Seno y coseno

Funciones trigonométricas fundamentales

En matemáticas , el seno y el coseno son funciones trigonométricas de un ángulo . El seno y el coseno de un ángulo agudo se definen en el contexto de un triángulo rectángulo : para el ángulo especificado, su seno es la relación entre la longitud del lado opuesto a ese ángulo y la longitud del lado más largo del triángulo ( la hipotenusa ), y el coseno es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la de la hipotenusa . Para un ángulo , las funciones seno y coseno se denotan simplemente como y . ^[1] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$

De manera más general, las definiciones de seno y coseno se pueden extender a cualquier valor real en términos de las longitudes de ciertos segmentos de línea en un círculo unitario . Las definiciones más modernas expresan el seno y el coseno como series infinitas , o como soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales , permitiendo su extensión a valores positivos y negativos arbitrarios e incluso a números complejos .

Las funciones seno y coseno se utilizan comúnmente para modelar fenómenos periódicos como las ondas de luz y sonido , la posición y velocidad de osciladores armónicos, la intensidad de la luz solar y la duración del día, y las variaciones de temperatura promedio a lo largo del año. Se remontan a las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta .

Notación

El seno y el coseno se escriben utilizando notación funcional con las abreviaturas sin y cos .

A menudo, si el argumento es lo suficientemente simple, el valor de la función se escribirá sin paréntesis, como sin θ en lugar de sin( θ ) .

Cada uno de los senos y cosenos es función de un ángulo, que generalmente se expresa en términos de radianes o grados . Salvo que se indique explícitamente lo contrario, este artículo supone que el ángulo se mide en radianes.

Definiciones

Definiciones de triángulo rectángulo

Para el ángulo α , la función seno da la relación entre la longitud del lado opuesto y la longitud de la hipotenusa.

Para definir el seno y el coseno de un ángulo agudo α , comience con un triángulo rectángulo que contenga un ángulo de medida α ; En la figura adjunta, el ángulo α en el triángulo ABC es el ángulo de interés. Los tres lados del triángulo se nombran de la siguiente manera:

• El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo de interés, en este caso el lado  a .
• La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto, en este caso el lado  h . La hipotenusa es siempre el lado más largo de un triángulo rectángulo.
• El lado adyacente es el lado restante, en este caso el lado  b . Forma un lado (y es adyacente a) tanto el ángulo de interés (ángulo A ) como el ángulo recto.

Una vez elegido dicho triángulo, el seno del ángulo es igual a la longitud del lado opuesto, dividida por la longitud de la hipotenusa: ^[2]

${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}\qquad \cos(\alpha )={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}}$

Las otras funciones trigonométricas del ángulo se pueden definir de manera similar; por ejemplo, la tangente es la relación entre los lados opuestos y adyacentes. ^[2]

Como se indicó, los valores y parecen depender de la elección del triángulo rectángulo que contiene un ángulo de medida α . Sin embargo, este no es el caso: todos esos triángulos son similares , por lo que las razones son las mismas para cada uno de ellos. ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$

Definiciones de círculo unitario

En trigonometría , un círculo unitario es el círculo de radio uno centrado en el origen (0, 0) en el sistema de coordenadas cartesiano .

Círculo unitario: un círculo con radio uno

Deje que una línea que pasa por el origen interseque el círculo unitario, formando un ángulo de θ con la mitad positiva del eje x . Las coordenadas x e y de este punto de intersección son iguales a cos( θ ) y sin( θ ) , respectivamente. Esta definición es consistente con la definición de seno y coseno del triángulo rectángulo cuando : debido a que la longitud de la hipotenusa del círculo unitario es siempre 1 ,. La longitud del lado opuesto del triángulo es simplemente la coordenada y . Se puede presentar un argumento similar a favor de la función coseno para mostrar que cuando , incluso bajo la nueva definición que utiliza el círculo unitario. tan( θ ) se define entonces como , o, de manera equivalente, como la pendiente del segmento de línea. ${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \sin(\theta )={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {\text{opposite}}{1}}={\text{opposite}}}$ ${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}}$ ${\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sin(\theta )}{\cos(\theta )}}}$

Usar la definición de círculo unitario tiene la ventaja de que el ángulo se puede extender a cualquier argumento real. Esto también se puede lograr requiriendo ciertas simetrías y que el seno sea una función periódica .

