Grupoide

Categoría donde todo morfismo es invertible; generalización de un grupo

En matemáticas , especialmente en teoría de categorías y teoría de homotopía , un grupoide (menos frecuentemente llamado grupoide de Brandt o grupo virtual ) generaliza la noción de grupo de varias maneras equivalentes. Un grupoide puede verse como:

• Grupo con una función parcial que reemplaza la operación binaria ;
• Categoría en la que todo morfismo es invertible. Una categoría de este tipo puede considerarse aumentada con una operación unaria sobre los morfismos, llamada inversa por analogía con la teoría de grupos . ^[1] Un grupoide en el que sólo hay un objeto es un grupo habitual.

En presencia de tipado dependiente , una categoría en general puede verse como un monoide tipado y, de manera similar, un grupoide puede verse simplemente como un grupo tipado. Los morfismos llevan uno de un objeto a otro y forman una familia dependiente de tipos, por lo que los morfismos podrían tipificarse , por ejemplo. La composición es entonces una función total: , de modo que . ${\displaystyle g:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle h:B\rightarrow C}$ ${\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C}$ ${\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C}$

Los casos especiales incluyen:

• Setoides : conjuntos que vienen con una relación de equivalencia ,
• Conjuntos G : conjuntos dotados de una acción de un grupo. ${\displaystyle G}$

Los grupoides se utilizan a menudo para razonar sobre objetos geométricos como las variedades . Heinrich Brandt  (1927) introdujo los grupoides de forma implícita a través de los semigrupos de Brandt . ^[2]

Definiciones

Algebraico

Un grupoide puede considerarse como una estructura algebraica que consiste en un conjunto con una función parcial binaria ^{[ cita requerida ]} . Precisamente, es un conjunto no vacío con una operación unaria y una función parcial . Aquí * no es una operación binaria porque no está necesariamente definida para todos los pares de elementos de . Las condiciones precisas bajo las cuales está definido no se articulan aquí y varían según la situación. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{-1}:G\to G,}$ ${\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle *}$

Las operaciones y ⁻¹ tienen las siguientes propiedades axiomáticas: Para todo , , y en , ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

1. Asociatividad : siyestán definidos, entoncesyestán definidos y son iguales. Por el contrario, si uno deoestá definido, entonces ambos están definidos (y son iguales entre sí), yytambién están definidos. ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle b*c}$ ${\displaystyle (a*b)*c}$ ${\displaystyle a*(b*c)}$ ${\displaystyle (a*b)*c}$ ${\displaystyle a*(b*c)}$ ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle b*c}$
2. Inversa :ysiempre están definidos. ${\displaystyle a^{-1}*a}$ ${\displaystyle a*{a^{-1}}}$
3. Identidad : Siestá definida, entonces, y. (Los dos axiomas anteriores ya muestran que estas expresiones están definidas y no son ambiguas). ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a}$ ${\displaystyle {a^{-1}}*a*b=b}$

De estos axiomas se desprenden dos propiedades fáciles y convenientes:

• ${\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a}$,
• Si está definido, entonces . ^[3] ${\displaystyle a*b}$ ${\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$

Teoría de categorías

Un grupoide es una categoría pequeña en la que cada morfismo es un isomorfismo , es decir, invertible. ^[1] Más explícitamente, un grupoide G es un conjunto G ₀ de objetos con

• para cada par de objetos x e y un conjunto (posiblemente vacío) G ( x , y ) de morfismos (o flechas ) de x a y ; escribimos f  : x → y para indicar que f es un elemento de G ( x , y );
• para cada objeto x un elemento designado de G ( x , x ); ${\displaystyle \mathrm {id} _{x}}$
• para cada triple de objetos x , y y z una función ; ${\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf}$
• para cada par de objetos x , y una función que satisface, para cualquier f  : x → y , g  : y → z , y h  : z → w : ${\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1}}$
  • ${\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f}$y ; ${\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f}$
  • ${\displaystyle (hg)f=h(gf)}$;
  • ${\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}}$y . ${\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}}$

Si f es un elemento de G ( x , y ) entonces x se llama la fuente de f , escrita s ( f ), e y se llama el objetivo de f , escrita t ( f ).

