Métodos sin malla

Métodos de análisis numérico que no requieren conocimiento de puntos vecinos

20 puntos y sus celdas de Voronoi

En el campo del análisis numérico , los métodos sin malla son aquellos que no requieren conexión entre nodos del dominio de simulación, es decir, una malla , sino que se basan en la interacción de cada nodo con todos sus vecinos. Como consecuencia, las propiedades extensivas originales, como la masa o la energía cinética, ya no se asignan a los elementos de la malla, sino a los nodos individuales. Los métodos sin malla permiten la simulación de algunos tipos de problemas que de otro modo serían difíciles, a costa de un tiempo de cálculo y un esfuerzo de programación adicionales. La ausencia de una malla permite simulaciones lagrangianas , en las que los nodos pueden moverse de acuerdo con el campo de velocidad .

Motivación

Los métodos numéricos como el método de diferencias finitas , el método de volúmenes finitos y el método de elementos finitos se definieron originalmente en mallas de puntos de datos. En una malla de este tipo, cada punto tiene un número fijo de vecinos predefinidos, y esta conectividad entre vecinos se puede utilizar para definir operadores matemáticos como la derivada . Estos operadores se utilizan luego para construir las ecuaciones que se van a simular, como las ecuaciones de Euler o las ecuaciones de Navier-Stokes .

Sin embargo, en simulaciones en las que el material que se simula puede moverse (como en la dinámica de fluidos computacional ) o donde pueden ocurrir grandes deformaciones del material (como en simulaciones de materiales plásticos ), la conectividad de la malla puede ser difícil de mantener sin introducir errores en la simulación. Si la malla se enreda o se degenera durante la simulación, los operadores definidos en ella pueden dejar de dar valores correctos. La malla se puede recrear durante la simulación (un proceso llamado remallado), pero esto también puede introducir errores, ya que todos los puntos de datos existentes deben asignarse a un conjunto nuevo y diferente de puntos de datos. Los métodos sin malla están destinados a remediar estos problemas. Los métodos sin malla también son útiles para:

• Simulaciones en las que crear una malla útil a partir de la geometría de un objeto 3D complejo puede resultar especialmente difícil o requerir asistencia humana.
• Simulaciones en las que se pueden crear o destruir nodos, como en las simulaciones de craqueo.
• Simulaciones en las que la geometría del problema puede desalinearse con respecto a una malla fija, como en las simulaciones de flexión.
• Simulaciones que contienen comportamiento de material no lineal, discontinuidades o singularidades

Ejemplo

En una simulación de diferencias finitas tradicional , el dominio de una simulación unidimensional sería alguna función , representada como una malla de valores de datos en los puntos , donde ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle u_{i}^{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle i=0,1,2...}$

${\displaystyle n=0,1,2...}$

${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h\ \forall i}$

${\displaystyle t_{n+1}-t_{n}=k\ \forall n}$

Podemos definir las derivadas que ocurren en la ecuación que se está simulando utilizando algunas fórmulas de diferencias finitas en este dominio, por ejemplo

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n} \over 2h}}$

y

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}={u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n} \over k}}$

Luego podemos usar estas definiciones de y sus derivadas espaciales y temporales para escribir la ecuación que se está simulando en forma de diferencias finitas y luego simular la ecuación con uno de los muchos métodos de diferencias finitas . ${\displaystyle u(x,t)}$

En este ejemplo simple, los pasos (aquí el paso espacial y el paso temporal ) son constantes a lo largo de toda la malla, y los vecinos izquierdo y derecho de la malla del valor de datos en son los valores en y , respectivamente. Generalmente, en diferencias finitas se pueden permitir de manera muy simple pasos variables a lo largo de la malla, pero todos los nodos originales deben conservarse y pueden moverse independientemente solo deformando los elementos originales. Si incluso solo dos de todos los nodos cambian su orden, o incluso solo se agrega o elimina un nodo de la simulación, eso crea un defecto en la malla original y la simple aproximación de diferencias finitas ya no puede mantenerse. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i+1}}$

La hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH), uno de los métodos sin malla más antiguos, resuelve este problema al tratar los puntos de datos como partículas físicas con masa y densidad que pueden moverse a lo largo del tiempo y llevar consigo algún valor. La SPH luego define el valor de entre las partículas mediante ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle u(x,t_{n})=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}W(|x-x_{i}|)}$

donde es la masa de la partícula , es la densidad de la partícula y es una función kernel que opera en puntos de datos cercanos y se elige por suavidad y otras cualidades útiles. Por linealidad, podemos escribir la derivada espacial como ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=\sum _{i}m_{i}{\frac {u_{i}^{n}}{\rho _{i}}}{\partial W(|x-x_{i}|) \over \partial x}}$

Luego podemos usar estas definiciones de y sus derivadas espaciales para escribir la ecuación que se está simulando como una ecuación diferencial ordinaria y simular la ecuación con uno de los muchos métodos numéricos . En términos físicos, esto significa calcular las fuerzas entre las partículas y luego integrar estas fuerzas a lo largo del tiempo para determinar su movimiento. ${\displaystyle u(x,t)}$

La ventaja de SPH en esta situación es que las fórmulas para y sus derivados no dependen de ninguna información de adyacencia sobre las partículas; pueden usar las partículas en cualquier orden, por lo que no importa si las partículas se mueven o incluso intercambian lugares. ${\displaystyle u(x,t)}$

Una desventaja de SPH es que requiere programación adicional para determinar los vecinos más cercanos de una partícula. Dado que la función kernel solo devuelve resultados distintos de cero para partículas cercanas dentro del doble de la "longitud de suavizado" (porque normalmente elegimos funciones kernel con soporte compacto ), sería una pérdida de esfuerzo calcular las sumas anteriores sobre cada partícula en una simulación grande. Por lo tanto, normalmente los simuladores SPH requieren algún código adicional para acelerar este cálculo del vecino más cercano. ${\displaystyle W}$

Historia

Uno de los primeros métodos sin malla es la hidrodinámica de partículas suavizadas , presentada en 1977. ^[1] Libersky et al. ^[2] fueron los primeros en aplicar la hidrodinámica de partículas suavizadas en la mecánica de sólidos. Las principales desventajas de la hidrodinámica de partículas suavizadas son los resultados inexactos cerca de los límites y la inestabilidad de la tensión que fue investigada por primera vez por Swegle. ^[3]

En la década de 1990 surgió una nueva clase de métodos sin malla basada en el método Galerkin . Este primer método llamado método de elementos difusos ^[4] (DEM), iniciado por Nayroles et al., utilizó la aproximación MLS en la solución Galerkin de ecuaciones diferenciales parciales, con derivadas aproximadas de la función MLS. Posteriormente, Belytschko fue pionero en el método Galerkin sin elementos (EFG), ^[5] que empleaba MLS con multiplicadores de Lagrange para imponer condiciones de contorno, cuadratura numérica de orden superior en la forma débil y derivadas completas de la aproximación MLS que brindaba una mejor precisión. Casi al mismo tiempo, surgió el método de partículas de núcleo reproductor ^[6] (RKPM), la aproximación motivada en parte para corregir la estimación del núcleo en SPH: para brindar precisión cerca de los límites, en discretizaciones no uniformes y precisión de orden superior en general. Cabe destacar que, en un desarrollo paralelo, los métodos de puntos materiales se desarrollaron casi al mismo tiempo ^[7] que ofrecen capacidades similares. Los métodos de puntos materiales se utilizan ampliamente en la industria cinematográfica para simular la mecánica de sólidos de gran deformación, como la nieve en la película Frozen . ^[8] RKPM y otros métodos sin malla fueron desarrollados ampliamente por Chen, Liu y Li a fines de la década de 1990 para una variedad de aplicaciones y varias clases de problemas. ^[9] Durante la década de 1990 y posteriormente, se desarrollaron varias otras variedades, incluidas las que se enumeran a continuación.

Lista de métodos y acrónimos

Los siguientes métodos numéricos se consideran generalmente dentro de la clase general de métodos "sin malla". Los acrónimos se proporcionan entre paréntesis.

• Hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH) (1977)
• Método de elementos difusos (DEM) (1992)
• Dinámica de partículas disipativas (DPD) (1992)
• Método de Galerkin libre de elementos (EFG/EFGM) (1994)
• Método de reproducción de partículas del núcleo (RKPM) (1995)
• Método de puntos finitos (MPF) (1996)
• Método de puntos finitos (FPM) (1998)
• nubes hp
• Método de elementos naturales (NEM)
• Método de puntos materiales (MPM)
• Petrov Galerkin local sin malla (MLPG) (1998) ^[10]
• Formulación sin malla de deformación generalizada (GSMF) (2016) ^[11]
• Partícula móvil semi-implícita (MPS)
• Método de diferencias finitas generalizadas (GFDM) ^{[12] [13]}
• Partícula en la celda (PIC)
• Método de elementos finitos de partículas móviles (MPFEM)
• Método de nubes finitas (FCM)
• Método de nodo límite (BNM)
• Método de interpolación de Kriging móvil sin malla (MK)
• Método de nubes límite (BCM)
• Método de soluciones fundamentales (MFS)
• Método de solución particular (MPS)
• Método de esferas finitas (MFS)
• Método de vórtice discreto (DVM)
• Método de reproducción de partículas de núcleo (RKPM) (1995) ^[14]
• Método de partículas kernel de reproducción generalizada/de gradiente (2011) ^[15]
• Método de masa finita (FMM) (2000) ^[16]
• Método de interpolación de puntos suavizados (S-PIM) (2005). ^[17]
• Método de interpolación radial de puntos locales sin malla (RPIM). ^[17]
• Método de colocación de funciones de base radial local (LRBFCM) ^[18]
• Método de dominios de vórtices viscosos (VVD)
• Método de Partículas de Craqueo (CPM) (2004)
• Método de mínimos cuadrados discretos sin malla (DLSM) (2006)
• Método de partículas sumergidas (IPM) (2006)
• Método de transporte óptimo sin malla (OTM) (2010) ^[19]
• Método de reemplazo repetido (RRM) (2012) ^[20]
• Método de ecuación integral de base radial ^[21]
• Método de colocación sin malla de mínimos cuadrados (2001) ^[22]
• Método de funciones de base exponencial (EBF) (2010) ^[23]

Métodos relacionados:

• Mínimos cuadrados móviles (MLS): proporciona un método de aproximación general para un conjunto arbitrario de nodos
• Métodos de partición de unidad (PoUM): proporcionan una formulación de aproximación general utilizada en algunos métodos sin malla
• Método de mezcla continua (enriquecimiento y acoplamiento de elementos finitos y métodos sin malla) – ver Huerta & Fernández-Méndez (2000)
• FEM extendido , FEM generalizado (XFEM, GFEM): variantes del FEM (método de elementos finitos) que combinan algunos aspectos sin malla
• Método de elementos finitos suavizados (S-FEM) (2007)
• Método de suavizado de gradiente (GSM) (2008)
• Avance en la generación de nodos frontales (AFN) ^[24]
• Entropía local máxima (LME): véase Arroyo y Ortiz (2006)
• Método de colocación sin malla espacio-temporal (STMCM): consulte Netuzhylov (2008), Netuzhylov y Zilian (2009)
• Método de elementos finitos de interfaz sin malla (MIFEM) (2015): un método híbrido de elementos finitos sin malla para la simulación numérica de problemas de transformación de fase y flujo multifásico ^[25]

Desarrollo reciente

Las principales áreas de avance en los métodos sin malla son abordar problemas con la aplicación de límites esenciales, cuadratura numérica y contacto y grandes deformaciones. ^{[26] La} forma débil común requiere una fuerte aplicación de las condiciones de límite esenciales, pero los métodos sin malla en general carecen de la propiedad delta de Kronecker . Esto hace que la aplicación de las condiciones de límite esenciales no sea trivial, al menos más difícil que el método de elementos finitos , donde se pueden imponer directamente. Se han desarrollado técnicas para superar esta dificultad e imponer condiciones de manera fuerte. Se han desarrollado varios métodos para imponer las condiciones de límite esenciales de manera débil , incluidos los multiplicadores de Lagrange , el método de Nitche y el método de penalización.