Definiciones de funciones exponenciales complejas

La función exponencial está definida en todo el dominio de los números complejos . La definición de seno y coseno se puede ampliar a todos los números complejos mediante ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}}$

Estos se pueden revertir para dar la fórmula de Euler.

${\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z}$

${\displaystyle e^{-iz}=\cos z-i\sin z}$

Cuando se traza en el plano complejo , la función para valores reales de traza el círculo unitario en el plano complejo. ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle x}$

Cuando es un número real, el seno y el coseno se simplifican a las partes imaginaria y real de o , como: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{ix}}$ ${\displaystyle e^{-ix}}$

${\displaystyle \sin x=\operatorname {Im} (e^{ix})=-\operatorname {Im} (e^{-ix})}$

${\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix})=\operatorname {Re} (e^{-ix})}$

Cuando para valores reales y , el seno y el coseno se pueden expresar en términos de senos, cosenos y funciones hiperbólicas reales como ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin z&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\\[5pt]\cos z&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}}$

Definición de ecuación diferencial

${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$es la solución del sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales y con las condiciones iniciales y . Se podría interpretar que el círculo unitario en las definiciones anteriores define la trayectoria del espacio de fase de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales dadas. ${\displaystyle (x(\theta ),y(\theta ))}$ ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$

• Animación que demuestra cómo se grafica la función seno (en rojo) a partir de la coordenada y (punto rojo) de un punto en el círculo unitario (en verde), en un ángulo de θ . El coseno (en azul) es la coordenada x .

Puede interpretarse como una trayectoria en el espacio de fases del sistema de ecuaciones diferenciales y partiendo de las condiciones iniciales y . ${\displaystyle y'(\theta )=x(\theta )}$ ${\displaystyle x'(\theta )=-y(\theta )}$ ${\displaystyle y(0)=0}$ ${\displaystyle x(0)=1}$

Definiciones de series

La función seno (azul) se aproxima estrechamente mediante su polinomio de Taylor de grado 7 (rosa) para un ciclo completo centrado en el origen.

Esta animación muestra cómo incluir más y más términos en la suma parcial de su serie de Taylor se aproxima a una curva sinusoidal.

Las derivadas sucesivas del seno, evaluadas en cero, pueden utilizarse para determinar su serie de Taylor. Utilizando únicamente la geometría y las propiedades de los límites , se puede demostrar que la derivada del seno es el coseno y que la derivada del coseno es el negativo del seno. Esto significa que las derivadas sucesivas de sin(x) son cos(x), -sin(x), -cos(x), sin(x), continuando repitiendo esas cuatro funciones. La (4 n + k )-ésima derivada, evaluada en el punto 0:

${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$

donde el superíndice representa diferenciación repetida. Esto implica la siguiente expansión de la serie de Taylor en x = 0. Luego se puede usar la teoría de la serie de Taylor para demostrar que las siguientes identidades son válidas para todos los números reales x (donde x es el ángulo en radianes): ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}}$

Al tomar la derivada de cada término se obtiene la serie de Taylor para el coseno:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\[8pt]\end{aligned}}}$

Definiciones de fracciones continuas

La función seno también se puede representar como una fracción continua generalizada :

${\displaystyle \sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}$

${\displaystyle \cos(x)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2-x^{2}+{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4-x^{2}+{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}$

Las representaciones de fracciones continuas se pueden derivar de la fórmula de fracciones continuas de Euler y expresar los valores de los números reales , tanto racionales como irracionales , de las funciones seno y coseno.