Un grupoide G a veces se denota como , donde es el conjunto de todos los morfismos y las dos flechas representan la fuente y el destino. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}\to G_{0}}$

De manera más general, se puede considerar un objeto grupoide en una categoría arbitraria que admita productos de fibra finitos.

Comparando las definiciones

Las definiciones algebraicas y de teoría de categorías son equivalentes, como mostramos ahora. Dado un grupoide en el sentido de la teoría de categorías, sea G la unión disjunta de todos los conjuntos G ( x , y ) (es decir, los conjuntos de morfismos de x a y ). Entonces y se convierten en operaciones parciales sobre G , y de hecho estarán definidas en todas partes. Definimos ∗ como y ⁻¹ como , lo que da un grupoide en el sentido algebraico. La referencia explícita a G ₀ (y, por lo tanto, a ) se puede descartar. ${\displaystyle \mathrm {comp} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {comp} }$ ${\displaystyle \mathrm {inv} }$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$

Por el contrario, dado un grupoide G en sentido algebraico, definamos una relación de equivalencia sobre sus elementos por si y solo si a ∗ a ⁻¹ = b ∗ b ⁻¹ . Sea G ₀ el conjunto de clases de equivalencia de , es decir . Denotemos a ∗ a ⁻¹ por si con . ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\sim b}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim }$ ${\displaystyle 1_{x}}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$

Ahora definamos como el conjunto de todos los elementos f tales que existe. Dados y su compuesto se define como . Para ver que esto está bien definido, observemos que como y existen, también lo hace . El morfismo identidad en x es entonces , y el inverso de f en teoría de categorías es f ⁻¹ . ${\displaystyle G(x,y)}$ ${\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}}$ ${\displaystyle f\in G(x,y)}$ ${\displaystyle g\in G(y,z),}$ ${\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z)}$ ${\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}}$ ${\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})}$ ${\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g}$ ${\displaystyle 1_{x}}$

Los conjuntos en las definiciones anteriores pueden reemplazarse con clases , como suele ser el caso en la teoría de categorías.

Grupos de vértices y órbitas

Dado un grupoide G , los grupos de vértices o grupos de isotropía o grupos de objetos en G son los subconjuntos de la forma G ( x , x ), donde x es cualquier objeto de G . Se deduce fácilmente de los axiomas anteriores que estos son de hecho grupos, ya que cada par de elementos es componible y los inversos están en el mismo grupo de vértices.

La órbita de un grupoide G en un punto está dada por el conjunto que contiene cada punto que puede unirse a x por un morfismo en G. Si dos puntos y están en las mismas órbitas, sus grupos de vértices y son isomorfos : si es cualquier morfismo de a , entonces el isomorfismo está dado por la aplicación . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle G(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g\to fgf^{-1}}$

Las órbitas forman una partición del conjunto X, y un grupoide se llama transitivo si tiene una sola órbita (equivalentemente, si está conectado como una categoría). En ese caso, todos los grupos de vértices son isomorfos (por otra parte, esta no es una condición suficiente para la transitividad; véase la sección siguiente para ver contraejemplos).

Subgrupoides y morfismos

Un subgrupoide de es una subcategoría que es en sí misma un grupoide. Se denomina amplio o completo si es amplio o completo como subcategoría, es decir, respectivamente, si o para cada . ${\displaystyle G\rightrightarrows X}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows Y}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle G(x,y)=H(x,y)}$ ${\displaystyle x,y\in Y}$

Un morfismo grupoide es simplemente un funtor entre dos grupoides (teóricos de categorías).

