Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker

Métrica basada en la solución exacta de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein

La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ( FLRW ; / ˈ f r iː d m ə n l ə ˈ m ɛ t r ə  ... /   ) es una métrica basada en una solución exacta de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general. . La métrica describe un universo homogéneo , isotrópico , en expansión (o en caso contrario, en contracción) que está conectado por trayectorias , pero no necesariamente simplemente conectado . ^{[1] [2] [3]} La forma general de la métrica se deriva de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía; Las ecuaciones de campo de Einstein sólo son necesarias para derivar el factor de escala del universo en función del tiempo. Dependiendo de las preferencias geográficas o históricas, el conjunto de los cuatro científicos – Alexander Friedmann , Georges Lemaître , Howard P. Robertson y Arthur Geoffrey Walker – se agrupan de diversas formas como Friedmann , Friedmann-Robertson-Walker ( FRW ), Robertson-Walker ( RW ) , o Friedmann-Lemaître ( Florida ). Este modelo a veces se denomina modelo estándar de la cosmología moderna , ^[4] aunque dicha descripción también está asociada con el modelo Lambda-CDM más desarrollado . El modelo FLRW fue desarrollado de forma independiente por los autores mencionados en las décadas de 1920 y 1930.

Métrica general

La métrica FLRW comienza con el supuesto de homogeneidad e isotropía del espacio. También supone que el componente espacial de la métrica puede depender del tiempo. La métrica genérica que cumple estas condiciones es

${\displaystyle -c^{2}\mathrm {d} \tau ^{2}=-c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2},}$

donde se extiende sobre un espacio tridimensional de curvatura uniforme, es decir, espacio elíptico , espacio euclidiano o espacio hiperbólico . Normalmente se escribe como una función de tres coordenadas espaciales, pero existen varias convenciones para hacerlo, que se detallan a continuación. no depende de t ; toda la dependencia del tiempo está en la función a ( t ), conocida como " factor de escala ". ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$

Coordenadas polares de circunferencia reducida

En coordenadas polares de circunferencia reducida, la métrica espacial tiene la forma ^{[5] [6]}

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}={\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2},\quad {\text{where }}\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}.}$

k es una constante que representa la curvatura del espacio. Hay dos convenciones de unidades comunes:

• Se puede considerar que k tiene unidades de longitud ⁻² , en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a ( t ) no tiene unidades. k es entonces la curvatura gaussiana del espacio en el momento en que a ( t ) = 1 . A r a veces se le llama circunferencia reducida porque es igual a la circunferencia medida de un círculo (en ese valor de r ), centrado en el origen, dividido por 2 π (como la r de las coordenadas de Schwarzschild ). Cuando sea apropiado, a menudo se elige a ( t ) para que sea igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo que mida la distancia comoving . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• Alternativamente, se puede considerar que k pertenece al conjunto {−1, 0, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva respectivamente). Entonces r no tiene unidades y a ( t ) tiene unidades de longitud. Cuando k = ±1 , a ( t ) es el radio de curvatura del espacio y también puede escribirse R ( t ).

Una desventaja de las coordenadas de circunferencia reducida es que cubren sólo la mitad de las 3 esferas en el caso de curvatura positiva; las circunferencias más allá de ese punto comienzan a disminuir, lo que lleva a la degeneración. (Esto no es un problema si el espacio es elíptico , es decir, tres esferas con puntos opuestos identificados).

Coordenadas hiperesféricas

En coordenadas hiperesféricas o normalizadas por curvatura, la coordenada r es proporcional a la distancia radial; esto da

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} r^{2}+S_{k}(r)^{2}\,\mathrm {d} \mathbf {\Omega } ^{2}}$

donde esta como antes y ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Omega } }$

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

Como antes, existen dos convenciones de unidades comunes:

• Se puede considerar que k tiene unidades de longitud ⁻² , en cuyo caso r tiene unidades de longitud y a ( t ) no tiene unidades. k es entonces la curvatura gaussiana del espacio en el momento en que a ( t ) = 1 . Cuando sea apropiado, a menudo se elige a ( t ) para que sea igual a 1 en la era cosmológica actual, de modo que mida la distancia comoving . ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• Alternativamente, como antes, se puede considerar que k pertenece al conjunto {−1,0, +1} (para curvatura negativa, cero y positiva, respectivamente). Entonces r no tiene unidades y a ( t ) tiene unidades de longitud. Cuando k = ±1 , a ( t ) es el radio de curvatura del espacio y también puede escribirse R ( t ). Tenga en cuenta que cuando k = +1 , r es esencialmente un tercer ángulo junto con θ y φ . Se puede utilizar  la letra χ en lugar de r .

Aunque generalmente se define por partes como anteriormente, S es una función analítica tanto de k como  de r . También se puede escribir como una serie de potencias.

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

o como

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}}),}$

donde sinc es la función sinc no normalizada y es una de las raíces cuadradas imaginarias, cero o reales de k . Estas definiciones son válidas para todos  k . ${\displaystyle {\sqrt {k}}}$

Coordenadas cartesianas

Cuando k = 0 se puede escribir simplemente

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

Esto se puede extender a k ≠ 0 definiendo

${\displaystyle x=r\cos \theta \,,}$

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$, y

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,,}$

donde r es una de las coordenadas radiales definidas anteriormente, pero esto es raro.

Curvatura

Coordenadas cartesianas

En el espacio plano FLRW que utiliza coordenadas cartesianas, los componentes supervivientes del tensor de Ricci son ^[7] ${\displaystyle (k=0)}$

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

y el escalar de Ricci es

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

Coordenadas esféricas

En un espacio FLRW más general que utiliza coordenadas esféricas (llamadas "coordenadas polares de circunferencia reducida" arriba), los componentes supervivientes del tensor de Ricci son ^[8]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

y el escalar de Ricci es

${\displaystyle R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

Soluciones

Las ecuaciones de campo de Einstein no se utilizan para derivar la forma general de la métrica: se desprende de las propiedades geométricas de homogeneidad e isotropía. Sin embargo, determinar la evolución temporal de sí requiere las ecuaciones de campo de Einstein junto con una forma de calcular la densidad, como una ecuación de estado cosmológica . ${\displaystyle a(t)}$ ${\displaystyle \rho (t),}$

Esta métrica tiene una solución analítica a las ecuaciones de campo de Einstein, dando las ecuaciones de Friedmann cuando se supone de manera similar que el tensor de energía-momento es isotrópico y homogéneo. Las ecuaciones resultantes son: ^[9] ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-\kappa c^{2}p.}$

Estas ecuaciones son la base del modelo cosmológico estándar del Big Bang , incluido el modelo ΛCDM actual . ^[10] Debido a que el modelo FLRW supone homogeneidad, algunos relatos populares afirman erróneamente que el modelo del Big Bang no puede explicar la irregularidad observada en el universo. En un modelo estrictamente FLRW, no hay cúmulos de galaxias o estrellas, ya que se trata de objetos mucho más densos que una parte típica del universo. No obstante, el modelo FLRW se utiliza como una primera aproximación a la evolución del universo real y desigual porque es sencillo de calcular, y los modelos que calculan la irregularidad del universo se añaden a los modelos FLRW como extensiones. La mayoría de los cosmólogos están de acuerdo en que el universo observable se aproxima bien mediante un modelo casi FLRW , es decir, un modelo que sigue la métrica FLRW independientemente de las fluctuaciones de densidad primordial . A partir de 2003 ^[update], las implicaciones teóricas de las diversas extensiones del modelo FLRW parecen entenderse bien, y el objetivo es hacerlas consistentes con las observaciones de COBE y WMAP .

Interpretación

El par de ecuaciones dado anteriormente es equivalente al siguiente par de ecuaciones

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {\kappa c^{4}}{6}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

siendo , el índice de curvatura espacial, que sirve como constante de integración para la primera ecuación. ${\displaystyle k}$

La primera ecuación se puede derivar también de consideraciones termodinámicas y es equivalente a la primera ley de la termodinámica , asumiendo que la expansión del universo es un proceso adiabático (que se asume implícitamente en la derivación de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker).