Identidades

Identidades exactas (usando radianes ):

Estos se aplican a todos los valores de . ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin(\theta )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos(\theta )=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)}$

Recíprocos

El recíproco del seno es cosecante, es decir, el recíproco de es . La cosecante da la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado opuesto. De manera similar, el recíproco del coseno es secante, lo que da la relación entre la longitud de la hipotenusa y la del lado adyacente. ${\displaystyle \sin {\theta }}$ ${\displaystyle \csc {\theta }}$

${\displaystyle \csc {\theta }={\frac {1}{\sin {\theta }}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}}$

${\displaystyle \sec {\theta }={\frac {1}{\cos {\theta }}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}}$

Inversos

Los valores principales habituales de las funciones arcsin( x ) y arccos( x ) graficadas en el plano cartesiano

La función inversa del seno es arcoseno (arcoseno o asin) o seno inverso ( sin ⁻¹ ). La función inversa del coseno es arcocoseno (arccos, acos o cos ⁻¹ ). (El superíndice de −1 en sin ⁻¹ y cos ⁻¹ denota la inversa de una función, no la exponenciación ). Como el seno y el coseno no son inyectivos , sus inversas no son funciones inversas exactas, sino funciones inversas parciales. Por ejemplo, sin(0) = 0 , pero también sin( π ) = 0 , sin(2 π ) = 0 , etc. De ello se deduce que la función arcoseno tiene varios valores: arcsin(0) = 0 , pero también arcsin(0) = π , arcsin(0) = 2 π , etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada x en el dominio, la expresión arcsin( x ) se evaluará solo como un valor único, llamado valor principal . El rango estándar de valores principales para arcsen es de − π /2 a π /2 y el rango estándar para arccos es de 0 a π .

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$

donde (para algún número entero k ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\\\cos(y)=x\iff &y=\arccos(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=-\arccos(x)+2\pi k\end{aligned}}}$

Por definición, arcsin y arccos satisfacen las ecuaciones:

${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\qquad \cos(\arccos(x))=x}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\\\arccos(\cos(\theta ))=\theta \quad &{\text{for}}\quad 0\leq \theta \leq \pi \end{aligned}}}$

Identidad trigonométrica pitagórica

La relación básica entre el seno y el coseno es la identidad trigonométrica pitagórica : ^[1]

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1}$

donde sin ² ( x ) significa (sin( x )) ² .

Fórmulas de doble ángulo

El seno y el coseno satisfacen las siguientes fórmulas de ángulos dobles:

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}(\theta )-\sin ^{2}(\theta )=2\cos ^{2}(\theta )-1=1-2\sin ^{2}(\theta )}$

Función seno en azul y función seno al cuadrado en rojo. El eje X está en radianes.

La fórmula del coseno del doble ángulo implica que sen ² y cos ² son, en sí mismos, ondas sinusoidales desplazadas y escaladas. Específicamente, ^[4]

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}\qquad \cos ^{2}(\theta )={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}}$

El gráfico muestra tanto la función seno como la función seno al cuadrado, con el seno en azul y el seno al cuadrado en rojo. Ambos gráficos tienen la misma forma, pero con diferentes rangos de valores y diferentes períodos. El seno al cuadrado solo tiene valores positivos, pero el doble de períodos.

Derivada e integrales

Las derivadas del seno y el coseno son:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)\qquad {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

y sus antiderivadas son:

${\displaystyle \int \sin(x)\,dx=-\cos(x)+C}$

${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C}$

donde C denota la constante de integración . ^[1]

Propiedades relacionadas con los cuadrantes

Los cuatro cuadrantes de un sistema de coordenadas cartesiano.

La siguiente tabla muestra muchas de las propiedades clave de la función seno (signo, monotonicidad, convexidad), ordenadas por cuadrante del argumento. Para argumentos fuera de los de la tabla, se puede calcular la información correspondiente utilizando la periodicidad de la función seno. ${\displaystyle \sin(\alpha +2\pi )=\sin(\alpha )}$

Los cuadrantes del círculo unitario y de sen( x ), usando el sistema de coordenadas cartesiano

La siguiente tabla proporciona información básica en los límites de los cuadrantes.

Puntos fijos

La iteración de punto fijo x _{n +1}  = cos( x _n ) con valor inicial x ₀  = −1 converge al número de Dottie.