Existen tipos particulares de morfismos de grupoides que resultan de interés. Un morfismo de grupoides se denomina fibración si para cada objeto de y cada morfismo de que comienza en hay un morfismo de que comienza en tal que . Una fibración se denomina morfismo de recubrimiento o recubrimiento de grupoides si además dicho es único. Los morfismos de recubrimiento de grupoides son especialmente útiles porque se pueden utilizar para modelar mapas de recubrimiento de espacios. ^[4] ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(e)=b}$ ${\displaystyle e}$

También es cierto que la categoría de morfismos de recubrimiento de un grupoide dado es equivalente a la categoría de acciones del grupoide sobre conjuntos. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Ejemplos

Topología

Dado un espacio topológico , sea el conjunto . Los morfismos del punto al punto son clases de equivalencia de caminos continuos de a , siendo dos caminos equivalentes si son homotópicos . Dos de estos morfismos se componen siguiendo primero el primer camino, luego el segundo; la equivalencia de homotopía garantiza que esta composición sea asociativa . Este grupoide se llama grupoide fundamental de , denotado (o a veces, ). ^[5] El grupo fundamental habitual es entonces el grupo de vértices para el punto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle x}$

Las órbitas del grupoide fundamental son los componentes conexos de . En consecuencia, el grupoide fundamental de un espacio conexo es transitivo y recuperamos el hecho conocido de que los grupos fundamentales en cualquier punto base son isomorfos. Además, en este caso, el grupoide fundamental y los grupos fundamentales son equivalentes como categorías (consulte la sección siguiente para la teoría general). ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$

Una extensión importante de esta idea es considerar el grupoide fundamental donde es un conjunto elegido de "puntos base". Aquí hay un subgrupoide (amplio) de , donde se consideran solo los caminos cuyos puntos finales pertenecen a . El conjunto puede elegirse según la geometría de la situación en cuestión. ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X,A)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Relación de equivalencia

Si es un setoide , es decir, un conjunto con una relación de equivalencia , entonces un grupoide que "representa" esta relación de equivalencia se puede formar de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$

• Los objetos del grupoide son los elementos de ; ${\displaystyle X}$
• Para cualesquiera dos elementos y en , existe un único morfismo de a (denotado por ) si y sólo si ; ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (y,x)}$ ${\displaystyle x\sim y}$
• La composición de y es . ${\displaystyle (z,y)}$ ${\displaystyle (y,x)}$ ${\displaystyle (z,x)}$

Los grupos de vértices de este grupoide son siempre triviales; además, este grupoide en general no es transitivo y sus órbitas son precisamente las clases de equivalencia. Hay dos ejemplos extremos:

• Si cada elemento de está en relación con cada otro elemento de , obtenemos el grupoide de pares de , que tiene todo el conjunto de flechas y que es transitivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times X}$
• Si cada elemento de está sólo en relación consigo mismo, se obtiene el grupoide unidad , que tiene como conjunto de flechas, , y que es completamente intransitivo (cada singleton es una órbita). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s=t=id_{X}}$ ${\displaystyle \{x\}}$

Ejemplos

• Si es una inmersión sobreyectiva suave de variedades suaves , entonces es una relación de equivalencia ^[6] ya que tiene una topología isomorfa a la topología cociente de bajo la función sobreyectiva de espacios topológicos. Si escribimos, entonces obtenemos un grupoide ${\displaystyle f:X_{0}\to Y}$ ${\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}}$

  ${\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

  que a veces se denomina el grupoide banal de una inmersión sobreyectiva de variedades suaves.
• Si relajamos el requisito de reflexividad y consideramos relaciones de equivalencia parcial , entonces se hace posible considerar nociones semidecidibles de equivalencia en realizadores computables para conjuntos. Esto permite que los grupoides se utilicen como una aproximación computable a la teoría de conjuntos, llamados modelos PER . Considerados como una categoría, los modelos PER son una categoría cartesiana cerrada con números naturales como clasificador de objetos y subobjetos, dando lugar al topos efectivo introducido por Martin Hyland .

