Doble grupoide

En matemáticas , especialmente en álgebra de dimensiones superiores y teoría de homotopía , un grupoide doble generaliza la noción de grupoide y de categoría a una dimensión superior.

Definición

Un grupoide doble D es un grupoide de dimensión superior que implica una relación tanto para estructuras de grupoide "horizontales" como "verticales". ^[1] (Un grupoide doble también puede considerarse como una generalización de ciertos grupos de dimensión superior. ^[2] ) La geometría de los cuadrados y sus composiciones conducen a una representación común de un grupoide doble en el siguiente diagrama :

donde M es un conjunto de «puntos», H y V son, respectivamente, grupoides «horizontales» y «verticales», y S es un conjunto de «cuadrados» con dos composiciones. Las leyes de composición para un grupoide doble D lo hacen también descriptible como un grupoide interno a la categoría de grupoides .

Dados dos grupoides H y V sobre un conjunto M , existe un grupoide doble con H, V como grupoides de aristas horizontales y verticales, y cuadrados dados por cuádruples. ${\displaystyle \Box (H,V)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}}$

para lo cual se supone siempre que h, h′ están en H y v, v′ están en V , y que los puntos inicial y final de estas aristas coinciden en M como lo sugiere la notación; es decir, por ejemplo sh = sv, th = sv', ..., etc. Las composiciones se heredan de las de H,V ; es decir:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{1}{\begin{pmatrix}&h'&\\[-0.9ex]w&&w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]vw&&v'w'\\[-0.9ex]&h''&\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{pmatrix}&h&\\[-0.9ex]v&&v'\\[-0.9ex]&h'&\end{pmatrix}}\circ _{2}{\begin{pmatrix}&k&\\[-0.9ex]v'&&v''\\[-0.9ex]&k'&\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}&hk&\\[-0.9ex]v&&v''\\[-0.9ex]&h'k'&\end{pmatrix}}}$

Esta construcción es el adjunto derecho al funtor olvidadizo que toma el grupoide doble como el anterior, al par de grupoides H,V sobre M.

Otras construcciones relacionadas son la de un grupoide doble con conexión ^[3] y los grupoides dobles de homotopía. ^[4] El grupoide doble de homotopía de un par de espacios puntiagudos es un elemento clave de la prueba de un teorema de Seifert-van Kampen bidimensional, demostrado por primera vez por Brown y Higgins en 1978, ^[5] y que recibió un tratamiento extenso en el libro. ^[6]

Ejemplos

Se puede elaborar una clase sencilla de ejemplos considerando módulos cruzados , o equivalentemente los datos de un morfismo de grupos.

${\displaystyle [G_{1}\xrightarrow {\phi } G_{0}]}$

que tiene una descripción equivalente a la del grupoide interno a la categoría de grupos

${\displaystyle s,t:G_{0}\times G_{1}\to G_{0}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{matrix}s(g_{0},g_{1})=g_{0}&t(g_{0},g_{1})=\phi (g_{1})g_{0}\end{matrix}}}$

son los morfismos de estructura para este grupoide. Dado que los grupos se incrustan en la categoría de grupoides que envían un grupo a la categoría con un solo objeto y morfismos que dan el grupo , la estructura anterior da un grupoide doble. Demos un ejemplo explícito: de la extensión de grupo ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\textbf {B}}G}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 1}$

y la incrustación de , hay un grupoide doble asociado del complejo de dos términos de grupos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}}$

${\displaystyle Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}}$

con núcleo y conúcleo dados por . Esto da un tipo de homotopía asociado ^[7] con ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{1}(X)=\mathbb {Z} _{2}}$y ${\displaystyle \pi _{2}(X)=\mathbb {Z} _{4}}$

Su invariante postnikov puede determinarse por la clase de en el grupo de cohomología de grupo . Como no se trata de un módulo cruzado trivial, su invariante postnikov es , lo que da un tipo de homotopía que no es equivalente a la realización geométrica de un grupo abeliano simplicial . ${\displaystyle Q_{8}\to \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle H^{3}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle 1}$

Homotopía de doble grupoide

En 1978, Brown y Higgins dieron una generalización a dimensión 2 del grupoide fundamental sobre un conjunto de puntos base de la siguiente manera. Sea un triple de espacios, es decir . Definamos como el conjunto de clases de homotopía rel vértices de aplicaciones de un cuadrado en X que toman las aristas en A y los vértices en C . No es del todo trivial demostrar que las composiciones naturales de tales cuadrados en dos direcciones son heredadas por estas clases de homotopía para dar un grupoide doble, que también tiene una estructura adicional de las llamadas conexiones necesarias para discutir la idea de cubo conmutativo en un grupoide doble. Este grupoide doble se utiliza de manera esencial para demostrar un teorema de Seifert-van Kampen bidimensional, que proporciona nueva información y cálculos sobre segundos grupos de homotopía relativa como parte de un módulo cruzado. Para obtener más información, consulte la Parte I del libro de Brown, Higgins y Sivera que se incluye a continuación. ${\displaystyle (X,A,C)}$ ${\displaystyle C\subseteq A\subseteq X}$ ${\displaystyle \rho (X,A,C)}$

Categoría de grupoide doble

La categoría cuyos objetos son grupoides dobles y cuyos morfismos son homomorfismos de grupoide doble que son funtores del diagrama de grupoide doble ( D ) se denomina categoría de grupoide doble o categoría de grupoides dobles .