El cero es el único punto fijo real de la función seno; en otras palabras, la única intersección de la función seno y la función identidad es . El único punto fijo real de la función coseno se llama número de Dottie . Es decir, el número de Dottie es la única raíz real de la ecuación. La expansión decimal del número de Dottie es . ^[5] ${\displaystyle \sin(0)=0}$ ${\displaystyle \cos(x)=x.}$ ${\displaystyle 0.739085\ldots }$

Longitud de arco

La longitud del arco de la curva sinusoidal entre y es ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \int _{0}^{t}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx={\sqrt {2}}\operatorname {E} (t,1/{\sqrt {2}}),}$

¿Dónde está la integral elíptica incompleta de segundo tipo con módulo ? No se puede expresar usando funciones elementales . ${\displaystyle \operatorname {E} (\varphi ,k)}$ ${\displaystyle k}$

La longitud del arco para un período completo es ^[6]

${\displaystyle L={\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}={\frac {2\pi }{\varpi }}+2\varpi =7.640395578\ldots }$

donde es la función gamma y es la constante de lemniscata . ^{[6] [7]} ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \varpi }$

leyes

La ley de los senos establece que para un triángulo arbitrario con lados a , b y c y ángulos opuestos a esos lados A , B y C :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.}$

Esto es equivalente a la igualdad de las tres primeras expresiones siguientes:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$

donde R es el circunradio del triángulo .

Se puede demostrar dividiendo el triángulo en dos rectángulos y utilizando la definición anterior de seno. La ley de los senos es útil para calcular las longitudes de los lados desconocidos de un triángulo si se conocen dos ángulos y un lado. Esta es una situación común que ocurre en la triangulación , una técnica para determinar distancias desconocidas midiendo dos ángulos y una distancia cerrada accesible.

La ley de los cosenos establece que para un triángulo arbitrario con lados a , b y c y ángulos opuestos a esos lados A , B y C :

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)=c^{2}}$

En el caso en que , y este se convierte en el teorema de Pitágoras : para un triángulo rectángulo, donde c es la hipotenusa. ${\displaystyle C=\pi /2}$ ${\displaystyle \cos(C)=0}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

Valores especiales

Algunos ángulos comunes ( θ ) mostrados en el círculo unitario . Los ángulos se dan en grados y radianes, junto con el punto de intersección correspondiente en el círculo unitario, (cos( ​​θ ), sin( θ )).

Para múltiplos enteros de 15° (es decir, radianes), los valores de sin( x ) y cos( x ) son particularmente simples y se pueden expresar en términos de solamente. A continuación se proporciona una tabla de estos ángulos. Para expresiones de ángulos más complejas, consulte Valores trigonométricos exactos § Ángulos comunes . ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{12}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}}$

Incrementos de 90 grados:

Relación con números complejos

${\displaystyle \cos(\theta )}$y son las partes real e imaginaria de . ${\displaystyle \sin(\theta )}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$

El seno y el coseno se utilizan para conectar las partes real e imaginaria de un número complejo con sus coordenadas polares ( r , φ ):

${\displaystyle z=r(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))}$

Las partes real e imaginaria son:

${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=r\cos(\varphi )}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=r\sin(\varphi )}$

donde r y φ representan la magnitud y el ángulo del número complejo z .

Para cualquier número real θ , la fórmula de Euler dice que:

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos(\theta )+i\sin(\theta )}$

Por tanto, si las coordenadas polares de z son ( r , φ ), ${\displaystyle z=re^{i\varphi }.}$

Argumentos complejos

Coloración de dominio de sin ( z ) en el plano complejo. El brillo indica magnitud absoluta, el tono representa un argumento complejo.

sin( z ) como campo vectorial

Aplicando la definición de serie del seno y el coseno a un argumento complejo, z , se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\\&=-i\sinh \left(iz\right)\\\cos(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\\&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\\&=\cosh(iz)\\\end{aligned}}}$

donde sinh y cosh son el seno y el coseno hiperbólicos . Estas son funciones completas .

A veces también es útil expresar las funciones complejas seno y coseno en términos de las partes real e imaginaria de su argumento:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y)\\\cos(x+iy)&=\cos(x)\cos(iy)-\sin(x)\sin(iy)\\&=\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\\end{aligned}}}$

Fracciones parciales y expansiones de productos del seno complejo.

Usando la técnica de expansión de fracciones parciales en análisis complejos , se puede encontrar que la serie infinita

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}}$

ambos convergen y son iguales a . De manera similar, se puede demostrar que ${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.}$

Utilizando la técnica de expansión del producto, se puede derivar

${\displaystyle \sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).}$

Alternativamente, el producto infinito del seno se puede demostrar utilizando series complejas de Fourier .