Grupoide chino

Un grupoide de Čech ^{[6] p. 5} es un tipo especial de grupoide asociado a una relación de equivalencia dada por una cubierta abierta de alguna variedad . Sus objetos están dados por la unión disjunta ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}$,

y sus flechas son las intersecciones

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}}$.

Los mapas de origen y destino se dan entonces mediante los mapas inducidos.

${\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}$

y el mapa de inclusión

${\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}$

dando la estructura de un grupoide. De hecho, esto se puede ampliar aún más estableciendo

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}$

como el producto de fibra iterado donde representa -tuplas de flechas componibles. El mapa de estructura del producto de fibra es implícitamente el mapa de destino, ya que ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}$

es un diagrama cartesiano donde las funciones to son las funciones target. Esta construcción puede verse como un modelo para algunos ∞-grupoides . Además, otro artefacto de esta construcción son los k-cociclos. ${\displaystyle U_{i}}$

${\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}$

para un haz constante de grupos abelianos se puede representar como una función

${\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}$

dando una representación explícita de las clases de cohomología.

Acción grupal

Si el grupo actúa sobre el conjunto , entonces podemos formar el grupoide de acción (o grupoide de transformación ) que representa esta acción del grupo de la siguiente manera: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• Los objetos son los elementos de ; ${\displaystyle X}$
• Para cualesquiera dos elementos y en , los morfismos de a corresponden a los elementos de tales que ; ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gx=y}$
• La composición de morfismos interpreta la operación binaria de . ${\displaystyle G}$

Más explícitamente, el grupoide de acción es una categoría pequeña con y y con mapas de origen y destino y . A menudo se denota (o para una acción correcta). La multiplicación (o composición) en el grupoide es entonces la cual se define siempre que . ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X}$ ${\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X}$ ${\displaystyle s(g,x)=x}$ ${\displaystyle t(g,x)=gx}$ ${\displaystyle G\ltimes X}$ ${\displaystyle X\rtimes G}$ ${\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)}$ ${\displaystyle y=gx}$

En , el grupo de vértices está formado por aquellos con , que es simplemente el subgrupo de isotropía en para la acción dada (razón por la cual los grupos de vértices también se denominan grupos de isotropía). De manera similar, las órbitas del grupoide de acción son la órbita de la acción del grupo, y el grupoide es transitivo si y solo si la acción del grupo es transitiva . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (g,x)}$ ${\displaystyle gx=x}$ ${\displaystyle x}$

Otra forma de describir los -conjuntos es la categoría del funtor , donde es el grupoide (categoría) con un elemento e isomorfo al grupo . De hecho, cada funtor de esta categoría define un conjunto y para cada en (es decir, para cada morfismo en ) induce una biyección  : . La estructura categórica del funtor nos asegura que define una -acción sobre el conjunto . El funtor representable (único)  : es la representación de Cayley de . De hecho, este funtor es isomorfo a y, por lo tanto, envía al conjunto que es por definición el "conjunto" y el morfismo de (es decir, el elemento de ) a la permutación del conjunto . Deducimos de la incrustación de Yoneda que el grupo es isomorfo al grupo , un subgrupo del grupo de permutaciones de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle F_{g}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)}$ ${\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {Gr} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F_{g}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}}$ ${\displaystyle G}$

Conjunto finito

Considérese la acción grupal de sobre el conjunto finito que lleva cada número a su negativo, por lo que y . El grupoide cociente es el conjunto de clases de equivalencia de esta acción grupal y tiene una acción grupal de sobre él. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}}$ ${\displaystyle -2\mapsto 2}$ ${\displaystyle 1\mapsto -1}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle \{[0],[1],[2]\}}$ ${\displaystyle [0]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Variedad de cociente