En cuanto a la cuadratura , generalmente se prefiere la integración nodal, que ofrece simplicidad, eficiencia y mantiene el método sin malla libre de cualquier malla (a diferencia del uso de la cuadratura de Gauss , que necesita una malla para generar puntos de cuadratura y pesos). Sin embargo, la integración nodal sufre de inestabilidad numérica debido a la subestimación de la energía de deformación asociada con los modos de longitud de onda corta, ^[27] y también produce resultados inexactos y no convergentes debido a la subintegración de la forma débil. ^[28] Un avance importante en la integración numérica ha sido el desarrollo de una integración nodal conforme estabilizada (SCNI) que proporciona un método de integración nodal que no sufre ninguno de estos problemas. ^[28] El método se basa en el suavizado de la deformación que satisface la prueba de parche de primer orden . Sin embargo, más tarde se comprendió que los modos de baja energía todavía estaban presentes en SCNI, y se han desarrollado métodos de estabilización adicionales. Este método se ha aplicado a una variedad de problemas que incluyen placas delgadas y gruesas, poromecánica, problemas dominados por convección, entre otros. ^[26] Más recientemente, se ha desarrollado un marco para pasar pruebas de parche de orden arbitrario, basado en un método de Petrov-Galerkin . ^[29]

Un avance reciente en los métodos sin malla apunta al desarrollo de herramientas computacionales para la automatización en modelado y simulaciones. Esto es posible gracias a la llamada formulación débil debilitada (W2) basada en la teoría del espacio G. ^{[30] [31]} La formulación W2 ofrece posibilidades para formular varios modelos (uniformemente) "suaves" que funcionan bien con mallas triangulares. Debido a que una malla triangular se puede generar automáticamente, se vuelve mucho más fácil volver a mallar y, por lo tanto, permite la automatización en el modelado y la simulación. Además, los modelos W2 se pueden hacer lo suficientemente suaves (de manera uniforme) para producir soluciones de límite superior (para problemas de impulso de fuerza). Junto con los modelos rígidos (como los modelos FEM totalmente compatibles), se puede limitar convenientemente la solución desde ambos lados. Esto permite una fácil estimación de errores para problemas generalmente complicados, siempre que se pueda generar una malla triangular. Los modelos W2 típicos son los métodos de interpolación de puntos suavizados (o S-PIM). ^[17] El S-PIM puede estar basado en nodos (conocido como NS-PIM o LC-PIM), ^[32] basado en bordes (ES-PIM), ^[33] y basado en celdas (CS-PIM). ^[34] El NS-PIM se desarrolló utilizando la llamada técnica SCNI. ^[28] Luego se descubrió que el NS-PIM es capaz de producir una solución de límite superior y un bloqueo volumétrico libre. ^[35] El ES-PIM se encontró superior en precisión, y el CS-PIM se comporta entre el NS-PIM y el ES-PIM. Además, las formulaciones W2 permiten el uso de funciones de base polinómicas y radiales en la creación de funciones de forma (acomoda las funciones de desplazamiento discontinuas, siempre que esté en el espacio G1), lo que abre más espacios para futuros desarrollos. La formulación W2 también ha llevado al desarrollo de la combinación de técnicas sin malla con las técnicas FEM bien desarrolladas, y ahora se puede usar una malla triangular con excelente precisión y la suavidad deseada. Una formulación típica de este tipo es el llamado método de elementos finitos suavizados (o S-FEM). ^[36] El S-FEM es la versión lineal del S-PIM, pero con la mayoría de las propiedades del S-PIM y mucho más simple.

Existe la percepción general de que los métodos sin malla son mucho más costosos que sus contrapartes FEM. Sin embargo, un estudio reciente ha descubierto que algunos métodos sin malla, como el S-PIM y el S-FEM, pueden ser mucho más rápidos que sus contrapartes FEM. ^{[17] [36]}

El S-PIM y el S-FEM funcionan bien para problemas de mecánica de sólidos. Para problemas de CFD, la formulación puede ser más simple, a través de una formulación fuerte. Recientemente también se ha desarrollado un método de suavizado de gradiente (GSM) para problemas de CFD, implementando la idea de suavizado de gradiente en forma fuerte. ^{[37] [38]} El GSM es similar a [FVM], pero utiliza operaciones de suavizado de gradiente exclusivamente en formas anidadas, y es un método numérico general para EDP.

Se ha propuesto la integración nodal como una técnica para utilizar elementos finitos para emular un comportamiento sin malla. ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, el obstáculo que se debe superar al utilizar elementos integrados nodalmente es que las cantidades en los puntos nodales no son continuas y los nodos se comparten entre múltiples elementos.

