiliza en el diseño de filtros de respuesta de impulso finito y en el análisis espectral.

La ventana de Kaiser para varios valores de su parámetro

La ventana de Kaiser , también conocida como ventana de Kaiser-Bessel , fue desarrollada por James Kaiser en Bell Laboratories . Es una familia de funciones de ventana de un parámetro que se utilizan en el diseño de filtros de respuesta de impulso finito y en el análisis espectral . La ventana de Kaiser se aproxima a la ventana DPSS , que maximiza la concentración de energía en el lóbulo principal ^[1], pero que es difícil de calcular. ^[2]

Definición

La ventana de Kaiser y su transformada de Fourier están dadas por :

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}{\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}}},}$   ^{[3] [A]}

Transformadas de Fourier de dos ventanas de Kaiser

dónde :

• I ₀ es la función de Bessel modificada de orden cerodel primer tipo,
• L es la duración de la ventana, y
• α es un número real no negativo que determina la forma de la ventana. En el dominio de la frecuencia, determina el equilibrio entre el ancho del lóbulo principal y el nivel del lóbulo lateral, que es una decisión central en el diseño de ventanas.
• A veces, la ventana de Kaiser está parametrizada por β , donde β = πα .

Para el procesamiento de señales digitales , la función se puede muestrear simétricamente como :

${\displaystyle w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{N}}(n-N/2)\right)={\frac {I_{0}\left[\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad 0\leq n\leq N,}$

donde la longitud de la ventana es y N puede ser par o impar. (ver Una lista de funciones de ventana ) ${\displaystyle N+1,}$

En la transformada de Fourier, el primer nulo después del lóbulo principal ocurre en el cual está en unidades de N ( "contenedores" de DFT ). A medida que α aumenta, el lóbulo principal aumenta en ancho y los lóbulos laterales disminuyen en amplitud.  α  = 0 corresponde a una ventana rectangular. Para α grande, la forma de la ventana de Kaiser (tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia) tiende a una curva gaussiana . La ventana de Kaiser es casi óptima en el sentido de la concentración de su pico alrededor de la frecuencia ^[5] ${\displaystyle f={\tfrac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{L}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$ ${\displaystyle 0.}$

Ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD)

Una función de ventana relacionada es la ventana derivada de Kaiser-Bessel (KBD) , que está diseñada para ser adecuada para su uso con la transformada de coseno discreta modificada (MDCT). La función de ventana KBD se define en términos de la ventana de Kaiser de longitud N +1, mediante la fórmula :

${\displaystyle d_{n}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}0\leq n<N\\{\sqrt {\frac {\sum _{i=0}^{2N-1-n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}}&{\mbox{if }}N\leq n\leq 2N-1\\0&{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$

Esto define una ventana de longitud 2 N , donde por construcción d _n satisface la condición de Princen-Bradley para la MDCT (usando el hecho de que w _{N − n} = w _n ): d _n ² + ( d _{n + N} ) ² = 1 (interpretando n y n  +  N módulo 2 N ). La ventana KBD también es simétrica de la manera apropiada para la MDCT: d _n  =  d _{2 N −1− n} .

Aplicaciones

La ventana KBD se utiliza en el formato de audio digital de codificación de audio avanzada .

Notas

1. Una fórmula equivalente es : ^[4]

   ${\displaystyle {\frac {\sinh {\bigg (}{\sqrt {(\pi \alpha )^{2}-(\pi Lf)^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi \alpha )^{2}-(\pi Lf)^{2}}}}}.}$

Referencias

1. "Ventana Slepian o DPSS". ccrma.stanford.edu . Consultado el 13 de abril de 2016 .
2. Oppenheim, AV; Schafer, RW (2009). Procesamiento de señales en tiempo discreto . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 541. ISBN 9780131988422.
3. Nuttall, Albert H. (febrero de 1981). "Algunas ventanas con muy buen comportamiento de lóbulos laterales". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 29 (1): 89 (eq.38). doi :10.1109/TASSP.1981.1163506.
4. Smith, JO (2011). "Ventana de Kaiser en el procesamiento de señales de audio espectral, ecuaciones (4.40 y 4.42)". ccrma.stanford.edu . Consultado el 1 de enero de 2022 .dónde ${\displaystyle \beta \triangleq \pi \alpha ,\ \omega \triangleq 2\pi f,\ M=L.}$
5. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W .; Buck, John R. (1999). "7.2". Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pág. 474. ISBN 0-13-754920-2Se podría formar una ventana casi óptima utilizando la función de Bessel modificada de orden cero del primer tipo.

Lectura adicional

• Harris, Fredric J. (enero de 1978). "Sobre el uso de Windows para el análisis armónico con la transformada discreta de Fourier" (PDF) . Actas del IEEE . 66 (1): 73 (ecuación 46b). CiteSeerX  10.1.1.649.9880 . doi :10.1109/PROC.1978.10837.
• Kaiser, James F.; Schafer, Ronald W. (1980). "Sobre el uso de la ventana I ₀ -sinh para el análisis espectral". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 28 : 105–107. doi :10.1109/TASSP.1980.1163349.
• Smith, JO (2011). "Comparación del procesamiento de señales de audio espectrales entre ventanas Kaiser y DPSS". ccrma.stanford.edu . Consultado el 13 de abril de 2016 .
• "Ventana del Kaiser, R2018b". www.mathworks.com . Mathworks . Consultado el 20 de marzo de 2019 .