Cualquier grupo finito que se mapea a da una acción de grupo en el espacio afín (ya que este es el grupo de automorfismos). Entonces, un grupoide cociente puede ser de la forma , que tiene un punto con estabilizador en el origen. Ejemplos como estos forman la base para la teoría de orbifolds . Otra familia de orbifolds estudiada comúnmente son los espacios proyectivos ponderados y los subespacios de ellos, como los orbifolds de Calabi-Yau . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})}$

Producto de fibra de grupoides

Dado un diagrama de grupoides con morfismos de grupoides

${\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}$

donde y , podemos formar el grupoide cuyos objetos son triples , donde , , y en . Los morfismos se pueden definir como un par de morfismos donde y tales que para triples , hay un diagrama conmutativo en de , y el . ^[7] ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ ${\displaystyle (x,\phi ,y)}$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X)}$ ${\displaystyle y\in {\text{Ob}}(Y)}$ ${\displaystyle \phi :f(x)\to g(y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x'}$ ${\displaystyle \beta :y\to y'}$ ${\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y')}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x')}$ ${\displaystyle g(\beta ):g(y)\to g(y')}$ ${\displaystyle \phi ,\phi '}$

Álgebra homológica

Un complejo de dos términos

${\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}$

de objetos en una categoría abeliana concreta se puede utilizar para formar un grupoide. Tiene como objetos el conjunto y como flechas el conjunto ; el morfismo de origen es simplemente la proyección sobre mientras que el morfismo de destino es la suma de la proyección sobre compuesta con y la proyección sobre . Es decir, dado , tenemos ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}}$

${\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}$

Por supuesto, si la categoría abeliana es la categoría de haces coherentes en un esquema, entonces esta construcción se puede utilizar para formar un prehaz de grupoides.

Rompecabezas

Si bien los rompecabezas como el Cubo de Rubik se pueden modelar utilizando la teoría de grupos (ver Grupo del Cubo de Rubik ), ciertos rompecabezas se modelan mejor como grupoides. ^[8]

Las transformaciones del rompecabezas de los quince forman un grupoide (no un grupo, ya que no todos los movimientos pueden ser compuestos). ^{[9] [10] [11]} Este grupoide actúa sobre las configuraciones.

Grupoide de Mathieu

El grupoide de Mathieu es un grupooide introducido por John Horton Conway que actúa sobre 13 puntos de manera que los elementos que fijan un punto forman una copia del grupo de Mathieu M ₁₂ .

Relación con los grupos

Si un grupoide tiene un solo objeto, entonces el conjunto de sus morfismos forma un grupo . Usando la definición algebraica, tal grupoide es literalmente solo un grupo. ^[12] Muchos conceptos de la teoría de grupos se generalizan a los grupoides, con la noción de funtor reemplazando a la de homomorfismo de grupo .

Todo grupoide transitivo/conexo (es decir, como se explicó anteriormente, uno en el que dos objetos cualesquiera están conectados por al menos un morfismo) es isomorfo a un grupoide de acción (como se definió anteriormente) . Por transitividad, solo habrá una órbita bajo la acción. ${\displaystyle (G,X)}$

Obsérvese que el isomorfismo que acabamos de mencionar no es único y no existe una elección natural . Elegir un isomorfismo de este tipo para un grupoide transitivo equivale esencialmente a elegir un objeto , un isomorfismo de grupo de a , y para cada uno de los demás que , un morfismo en de a . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle G(x_{0})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x}$

Si un grupoide no es transitivo, entonces es isomorfo a una unión disjunta de grupoides del tipo anterior, también llamados sus componentes conexos (posiblemente con diferentes grupos y conjuntos para cada componente conexo). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

En términos de teoría de categorías, cada componente conectado de un grupoide es equivalente (pero no isomorfo ) a un grupoide con un único objeto, es decir, un único grupo. Por lo tanto, cualquier grupoide es equivalente a un multiconjunto de grupos no relacionados. En otras palabras, para la equivalencia en lugar del isomorfismo, no es necesario especificar los conjuntos , sino solo los grupos. Por ejemplo, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G.}$