Véase también

• Mecánica de medios continuos
• Método de elementos finitos suavizados ^[36]
• Espacio G ^[39]
• Forma débil debilitada ^{[30] [31]}
• Método de elementos de contorno
• Método de límite inmerso
• Código de plantilla
• Método de partículas

Referencias

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Lectura adicional

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• Liu, MB; Liu, GR; Zong, Z. (20 de noviembre de 2011). "Una visión general de la hidrodinámica de partículas suavizadas". Revista internacional de métodos computacionales . 05 (1): 135–188. doi :10.1142/S021987620800142X.
• Liu, GR; Liu, MB (2003). Hidrodinámica de partículas suavizadas, un método de partículas sin malla . World Scientific. ISBN 981-238-456-1.
• Atluri, SN (2004). El método sin malla (MLPG) para la discretización de dominios y BIE . Tech Science Press. ISBN 0-9657001-8-6.
• Arroyo, M.; Ortiz, M. (26 de marzo de 2006). "Esquemas de aproximación de entropía local máxima: un puente sin fisuras entre los métodos de elementos finitos y de malla libre". Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería . 65 (13): 2167–2202. Bibcode :2006IJNME..65.2167A. CiteSeerX  10.1.1.68.2696 . doi :10.1002/nme.1534. S2CID  15974625.
• Belytschko, T., Chen, JS (2007). Métodos de partículas y sin malla , John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-470-84800-6 
• Belytschko, T.; Huerta, A.; Fernández-Méndez, S.; Rabczuk, T. (2004), "Métodos sin malla", Encyclopedia of Computational Mechanics Vol. 1 Capítulo 10, John Wiley & Sons. ISBN 0-470-84699-2 
• Liu, GR 1.ª ed., 2002. Métodos sin malla , CRC Press. ISBN 0-8493-1238-8 . 
• Li, S., Liu, WK (2004). Métodos de partículas sin malla , Berlín: Springer Verlag. ISBN 3-540-22256-1 
• Huerta, Antonio; Fernández-Méndez, Sonia (20 de agosto de 2000). "Enriquecimiento y acoplamiento de los métodos de elementos finitos y sin malla" (PDF) . Revista Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería . 48 (11): 1615–1636. Bibcode :2000IJNME..48.1615H. doi :10.1002/1097-0207(20000820)48:11<1615::AID-NME883>3.0.CO;2-S. hdl : 2117/8264 . S2CID  122813651.
• Netuzhylov, H. (2008), "Un método de colocación sin malla de espacio-tiempo para problemas acoplados en dominios de forma irregular", disertación, TU Braunschweig, CSE – Ciencias computacionales en ingeniería ISBN  978-3-00-026744-4 , también como edición electrónica.
• Netuzhylov, Hennadiy; Zilian, Andreas (15 de octubre de 2009). "Método de colocación sin malla espacio-temporal: metodología y aplicación a problemas de valores iniciales en la frontera". Revista internacional de métodos numéricos en ingeniería . 80 (3): 355–380. Bibcode :2009IJNME..80..355N. doi :10.1002/nme.2638. S2CID  122969330.
• Alhuri, Y.; Naji, A.; Ouazar, D.; Taik, A. (26 de agosto de 2010). "Método sin malla basado en RBF para simulaciones de aguas poco profundas a gran escala: validación experimental". Modelado matemático de fenómenos naturales . 5 (7): 4–10. doi : 10.1051/mmnp/20105701 .
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• Gross, BJ; Trask, N.; Kuberry, P.; Atzberger, PJ (15 de mayo de 2020). "Métodos sin malla en variedades para flujos hidrodinámicos en superficies curvas: un enfoque de mínimos cuadrados móviles generalizados (GMLS)". Journal of Computational Physics . 409 : 109340. arXiv : 1905.10469 . Bibcode :2020JCoPh.40909340G. doi :10.1016/j.jcp.2020.109340. S2CID  166228451.
• Gross, BJ; Kuberry, P.; Atzberger, PJ (15 de marzo de 2022). "Estadísticas de tiempo de primer paso en superficies de forma general: solucionadores de ecuaciones diferenciales parciales de superficie que utilizan mínimos cuadrados móviles generalizados (GMLS)". Journal of Computational Physics . 453 : 110932. arXiv : 2102.02421 . Bibcode :2022JCoPh.45310932G. doi :10.1016/j.jcp.2021.110932. ISSN  0021-9991. S2CID  231802303.

Enlaces externos

• El blog de USACM sobre métodos sin malla