La segunda ecuación establece que tanto la densidad de energía como la presión hacen que la tasa de expansión del universo disminuya, es decir, ambas causan una desaceleración en la expansión del universo. Esto es una consecuencia de la gravitación , jugando la presión un papel similar al de la densidad de energía (o masa), según los principios de la relatividad general . La constante cosmológica , por otra parte, provoca una aceleración en la expansión del universo. ${\displaystyle {\dot {a}}}$

Constante cosmológica

El término constante cosmológica se puede omitir si hacemos los siguientes reemplazos

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda }{\kappa }}.}$

Por lo tanto, se puede interpretar que la constante cosmológica surge de una forma de energía que tiene una presión negativa, igual en magnitud a su densidad de energía (positiva):

${\displaystyle p=-\rho c^{2}\,,}$

que es una ecuación de estado de vacío con energía oscura .

Un intento de generalizar esto a

${\displaystyle p=w\rho c^{2}}$

no tendría invariancia general sin modificaciones adicionales.

De hecho, para obtener un término que provoque una aceleración de la expansión del universo, basta con tener un campo escalar que satisfaga

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.}$

A este campo a veces se le llama quintaesencia .

Interpretación newtoniana

Esto se debe a McCrea y Milne, ^[11] aunque a veces se atribuye incorrectamente a Friedmann. Las ecuaciones de Friedmann son equivalentes a este par de ecuaciones:

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {\kappa c^{4}a^{3}\rho }{6a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

La primera ecuación dice que la disminución de la masa contenida en un cubo fijo (cuyo lado es momentáneamente a ) es la cantidad que sale por los lados debido a la expansión del universo más la masa equivalente al trabajo realizado por la presión contra el material. siendo expulsado. Esta es la conservación de masa-energía ( primera ley de la termodinámica ) contenida dentro de una parte del universo.

La segunda ecuación dice que la energía cinética (vista desde el origen) de una partícula de masa unitaria que se mueve con la expansión más su energía potencial gravitacional (negativa) (en relación con la masa contenida en la esfera de materia más cercana al origen) es igual a una constante relacionada con la curvatura del universo. En otras palabras, la energía (relativa al origen) de una partícula en movimiento conjunto en caída libre se conserva. La relatividad general simplemente añade una conexión entre la curvatura espacial del universo y la energía de dicha partícula: la energía total positiva implica una curvatura negativa y la energía total negativa implica una curvatura positiva.

Se supone que el término constante cosmológica se trata como energía oscura y, por lo tanto, se fusiona con los términos de densidad y presión.

Durante la época de Planck , no se pueden descuidar los efectos cuánticos . Por tanto, pueden provocar una desviación de las ecuaciones de Friedmann.

Nombre e historia

El matemático soviético Alexander Friedmann obtuvo por primera vez los principales resultados del modelo FLRW en 1922 y 1924. ^{[12] [13]} Aunque la prestigiosa revista de física Zeitschrift für Physik publicó su trabajo, pasó relativamente desapercibido para sus contemporáneos. Friedmann estaba en comunicación directa con Albert Einstein , quien, en nombre de Zeitschrift für Physik , actuó como árbitro científico del trabajo de Friedmann. Finalmente, Einstein reconoció la exactitud de los cálculos de Friedmann, pero no supo apreciar el significado físico de sus predicciones.

Friedmann murió en 1925. En 1927, Georges Lemaître , un sacerdote belga, astrónomo y profesor periódico de física en la Universidad Católica de Lovaina , llegó de forma independiente a resultados similares a los de Friedmann y los publicó en los Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Anales de la Sociedad Científica de Bruselas). ^{[14] [15]} Frente a la evidencia observacional de la expansión del universo obtenida por Edwin Hubble a finales de la década de 1920, los resultados de Lemaître fueron notados en particular por Arthur Eddington , y en 1930-1931 el artículo de Lemaître fue traducido al inglés y publicado en Monthly Notices of the Royal Astronomical Society .