Uso del seno complejo

sin( z ) se encuentra en la ecuación funcional de la función Gamma ,

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

que a su vez se encuentra en la ecuación funcional de la función zeta de Riemann ,

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\zeta (1-s).}$

Como función holomorfa , sen z es una solución 2D de la ecuación de Laplace :

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

La función seno compleja también está relacionada con las curvas de nivel de los péndulos . ^{[ ¿ cómo? ] [9] [ se necesita una mejor fuente ]}

Gráficos complejos

Historia

Cuadrante de la Turquía otomana de la década de 1840 con ejes para buscar el seno y el versino de los ángulos

Si bien los primeros estudios de la trigonometría se remontan a la antigüedad, las funciones trigonométricas tal como se utilizan hoy en día se desarrollaron en el período medieval. La función de la cuerda fue descubierta por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.) y Ptolomeo del Egipto romano (90-165 d. C.). ^[10]

Las funciones seno y coseno se remontan a las funciones jyā y koṭi-jyā utilizadas en la astronomía india durante el período Gupta ( Aryabhatiya y Surya Siddhanta ), mediante traducción del sánscrito al árabe y luego del árabe al latín. ^[11]

Las seis funciones trigonométricas de uso actual eran conocidas en las matemáticas islámicas en el siglo IX, al igual que la ley de los senos , utilizada para resolver triángulos . ^[12] Con la excepción del seno (que fue adoptado de las matemáticas indias), las otras cinco funciones trigonométricas modernas fueron descubiertas por matemáticos árabes, incluidos el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante. ^[12] Al-Khwārizmī (c. 780–850) produjo tablas de senos, cosenos y tangentes. ^{[13] [14]} Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1° a 90°. ^[14]

El primer uso publicado de las abreviaturas sin , cos y tan es del matemático francés del siglo XVI Albert Girard ; estos fueron promulgados además por Euler (ver más abajo). El Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus , un estudiante de Copérnico , fue probablemente el primero en Europa en definir funciones trigonométricas directamente en términos de triángulos rectángulos en lugar de círculos, con tablas para las seis funciones trigonométricas; Este trabajo fue terminado por el alumno de Rheticus, Valentin Otho, en 1596.

En un artículo publicado en 1682, Leibniz demostró que sen x no es una función algebraica de x . ^[15] Roger Cotes calculó la derivada del seno en su Harmonia Mensurarum (1722). ^[16] La Introductio in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fue la principal responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, definiéndolas también como series infinitas y presentando la " fórmula de Euler ", así como las abreviaturas casi modernas sin . , porque. , Espiga. , cuna. , segundo y cosec. ^[11]

Etimología

Etimológicamente , la palabra seno deriva de la palabra sánscrita jyā 'cuerda de arco' ^{[17] [18]} o más específicamente de su sinónimo jīvá (ambos adoptados del griego antiguo χορδή 'cuerda' ^[19] ), debido a la similitud visual entre el arco de un círculo con su correspondiente cuerda y de un arco con su cuerda (ver jyā, koti-jyā y utkrama-jyā ). Esto fue transliterado en árabe como jība , que no tiene sentido en ese idioma y se escribió como jb ( جب ). Dado que el árabe se escribe sin vocales cortas, jb se interpretó como el homógrafo jayb (جيب), que significa "seno", "bolsillo" o "pliegue". Cuando los textos árabes de Al-Battani y al-Khwārizmī fueron traducidos al latín medieval en el siglo XII por Gerardo de Cremona , utilizó el equivalente latino sinus (que también significa 'bahía' o 'pliegue', y más específicamente 'el colgante'). pliegue de una toga sobre el pecho'). ^{[11] [20] [21]} Gerard probablemente no fue el primer erudito en utilizar esta traducción; Roberto de Chester parece haberle precedido y hay pruebas de un uso incluso anterior. ^{[22] [23]} La forma inglesa seno se introdujo en la década de 1590. ^[24]

La palabra coseno deriva de una abreviatura del latín complementi sinus 'seno del ángulo complementario ' como coseno en el Canon triangulorum (1620) de Edmund Gunter , que también incluye una definición similar de cotangentes . ^{[25] [26] [27]}