• El grupoide fundamental de es equivalente a la colección de los grupos fundamentales de cada componente conexo por trayectorias de , pero un isomorfismo requiere especificar el conjunto de puntos en cada componente; ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El conjunto con la relación de equivalencia es equivalente (como un grupoide) a una copia del grupo trivial para cada clase de equivalencia , pero un isomorfismo requiere especificar qué es cada clase de equivalencia: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sim }$
• El conjunto equipado con una acción del grupo es equivalente (como un grupoide) a una copia de para cada órbita de la acción, pero un isomorfismo requiere especificar qué conjunto es cada órbita. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

El colapso de un grupoide en una mera colección de grupos pierde algo de información, incluso desde un punto de vista de la teoría de categorías, porque no es natural . Por lo tanto, cuando los grupoides surgen en términos de otras estructuras, como en los ejemplos anteriores, puede ser útil mantener el grupoide completo. De lo contrario, uno debe elegir una forma de ver cada uno en términos de un solo grupo, y esta elección puede ser arbitraria. En el ejemplo de topología , uno tendría que hacer una elección coherente de caminos (o clases de equivalencia de caminos) desde cada punto a cada punto en el mismo componente conectado por caminos. ${\displaystyle G(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Como ejemplo más ilustrativo, la clasificación de los grupoides con un endomorfismo no se reduce a consideraciones puramente teóricas de grupos. Esto es análogo al hecho de que la clasificación de los espacios vectoriales con un endomorfismo no es trivial.

Los morfismos de grupoides son de más tipos que los de grupos: tenemos, por ejemplo, fibraciones , morfismos de recubrimiento, morfismos universales y morfismos de cociente. Por lo tanto, un subgrupo de un grupo produce una acción de sobre el conjunto de clases laterales de en y, por lo tanto, un morfismo de recubrimiento de, por ejemplo, a , donde es un grupoide con grupos de vértices isomorfos a . De esta manera, las presentaciones del grupo se pueden "elevar" a presentaciones del grupoide , y esta es una forma útil de obtener información sobre las presentaciones del subgrupo . Para obtener más información, consulte los libros de Higgins y de Brown en las Referencias. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$

Categoría de grupoides

La categoría cuyos objetos son grupoides y cuyos morfismos son morfismos de grupoide se denomina categoría de grupoide o categoría de grupoides y se denota por Grpd .

La categoría Grpd es, como la categoría de categorías pequeñas, cartesianamente cerrada : para cualquier grupoide podemos construir un grupoide cuyos objetos son los morfismos y cuyas flechas son las equivalencias naturales de los morfismos. Así, si son simplemente grupos, entonces dichas flechas son las conjugaciones de los morfismos. El resultado principal es que para cualquier grupoide hay una biyección natural . ${\displaystyle H,K}$ ${\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)}$ ${\displaystyle H\to K}$ ${\displaystyle H,K}$ ${\displaystyle G,H,K}$

${\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).}$

Este resultado es de interés incluso si todos los grupoides son simplemente grupos. ${\displaystyle G,H,K}$

Otra propiedad importante de Grpd es que es a la vez completo y co-completo .

Relación conGato

La inclusión tiene un adjunto izquierdo y uno derecho : ${\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} }$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}$

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}$

Aquí, denota la localización de una categoría que invierte cada morfismo y denota la subcategoría de todos los isomorfismos. ${\displaystyle C[C^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathrm {Core} (C)}$

Relación conConjunto

El funtor de nervio incorpora Grpd como una subcategoría completa de la categoría de conjuntos simpliciales. El nervio de un grupoide es siempre un complejo Kan . ${\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} }$

El nervio tiene un adjunto izquierdo

${\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}$

Aquí, denota el grupoide fundamental del conjunto simplicial X. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Grupoides en Grpd

