Mover mínimos cuadrados

Mover mínimos cuadrados es un método para reconstruir funciones continuas a partir de un conjunto de muestras puntuales no organizadas mediante el cálculo de una medida de mínimos cuadrados ponderada sesgada hacia la región alrededor del punto en el que se solicita el valor reconstruido.

En gráficos por computadora , el método de mínimos cuadrados en movimiento es útil para reconstruir una superficie a partir de un conjunto de puntos. A menudo se utiliza para crear una superficie 3D a partir de una nube de puntos mediante reducción o aumento de resolución .

En el análisis numérico para manejar contribuciones de geometría donde es difícil obtener discretizaciones, los métodos de mínimos cuadrados móviles también se han utilizado y generalizado para resolver PDE en superficies curvas y otras geometrías. ^{[1] [2] [3]} Esto incluye métodos numéricos desarrollados para superficies curvas para resolver PDE parabólicas escalares ^{[1] [3]} y PDE hidrodinámicas con valores vectoriales. ^[2]

En el aprendizaje automático, también se han utilizado métodos de mínimos cuadrados móviles para desarrollar clases de modelos y métodos de aprendizaje. Esto incluye métodos de regresión de funciones ^[4] y enfoques de regresión de operadores y funciones de redes neuronales, como GMLS-Nets. ^[5]

Definición

Aquí hay un ejemplo 2D. Los círculos son las muestras y el polígono es una interpolación lineal. La curva azul es una aproximación suave del orden 3.

Considere una función y un conjunto de puntos muestrales . Entonces, la aproximación de mínimos cuadrados móviles del grado en el punto es donde se minimiza el error de mínimos cuadrados ponderado. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S=\{(x_{i},f_{i})|f(x_{i})=f_{i}\}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {p}}}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}(p(x_{i})-f_{i})^{2}\theta (\|x-x_{i}\|)}$

sobre todos los polinomios de grado en . es el peso y tiende a cero como . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \theta (s)}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

En el ejemplo . El interpolador suave de "orden 3" es un interpolador cuadrático. ${\displaystyle \theta (s)=e^{-s^{2}}}$

Ver también

• Regresión local
• Método del elemento difuso
• Media móvil

Referencias

1. Liang, Jian; Zhao, Hongkai (enero de 2013). "Resolución de ecuaciones diferenciales parciales en nubes de puntos". Revista SIAM de Computación Científica . 35 (3): A1461–A1486. Código Bib : 2013SJSC...35A1461L. doi :10.1137/120869730. S2CID  9984491.
2. bruto, BJ; Trask, N.; Kuberry, P.; Atzberger, PJ (15 de mayo de 2020). "Métodos sin malla en colectores para flujos hidrodinámicos en superficies curvas: un enfoque de mínimos cuadrados móviles generalizados (GMLS)". Revista de Física Computacional . 409 : 109340. arXiv : 1905.10469 . Código Bib : 2020JCoPh.40909340G. doi : 10.1016/j.jcp.2020.109340. S2CID  166228451.
3. bruto, BJ; Kuberry, P.; Atzberger, PJ (15 de marzo de 2022). "Estadísticas de tiempo de primer paso en superficies de forma general: solucionadores de PDE de superficie que utilizan mínimos cuadrados móviles generalizados (GMLS)". Revista de Física Computacional . 453 : 110932. arXiv : 2102.02421 . Código Bib : 2022JCoPh.45310932G. doi :10.1016/j.jcp.2021.110932. ISSN  0021-9991. S2CID  231802303.
4. Wang, Hong-Yan; Xiang, Dao-Hong; Zhou, Ding-Xuan (1 de marzo de 2010). "Método de mínimos cuadrados en movimiento en la teoría del aprendizaje". Revista de teoría de la aproximación . 162 (3): 599–614. doi : 10.1016/j.jat.2009.12.002 . ISSN  0021-9045.
5. Trask, Nathaniel; Patel, Ravi G.; Bruto, Ben J.; Atzberger, Paul J. (13 de septiembre de 2019). "GMLS-Nets: un marco para aprender a partir de datos no estructurados". arXiv : 1909.05371 [cs.LG].

• El poder de aproximación de los mínimos cuadrados en movimiento David Levin, Mathematics of Computation, Volumen 67, 1517-1531, 1998 [1]
• Aproximación de superficies de respuesta de mínimos cuadrados móviles: aplicaciones de formulación y conformado de metales Piotr Breitkopf; Hakim Naceur; Alain Rassineux; Pierre Villon, Computadoras y estructuras, volumen 83, 17-18, 2005.
• Generalizando el método de los elementos finitos: aproximación difusa y elementos difusos, B Nayroles, G Touzot. Pierre Villon, P, Mecánica Computacional Volumen 10, págs. 307-318, 1992

enlaces externos

• Una introducción lo más breve posible a los métodos de mínimos cuadrados, mínimos cuadrados ponderados y mínimos cuadrados móviles para la aproximación e interpolación de datos dispersos