Implementaciones de software

No existe un algoritmo estándar para calcular el seno y el coseno. IEEE 754 , el estándar más utilizado para la especificación de cálculos confiables de punto flotante, no aborda el cálculo de funciones trigonométricas como el seno. La razón es que no se conoce ningún algoritmo eficiente para calcular el seno y el coseno con una precisión específica, especialmente para entradas grandes. ^[28]

Los algoritmos para calcular el seno se pueden equilibrar para restricciones tales como velocidad, precisión, portabilidad o rango de valores de entrada aceptados. Esto puede conducir a diferentes resultados para diferentes algoritmos, especialmente en circunstancias especiales como entradas muy grandes, por ejemplo .sin(1022)

Una optimización de programación común, utilizada especialmente en gráficos 3D, es precalcular una tabla de valores sinusoidales, por ejemplo, un valor por grado, luego, para los valores intermedios, elegir el valor precalculado más cercano o interpolar linealmente entre los 2 valores más cercanos. valores para aproximarlo. Esto permite buscar los resultados en una tabla en lugar de calcularlos en tiempo real. Con las arquitecturas de CPU modernas, es posible que este método no ofrezca ninguna ventaja. ^{[ cita necesaria ]}

El algoritmo CORDIC se utiliza habitualmente en calculadoras científicas.

Las funciones seno y coseno, junto con otras funciones trigonométricas, están ampliamente disponibles en todos los lenguajes y plataformas de programación. En informática, normalmente se abrevian como siny cos.

Algunas arquitecturas de CPU tienen una instrucción sinusoidal incorporada, incluidas las FPU Intel x87 desde 80387.

En los lenguajes de programación, siny cossuelen ser una función incorporada o se encuentran dentro de la biblioteca matemática estándar del lenguaje.

Por ejemplo, la biblioteca estándar de C define funciones sinusoidales dentro de math.h :, y . El parámetro de cada uno es un valor de coma flotante , que especifica el ángulo en radianes. Cada función devuelve el mismo tipo de datos que acepta. Muchas otras funciones trigonométricas también se definen en math.h , como coseno, arcoseno y seno hiperbólico (sinh).sin(double)sinf(float)sinl(long double)

De manera similar, Python define math.sin(x)y math.cos(x)dentro del módulo integrado math. Dentro del módulo también están disponibles funciones complejas de seno y coseno cmath, p cmath.sin(z). Las funciones matemáticas de CPython llaman a la biblioteca C math y utilizan un formato de punto flotante de doble precisión .

Implementaciones basadas en turnos

Algunas bibliotecas de software proporcionan implementaciones de seno y coseno utilizando el ángulo de entrada en medias vueltas , siendo una media vuelta un ángulo de 180 grados o radianes. Representar ángulos en vueltas o medias vueltas tiene ventajas de precisión y ventajas de eficiencia en algunos casos. ^{[29] [30]} En MATLAB, OpenCL, R, Julia, CUDA y ARM, estas funciones se llaman y . ^{[29] [31] [30] [32] [33] [34]} Por ejemplo, se evaluaría hasta dónde x se expresa en medias vueltas y, en consecuencia, la entrada final a la función, πx , se puede interpretar en radianes mediante sen. . ${\displaystyle \pi }$sinpicospisinpi(x) ${\displaystyle \sin(\pi x),}$