Howard P. Robertson, de Estados Unidos, y Arthur Geoffrey Walker, del Reino Unido, exploraron más a fondo el problema durante la década de 1930. ^{[16] [17] [18] [19]} En 1935, Robertson y Walker demostraron rigurosamente que la métrica FLRW es la única en un espacio-tiempo que es espacialmente homogénea e isotrópica (como se señaló anteriormente, este es un resultado geométrico y no está vinculado específicamente a las ecuaciones de la relatividad general, que siempre fueron asumidas por Friedmann y Lemaître).

Esta solución, a menudo llamada métrica de Robertson-Walker ya que demostraron sus propiedades genéricas, es diferente de los modelos dinámicos "Friedmann-Lemaître" , que son soluciones específicas para a ( t ) que suponen que las únicas contribuciones a la tensión-energía son el frío. materia ("polvo"), radiación y una constante cosmológica.

El radio del universo de Einstein.

El radio del universo de Einstein es el radio de curvatura del espacio del universo de Einstein , un modelo estático abandonado hace mucho tiempo que se suponía representaba nuestro universo en forma idealizada. Poniendo

${\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}$

en la ecuación de Friedmann, el radio de curvatura del espacio de este universo (radio de Einstein) es ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle R_{\text{E}}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }},}$

donde está la velocidad de la luz, es la constante de gravitación newtoniana y es la densidad del espacio de este universo. El valor numérico del radio de Einstein es del orden de 10 ¹⁰ años luz , o 10 mil millones de años luz. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

Estado actual

Problema no resuelto en física :

¿Es el universo homogéneo e isotrópico a escalas suficientemente grandes, como afirma el principio cosmológico y suponen todos los modelos que utilizan la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, incluida la versión actual de ΛCDM, o es el universo no homogéneo o anisotrópico? ^{[20] [21] [22]} ¿El dipolo CMB es puramente cinemático o indica una posible ruptura de la métrica FLRW? ^[20] Incluso si el principio cosmológico es correcto, ¿es válida la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en el universo tardío? ^{[20] [23]}

(más problemas sin resolver en física)

El modelo estándar actual de cosmología, el modelo Lambda-CDM , utiliza la métrica FLRW. Combinando los datos de observación de algunos experimentos como WMAP y Planck con los resultados teóricos del teorema de Ehlers-Geren-Sachs y su generalización, ^[24] los astrofísicos coinciden ahora en que el universo primitivo es casi homogéneo e isotrópico (cuando se promedia a una escala muy grande). ) y por lo tanto casi un espacio-tiempo FLRW. Dicho esto, los intentos de confirmar la interpretación puramente cinemática del dipolo del Fondo Cósmico de Microondas (CMB) a través de estudios de radiogalaxias ^[25] y cuásares ^[26] muestran desacuerdos en la magnitud. Tomadas al pie de la letra, estas observaciones están en desacuerdo con la descripción del Universo mediante la métrica FLRW. Además, se puede argumentar que existe un valor máximo para la constante de Hubble dentro de una cosmología FLRW tolerada por las observaciones actuales, km/s/Mpc, y dependiendo de cómo convergen las determinaciones locales, esto puede indicar una falla de la métrica FLRW en el universo tardío, lo que requiere una explicación más allá de la métrica FLRW. ^{[27] [20]} ${\displaystyle H_{0}=71\pm 1}$

