Método Petrov-Galerkin

El método Petrov-Galerkin es un método matemático utilizado para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales que contienen términos con orden impar y donde la función de prueba y la función de solución pertenecen a espacios funcionales diferentes. ^[1] Puede verse como una extensión del método Bubnov-Galerkin donde las bases de las funciones de prueba y las funciones de solución son las mismas. En una formulación de operador de la ecuación diferencial, se puede considerar que el método de Petrov-Galerkin aplica una proyección que no es necesariamente ortogonal, a diferencia del método de Bubnov-Galerkin .

Lleva el nombre de los científicos soviéticos Georgy I. Petrov y Boris G. Galerkin . ^[2]

Introducción con un problema abstracto.

El método de Petrov-Galerkin es una extensión natural del método Galerkin y puede introducirse de manera similar de la siguiente manera.

Un problema de formulación débil

Consideremos un problema abstracto planteado como una formulación débil en un par de espacios de Hilbert y , a saber, ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

encontrar tal que para todos . ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle a(u,w)=f(w)}$ ${\displaystyle w\in W}$

Aquí, es una forma bilineal y es un funcional lineal acotado en . ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$

Reducción de dimensiones de Petrov-Galerkin

Elija subespacios de dimensión n y de dimensión m y resuelva el problema proyectado: ${\displaystyle V_{n}\subset V}$ ${\displaystyle W_{m}\subset W}$

Encuentra tal que para todos . ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$ ${\displaystyle a(v_{n},w_{m})=f(w_{m})}$ ${\displaystyle w_{m}\in W_{m}}$

Notamos que la ecuación no ha cambiado y solo han cambiado los espacios. Reducir el problema a un subespacio vectorial de dimensión finita nos permite calcular numéricamente como una combinación lineal finita de los vectores base en . ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$

Ortogonalidad generalizada de Petrov-Galerkin

La propiedad clave del enfoque de Petrov-Galerkin es que el error es, en cierto sentido, "ortogonal" a los subespacios elegidos. Dado que podemos usarlo como vector de prueba en la ecuación original. Restando los dos, obtenemos la relación del error, que es el error entre la solución del problema original, y la solución de la ecuación de Galerkin, de la siguiente manera ${\displaystyle W_{m}\subset W}$ ${\displaystyle w_{m}}$ ${\displaystyle \epsilon _{n}=v-v_{n}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},w_{m})=a(v,w_{m})-a(v_{n},w_{m})=f(w_{m})-f(w_{m})=0}$para todos . ${\displaystyle w_{m}\in W_{m}}$

forma matricial

Dado que el objetivo de la aproximación es producir un sistema lineal de ecuaciones , construimos su forma matricial, que puede usarse para calcular la solución algorítmicamente.

Sea una base para y sea una base para . Entonces, es suficiente usar estos a su vez para probar la ecuación de Galerkin, es decir: encontrar tal que ${\displaystyle v^{1},v^{2},\ldots ,v^{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle w^{1},w^{2},\ldots ,w^{m}}$ ${\displaystyle W_{m}}$ ${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(v_{n},w^{j})=f(w^{j})\quad j=1,\ldots ,m.}$

Expandimos con respecto a la base de la solución y la insertamos en la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle v_{n}}$ ${\displaystyle v_{n}=\sum _{i=1}^{n}x^{i}v^{i}}$

${\displaystyle a\left(\sum _{i=1}^{n}x^{i}v^{i},w^{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}x^{i}a(v^{i},w^{j})=f(w^{j})\quad j=1,\ldots ,m.}$

Esta ecuación anterior es en realidad un sistema lineal de ecuaciones , donde ${\displaystyle A^{T}x=f}$

${\displaystyle A_{ij}=a(v^{i},w^{j}),\quad f_{j}=f(w^{j}).}$

Simetría de la matriz.

Debido a la definición de las entradas de la matriz, la matriz es simétrica si , la forma bilineal es simétrica, , , y para todos. En contraste con el caso del método Bubnov-Galerkin , la matriz del sistema no es incluso cuadrada, si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V=W}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle V_{n}=W_{m}}$ ${\displaystyle v^{i}=w^{j}}$ ${\displaystyle i=j=1,\ldots ,n=m.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\neq m.}$

Ver también

• Método Bubnov-Galerkin

Notas

1. JN Reddy: Introducción al método de los elementos finitos , 2006, Mcgraw-Hill
2. "Georgii Ivanovich Petrov (en su centenario)", Fluid Dynamics, mayo de 2012, volumen 47, número 3, págs. 289-291, DOI 10.1134/S0015462812030015