La ventaja de la precisión surge de la capacidad de representar perfectamente ángulos clave como giro completo, media vuelta y cuarto de vuelta sin pérdidas en punto flotante binario o punto fijo. Por el contrario, representar , y en punto flotante binario o punto fijo escalado binario siempre implica una pérdida de precisión ya que los números irracionales no se pueden representar con un número finito de dígitos binarios. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Los giros también tienen una ventaja de precisión y eficiencia para calcular el módulo en un período. El cálculo de medias vueltas de módulo 1 o de módulo 2 se puede calcular de manera eficiente y sin pérdidas tanto en punto flotante como en punto fijo. Por ejemplo, calcular el módulo 1 o el módulo 2 para un valor de punto fijo escalado en un punto binario requiere sólo un desplazamiento de bits o una operación AND bit a bit. Por el contrario, el módulo de cálculo implica imprecisiones en la representación . ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Para aplicaciones que involucran sensores de ángulo, el sensor generalmente proporciona mediciones de ángulo en una forma directamente compatible con vueltas o medias vueltas. Por ejemplo, un sensor de ángulo puede contar de 0 a 4096 en una revolución completa. ^[35] Si se utilizan medias vueltas como unidad de ángulo, entonces el valor proporcionado por el sensor se asigna directamente y sin pérdidas a un tipo de datos de punto fijo con 11 bits a la derecha del punto binario. Por el contrario, si se utilizan radianes como unidad para almacenar el ángulo, entonces se incurriría en las imprecisiones y el costo de multiplicar el entero bruto del sensor por una aproximación de. ${\textstyle {\frac {\pi }{2048}}}$

Ver también

• Tabla de senos de Āryabhaṭa
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I
• Transformada seno discreta
• Funciones elípticas de Dixon
• la fórmula de euler
• Trigonometría generalizada
• Función hiperbólica
• Funciones elípticas de lemniscata
• ley de los senos
• Lista de funciones periódicas
• Lista de identidades trigonométricas
• serie madhava
• Tabla de senos de Madhava
• Teorema del seno óptico
• Seno polar : una generalización a los ángulos de los vértices
• Pruebas de identidades trigonométricas.
• función sincrónica
• Transformadas de seno y coseno
• Integral seno
• Cuadrante seno
• Onda sinusoidal
• Ecuación seno-Gordon
• modelo sinusoidal
• SOH-CAH-TOA
• Funciones trigonométricas
• Integral trigonométrica

