R-algebroide

En matemáticas , los R-algebroides se construyen a partir de grupoides . Estos son conceptos más abstractos que los álgebroides de Lie , que desempeñan un papel similar en la teoría de grupoides de Lie al de las álgebras de Lie en la teoría de grupos de Lie . (Por lo tanto, un álgebroide de Lie puede considerarse como "un álgebra de Lie con muchos objetos ").

Definición

Un R-algebroide , , se construye a partir de un grupoide de la siguiente manera. El conjunto de objetos de es el mismo que el de y es el R-módulo libre en el conjunto , con composición dada por la regla bilineal habitual, que extiende la composición de . ^[1] ${\displaystyle R{\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle R{\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle R{\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$

Categoría R

Un grupoide puede considerarse como una categoría con morfismos invertibles. En este caso, una R-categoría se define como una extensión del concepto de R -algebroide, reemplazando el grupoide en esta construcción por una categoría general C que no tiene todos los morfismos invertibles. ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}}$

R-algebroidesa través deproductos de convolución

También se puede definir el R-algebroide , , como el conjunto de funciones con soporte finito , y con el producto de convolución definido de la siguiente manera: . ^[2] ${\displaystyle {\bar {R}}{\mathsf {G}}:=R{\mathsf {G}}(b,c)}$ ${\displaystyle {\mathsf {G}}(b,c){\longrightarrow }R}$ ${\displaystyle \displaystyle (f*g)(z)=\sum \{(fx)(gy)\mid z=x\circ y\}}$

Sólo esta segunda construcción es natural para el caso topológico, cuando se necesita sustituir ' función ' por ' función continua con soporte compacto ', y en este caso . ${\displaystyle R\cong \mathbb {C} }$

Ejemplos

• Toda álgebra de Lie es un algebroide de Lie sobre la variedad de un punto .
• El algebroide de Lie asociado a un grupooide de Lie .

Véase también

• Categoría algebraica
• Algebroid (desambiguación)
• Biálgebra
• Bicategoría
• Producto de convolución
• Módulo cruzado
• Doble grupoide
• Álgebra de dimensiones superiores
• Álgebra de Hopf
• Módulo (matemáticas)
• Anillo (matemáticas)

Referencias

1. Mosa 1986
2. Brown y Mosa 1986

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Fuentes

• Brown, R. ; Mosa, GH (1986). "Algebroides dobles y módulos cruzados de algebroides". Preimpresión de matemáticas . Universidad de Gales-Bangor.
• Mosa, GH (1986). Algebroides de dimensiones superiores y complejos cruzados (PhD). Universidad de Gales. uk.bl.ethos.815719.
• Mackenzie, Kirill CH (1987). Grupoides de Lie y álgebroides de Lie en geometría diferencial. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 124. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-34882-9.
• Mackenzie, Kirill CH (2005). Teoría general de los grupoides de Lie y los álgebroides de Lie. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 213. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-49928-6.
• Marle, Charles-Michel (2002). "Cálculo diferencial en un algebroide de Lie y variedades de Poisson". arXiv : 0804.2451 [math.DG].
• Weinstein, Alan (1996). "Grupoides: unificación de la simetría interna y externa". AMS Notices . 43 : 744–752. arXiv : math/9602220 . Bibcode :1996math......2220W. CiteSeerX  10.1.1.29.5422 .