Véase también

• 2 grupos
• Módulo cruzado
• Grupo N (teoría de categorías)
• ∞-grupoide

Notas

1. Brown, Ronald y CB Spencer: "Grupoides dobles y módulos cruzados", Cahiers Top. Geom. Diff. . 17 (1976), 343–362
2. Brown, Ronald, Teoría de grupos de dimensiones superiores Archivado el 23 de julio de 2012 en archive.today explica cómo el concepto de grupoide ha llevado a los grupoides de homotopía de dimensiones superiores, que tienen aplicaciones en la teoría de homotopía y en la cohomología de grupos .
3. "Doble grupoide con conexión". PlanetMath .
4. Brown, R., Hardie, K., Kamps, H. y T. Porter: 2002, "El grupoide doble de homotopía de un espacio de Hausdorff.", Teoría y aplicaciones de categorías : 10 , 71–93
5. Brown, R. y Higgins, PJ "Sobre la conexión entre los segundos grupos de homotopía relativa de algunos espacios relacionados". _Proc. London Math. Soc._ (3) (36)(1978) 193–212
6. R. Brown, PJ Higgins, R. Sivera, Topología algebraica no abeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 páginas. (agosto de 2011).
7. Cegarra, Antonio M.; Heredia, Benjamín A.; Remedios, Josué (2010-03-19). "Grupoides dobles y homotopía de 2 tipos". arXiv : 1003.3820 [matemáticas.AT].

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Referencias

• Brown, Ronald y CB Spencer: "Grupoides dobles y módulos cruzados", Cahiers Top. Geom. Diff. . 17 (1976), 343–362.
• Brown, R., Hardie, K., Kamps, H. y T. Porter: 2002, "El grupoide doble de homotopía de un espacio de Hausdorff.", Teoría y aplicaciones de categorías: 10,71–93
• Brown, Ronald, 1987, "From groups to groupoids: a brief survey", Bull. London Math. Soc. 19 : 113–34. Revisa la historia de los grupoides hasta 1987, comenzando con el trabajo de Brandt sobre formas cuadráticas. La versión descargable actualiza las numerosas referencias.
• Brown, Ronald, 2006. Topología y grupoides. Booksurge. Edición revisada y ampliada de un libro publicado previamente en 1968 y 1988. Se presentan los grupoides en el contexto de su aplicación topológica.
• Brown, Ronald, Teoría de grupos de dimensiones superiores. Explica cómo el concepto de grupoide ha llevado a los grupoides de homotopía de dimensiones superiores, que tienen aplicaciones en la teoría de homotopía y en la cohomología de grupos .
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Galois theory. Cambridge Univ. Press. Muestra cómo las generalizaciones de la teoría de Galois conducen a los grupoides de Galois.
• Cannas da Silva, A. y A. Weinstein , Modelos geométricos para álgebras no conmutativas. Especialmente la Parte VI.
• Golubitsky, M. , Ian Stewart , 2006, "Dinámica no lineal de redes: el formalismo grupoide", Bull. Amer. Math. Soc. 43 : 305–64
• Higgins, PJ, "El grupoide fundamental de un gráfico de grupos ", J. London Math. Soc. (2) 13 (1976) 145–149.
• Higgins, PJ y Taylor, J., "El grupoide fundamental y el complejo cruzado de homotopía de un espacio de órbitas ", en Teoría de categorías (Gummersbach, 1981), Lecture Notes in Math., Volumen 962. Springer, Berlín (1982), 115–122.
• Higgins, PJ, 1971. Categorías y grupoides. Van Nostrand Notes in Mathematics. Republicado en Reprints in Theory and Applications of Categories , No. 7 (2005) pp. 1–195; descargable gratuitamente. Introducción sustancial a la teoría de categorías con especial énfasis en los grupoides. Presenta aplicaciones de los grupoides en la teoría de grupos, por ejemplo, en una generalización del teorema de Grushko , y en topología, por ejemplo, en el grupoide fundamental .
• Weinstein, Alan, "Grupoides: unificación de la simetría interna y externa. Un recorrido por algunos ejemplos". También disponible en Postscript., Notices of the AMS, julio de 1996, págs. 744–752.