Referencias

1. Para una referencia temprana, consulte Robertson (1935); Robertson supone una conectividad múltiple en el caso de la curvatura positiva y dice que "todavía somos libres de restaurar" la conectividad simple.
2. M. Lachieze-Rey; J.-P. Luminet (1995), "Topología cósmica", Physics Reports , 254 (3): 135–214, arXiv : gr-qc/9605010 , Bibcode :1995PhR...254..135L, doi :10.1016/0370-1573(94 )00085-H, S2CID  119500217
3. TFG Ellis; H. van Elst (1999). "Modelos cosmológicos (conferencias Cargèse 1998)". En Marc Lachièze-Rey (ed.). Cosmología Teórica y Observacional . Serie Científica de la OTAN C. Vol. 541, págs. 1-116. arXiv : gr-qc/9812046 . Código Bib : 1999ASIC..541....1E. ISBN 978-0792359463.
4. L. Bergström, A. Goobar (2006), Cosmología y astrofísica de partículas (2ª ed.), Sprint , p. 61, ISBN 978-3-540-32924-4
5. Bosque, Robert. Relatividad general . pag. 116.
6. Carroll, Sean. Espaciotiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . págs. 329–333.
7. Bosque, Robert. Relatividad general . pag. 97.
8. "Cosmología" (PDF) . pag. 23.
9. P. Ojeda y H. Rosu (2006), "Supersimetría de cosmologías barotrópicas FRW", Revista Internacional de Física Teórica , 45 (6): 1191–1196, arXiv : gr-qc/0510004 , Bibcode : 2006IJTP...45.1152 R, doi :10.1007/s10773-006-9123-2, S2CID  119496918
10. Sus soluciones se pueden encontrar en Rosu, Haret C.; Mancas, Carolina del Sur; Chen, Pisin (5 de mayo de 2015). "Cosmologías barotrópicas FRW con amortiguación de Chiellini en tiempo de movimiento". Letras de Física Moderna A. 30 (20): 1550100. arXiv : 1502.07033 . Código Bib : 2015MPLA...3050100R. doi :10.1142/S021773231550100x. ISSN  0217-7323. S2CID  51948117.
11. McCrea, WH; Milne, EA (1934). "Universos newtonianos y la curvatura del espacio". Revista Trimestral de Matemáticas . 5 : 73–80. Código Bib : 1934QJMat...5...73M. doi :10.1093/qmath/os-5.1.73.
12. Friedmann, Alexander (1922), "Über die Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A , 10 (1): 377–386, Bibcode :1922ZPhy...10..377F, doi :10.1007/BF01332580, S2CID  125190902
13. Friedmann, Alexander (1924), "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativor Krümmung des Raumes", Zeitschrift für Physik A , 21 (1): 326–332, Bibcode :1924ZPhy...21..326F, doi :10.1007 /BF01328280, S2CID  120551579Traducción inglesa. en 'Relatividad general y gravitación' 1999 vol.31, 31–
14. Lemaître, Georges (1931), "Expansión del universo, un universo homogéneo de masa constante y radio creciente que explica la velocidad radial de las nebulosas extragalácticas", Avisos mensuales de la Royal Astronomical Society , 91 (5): 483– 490, código bibliográfico : 1931MNRAS..91..483L, doi : 10.1093/mnras/91.5.483 traducido de Lemaître, Georges (1927), "Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A47 : 49–56, Bibcode :1927ASSB ...47...49L
15. Lemaître, Georges (1933), "l'Univers en expansion", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , A53 : 51–85, Bibcode : 1933ASSB...53...51L
16. Robertson, HP (1935), "Cinemática y estructura mundial", Astrophysical Journal , 82 : 284–301, Bibcode : 1935ApJ....82..284R, doi : 10.1086/143681
17. Robertson, HP (1936), "Cinemática y estructura mundial II", Astrophysical Journal , 83 : 187–201, Bibcode : 1936ApJ....83..187R, doi : 10.1086/143716
18. Robertson, HP (1936), "Cinemática y estructura mundial III", Astrophysical Journal , 83 : 257–271, Bibcode : 1936ApJ....83..257R, doi : 10.1086/143726
19. Walker, AG (1937), "Sobre la teoría de la estructura mundial de Milne", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Serie 2, 42 (1): 90–127, Bibcode :1937PLMS...42...90W, doi :10.1112/plms/s2-42.1.90