Existe una estructura adicional que se puede derivar de los grupoides internos a la categoría de grupoides, los grupoides dobles . ^{[13] [14]} Debido a que Grpd es una categoría 2, estos objetos forman una categoría 2 en lugar de una categoría 1, ya que existe una estructura adicional. Básicamente, estos son grupoides con funtores . ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}}$

${\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}$

y una incrustación dada por un funtor de identidad

${\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}$

Una forma de pensar en estos 2-grupoides es que contienen objetos, morfismos y cuadrados que pueden componerse juntos vertical y horizontalmente. Por ejemplo, dados los cuadrados

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}}$y ${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

con el mismo morfismo, se pueden unir verticalmente dando un diagrama ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}$

que se puede convertir en otro cuadrado mediante la composición de las flechas verticales. Existe una ley de composición similar para las uniones horizontales de cuadrados.

Grupoides con estructuras geométricas

Al estudiar objetos geométricos, los grupoides resultantes suelen tener una topología que los convierte en grupoides topológicos , o incluso alguna estructura diferenciable que los convierte en grupoides de Lie . Estos últimos objetos también pueden estudiarse en términos de sus álgebroides de Lie asociados , en analogía con la relación entre grupos de Lie y álgebras de Lie .

Los grupoides que surgen de la geometría a menudo poseen estructuras adicionales que interactúan con la multiplicación de grupoides. Por ejemplo, en la geometría de Poisson se tiene la noción de grupoide simpléctico , que es un grupoide de Lie dotado de una forma simpléctica compatible . De manera similar, se pueden tener grupoides con una métrica de Riemann compatible , o una estructura compleja , etc.

Véase también

• ∞-grupoide
• 2 grupos
• Teoría de tipos de homotopía
• Categoría inversa
• Álgebra grupoide (que no debe confundirse con el grupoide algebraico)
• R-algebroide

Notas

1. Dicks & Ventura (1996). El grupo fijado por una familia de endomorfismos inyectivos de un grupo libre. p. 6.
2. "Semigrupo Brandt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994], ISBN 1-4020-0609-8
3. Demostración de la primera propiedad: de 2. y 3. obtenemos a ⁻¹ = a ⁻¹ * a * a ⁻¹ y ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * ( a ⁻¹ ) ⁻¹ . Sustituyendo la primera en la segunda y aplicando 3. dos veces más obtenemos ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * a * a ⁻¹ * ( a ⁻¹ ) ⁻¹ = ( a ⁻¹ ) ⁻¹ * a ⁻¹ * a = a . ✓
   Demostración de la segunda propiedad: como a * b está definido, también lo está ( a * b ) ⁻¹ * a * b . Por lo tanto ( a * b ) ⁻¹ * a * b * b ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a también está definido. Además, dado que a * b está definido, también a * b * b ⁻¹ = a . Por lo tanto, a * b * b ⁻¹ * a ⁻¹ también está definido. De 3. obtenemos ( a * b ) ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a * a ⁻¹ = ( a * b ) ⁻¹ * a * b * b ⁻¹ * a ⁻¹ = b ⁻¹ * a ⁻¹ . ✓
4. JP May, Un curso conciso de topología algebraica , 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 ( véase el capítulo 2 ) 
5. "Grupoide fundamental en nLab". ncatlab.org . Consultado el 17 de septiembre de 2017 .
6. Block, Jonathan; Daenzer, Calder (9 de enero de 2009). "Dualidad de Mukai para gerbes con conexión". arXiv : 0803.1529 [math.QA].
7. "Localización e invariantes de Gromov-Witten" (PDF) . pág. 9. Archivado (PDF) desde el original el 12 de febrero de 2020.
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12. A veces, la asignación de un grupo al grupoide correspondiente con un objeto se denomina desbucle, especialmente en el contexto de la teoría de homotopía ; consulte "desbucle en nLab". ncatlab.org . Consultado el 31 de octubre de 2017 ..
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• grupoide fundamental en el laboratorio n
• núcleo en el laboratorio n