Citas

1. Weisstein, Eric W. "Seno". mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
2. Young, Cynthia (2017). Trigonometría. John Wiley e hijos. pag. 27.ISBN​ 978-1-119-32113-2.
3. Ahlfors, Lars (1 de enero de 1979). Análisis complejo (3 ed.). págs. 43–44.
4. "Función seno cuadrado" . Consultado el 9 de agosto de 2019 .
5. "OEIS A003957". oeis.org . Consultado el 26 de mayo de 2019 .
6. "A105419 - Oeis".
7. Adlaj, Semjon (2012). "Una fórmula elocuente para el perímetro de una elipse" (PDF) . Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 1097.
8. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (Tercera ed.). Compañía de libros McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6.pag. 299, Teorema 15.4
9. "¿Por qué son tan similares el retrato de fase del péndulo plano simple y la coloración del dominio de sin (z)?". math.stackexchange.com . Consultado el 12 de agosto de 2019 .
10. Brendan, T. (febrero de 1965). "Cómo Ptolomeo construyó tablas de trigonometría". El profesor de matemáticas . 58 (2): 141–149 - vía JSTOR.
11. Merzbach, Uta C .; Boyer, Carl B. (2011), Una historia de las matemáticas (3.ª ed.), John Wiley & Sons: Fue la traducción del árabe de Robert de Chester la que dio lugar a nuestra palabra "sine". Los hindúes habían dado el nombre de jiva al medio acorde en trigonometría, y los árabes lo habían adoptado como jiba. En el idioma árabe también existe la palabra jaib que significa "bahía" o "entrada". Cuando Roberto de Chester llegó a traducir la palabra técnica jiba, parece haberla confundido con la palabra jaib (quizás porque se omitieron las vocales); de ahí que utilizó la palabra sinus, la palabra latina para "bahía" o "entrada".
12. Gingerich, Owen (1986). "Astronomía islámica". Científico americano . vol. 254. pág. 74. Archivado desde el original el 19 de octubre de 2013 . Consultado el 13 de julio de 2010 .
13. Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", p. 157, en Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2000). Matemáticas entre culturas: la historia de las matemáticas no occidentales . Springer Ciencia + Medios comerciales . ISBN 978-1-4020-0260-1.
14. "trigonometría". Enciclopedia Británica.
15. Nicolás Bourbaki (1994). Elementos de la Historia de las Matemáticas . Saltador. ISBN 9783540647676.
16. "Por qué el seno tiene una derivada simple Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine ", en Notas históricas para profesores de cálculo Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine por V. Frederick Rickey Archivado el 20 de julio de 2011 en Máquina Wayback
17. "Cómo obtuvieron sus nombres las funciones trigonométricas". Pregúntele al Dr. Matemáticas . Universidad de Drexel . Consultado el 2 de marzo de 2010 .
18. JJ O'Connor y EF Robertson (junio de 1996). «Las funciones trigonométricas» . Consultado el 2 de marzo de 2010 .
19. Véase Plofker, Matemáticas en la India , Princeton University Press, 2009, p. 257
    Véase "Universidad de Clark". Archivado desde el original el 15 de junio de 2008.
    Véase Maor (1998), capítulo 3, sobre la etimología.
20. Eli Maor (1998), Delicias trigonométricas , Princeton: Princeton University Press, p. 35-36.
21. Victor J. Katz (2008), Una historia de las matemáticas , Boston: Addison-Wesley, 3º. ed., pág. 253, recuadro 8.1. "Una historia de las matemáticas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 14 de abril de 2015 . Consultado el 9 de abril de 2015 .: La palabra inglesa “sine” proviene de una serie de traducciones erróneas del sánscrito jyā-ardha (acorde medio). Āryabhaṭa frecuentemente abrevió este término a jyā o su sinónimo jīvá . Cuando algunas de las obras hindúes fueron traducidas posteriormente al árabe, la palabra simplemente se transcribió fonéticamente a una palabra árabe que de otro modo carecería de significado, jiba . Pero como el árabe se escribe sin vocales, escritores posteriores interpretaron las consonantes jb como jaib , que significa seno o pecho. En el siglo XII, cuando se tradujo al latín una obra árabe de trigonometría, el traductor utilizó la palabra latina equivalente sinus , que también significaba seno y, por extensión, pliegue (como en una toga sobre un pecho), o bahía o golfo.
22. Smith, DE (1958) [1925], Historia de las Matemáticas , vol. Yo, Dover, pág. 202, ISBN 0-486-20429-4
23. Varias fuentes atribuyen el primer uso de los senos nasales a
    • Traducción de Platón Tiburtino de 1116 de la Astronomía de Al-Battani
    • Traducción de Gerardo de Cremona del Álgebra de al-Khwārizmī
    • Traducción de Robert de Chester de 1145 de las tablas de al-Khwārizmī
    Véase Merlet, Una nota sobre la historia de las funciones trigonométricas en Ceccarelli (ed.), Simposio internacional sobre historia de máquinas y mecanismos , Springer, 2004.
    Véase Maor (1998), capítulo 3, para una etimología anterior que acredita a Gerard.
    Véase Katx, Victor (julio de 2008). Una historia de las matemáticas (3ª ed.). Boston: Pearson . pag. 210 (barra lateral). ISBN 978-0321387004.
24. La forma inglesa se registró por primera vez en 1593 en Horologiographia , the Art of Dialing de Thomas Fale .
25. Gunter, Edmund (1620). Canon triangulorum .
26. Roegel, Denis, ed. (6 de diciembre de 2010). "Una reconstrucción del Canon triangulorum de Gunter (1620)" (Informe de investigación). HAL. inria-00543938. Archivado desde el original el 28 de julio de 2017 . Consultado el 28 de julio de 2017 .
27. "coseno".
28. Zimmermann, Paul (2006), "¿Podemos confiar en los números de punto flotante?", Grandes desafíos de la informática (PDF) , p. 31/14, archivado (PDF) desde el original el 16 de julio de 2011 , consultado el 11 de septiembre de 2010
29. "Sinpi de documentación de MATLAB
30. "R Documentación sinpi
31. "Sinpi de documentación de OpenCL
32. "Julia Documentación sinpi
33. "Documentación CUDA sinpi
34. "Sinpi de documentación ARM
35. "Ficha técnica del sensor de ángulo ALLEGRO

Referencias

• Traupman, Ph.D., John C. (1966), Diccionario de latín e inglés del New College , Toronto: Bantam, ISBN 0-553-27619-0
• Séptimo nuevo diccionario colegiado de Webster , Springfield: G. & C. Merriam Company, 1969

enlaces externos

• Medios relacionados con la función seno en Wikimedia Commons