20. Elcio Abdalla; Guillermo Franco Abellán; et al. (11 de marzo de 2022), "Cosmología entrelazada: una revisión de la física de partículas, la astrofísica y la cosmología asociadas con las tensiones y anomalías cosmológicas", Journal of High Energy Astrophysics , 34 : 49, arXiv : 2203.06142v1 , Bibcode : 2022JHEAp.. 34...49A, doi :10.1016/j.jheap.2022.04.002, S2CID  247411131
21. Lee Billings (15 de abril de 2020). "¿Vivimos en un universo torcido?". Científico americano . Consultado el 24 de marzo de 2022 .
22. Migkas, K.; Schellenberger, G.; Reiprich, TH; Pacaud, F.; Ramos-Ceja, ME; Lovisari, L. (8 de abril de 2020). "Sondeo de la isotropía cósmica con una nueva muestra de cúmulo de galaxias de rayos X a través de la relación de escala LX-T". Astronomía y Astrofísica . 636 (abril de 2020): 42. arXiv : 2004.03305 . Código Bib : 2020A&A...636A..15M. doi :10.1051/0004-6361/201936602. S2CID  215238834 . Consultado el 24 de marzo de 2022 .
23. Krishnan, Chethan; Mohayaee, Roya; Colgáin, Eoin Ó; Sheikh-Jabbari, MM; Yin, Lu (16 de septiembre de 2021). "¿La tensión del Hubble indica una ruptura en la cosmología FLRW?". Gravedad clásica y cuántica . 38 (18): 184001. arXiv : 2105.09790 . Código Bib : 2021CQGra..38r4001K. doi :10.1088/1361-6382/ac1a81. ISSN  0264-9381. S2CID  234790314.
24. Véanse las págs. 351 y siguientes. en Hawking, Stephen W.; Ellis, George FR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09906-6. El trabajo original es Ehlers, J., Geren, P., Sachs, RK: Soluciones isotrópicas de ecuaciones de Einstein-Liouville. J. Matemáticas. Física. 9, 1344 (1968). Para la generalización, véase Stoeger, WR; Maartens, R; Ellis, George (2007), "Demostración de la casi homogeneidad del universo: un teorema de casi Ehlers-Geren-Sachs", Astrophis. J. , 39 : 1–5, Bibcode : 1995ApJ...443....1S, doi : 10.1086/175496.
25. Véase Siewert et al. para un resumen reciente de los resultados Siewert, Thilo M.; Schmidt-Rubart, Matías; Schwarz, Dominik J. (2021). "Radiodipolo cósmico: estimadores y dependencia de la frecuencia". Astronomía y Astrofísica . 653 : A9. arXiv : 2010.08366 . Código Bib : 2021A&A...653A...9S. doi :10.1051/0004-6361/202039840. S2CID  223953708.
26. Secrest, Nathan J.; Hausegger, Sebastián von; Ramíz, Mohamed; Mohayaee, Roya; Sarkar, Subir; Colin, Jacques (25 de febrero de 2021). "Una prueba del principio cosmológico con cuásares". La revista astrofísica . 908 (2): L51. arXiv : 2009.14826 . Código Bib : 2021ApJ...908L..51S. doi : 10.3847/2041-8213/abdd40 . S2CID  222066749.
27. Krishnan, Chethan; Mohayaee, Roya; Ó Colgáin, Eoin; Sheikh-Jabbari, MM; Yin, Lu (25 de mayo de 2021). "¿La tensión del Hubble indica una ruptura en la cosmología FLRW?". Gravedad clásica y cuántica . 38 (18): 184001. arXiv : 2105.09790 . Código Bib : 2021CQGra..38r4001K. doi :10.1088/1361-6382/ac1a81. S2CID  234790314.

Otras lecturas

• North JD: (1965) La medida del universo: una historia de la cosmología moderna , Universidad de Oxford. Prensa, reimpresión de Dover 1990, ISBN 0-486-66517-8 
• Harrison, ER (1967), "Clasificación de modelos cosmológicos uniformes", Monthly Notices of the Royal Astronomical Society , 137 : 69–79, Bibcode : 1967MNRAS.137...69H, doi : 10.1093/mnras/137.1.69
• d'Inverno, Ray (1992), Introducción a la relatividad de Einstein , Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8. (Consulte el Capítulo 23 para obtener una introducción particularmente clara y concisa a los modelos FLRW).