Método de partículas

Clase de métodos numéricos en computación científica

Los métodos de partículas son una clase de algoritmos numéricos ampliamente utilizados en la computación científica. Su aplicación abarca desde la dinámica de fluidos computacional (CFD) hasta la dinámica molecular (MD) y los métodos de elementos discretos .

Historia

Uno de los primeros métodos de partículas es la hidrodinámica de partículas suavizadas , presentada en 1977. ^[1] Libersky et al. ^[2] fueron los primeros en aplicar la SPH en la mecánica de sólidos. Las principales desventajas de la SPH son los resultados inexactos cerca de los límites y la inestabilidad de la tensión que fue investigada por primera vez por Swegle. ^[3]

En la década de 1990 surgió una nueva clase de métodos de partículas. Surgió el método de partículas de núcleo reproductor ^[4] (RKPM), la aproximación motivada en parte para corregir la estimación del núcleo en SPH: para dar precisión cerca de los límites, en discretizaciones no uniformes y precisión de orden superior en general. Cabe destacar que, en un desarrollo paralelo, los métodos de punto material se desarrollaron aproximadamente al mismo tiempo ^[5] que ofrecen capacidades similares. Durante la década de 1990 y posteriormente se desarrollaron varias otras variedades, incluidas las que se enumeran a continuación.

Lista de métodos y acrónimos

Los siguientes métodos numéricos se consideran generalmente dentro de la clase general de métodos de "partículas". Las siglas se indican entre paréntesis.

• Hidrodinámica de partículas suavizadas (SPH) (1977)
• Dinámica de partículas disipativas (DPD) (1992)
• Método de reproducción de partículas del núcleo (RKPM) (1995)
• Partícula móvil semi-implícita (MPS)
• Partícula en la celda (PIC)
• Método de elementos finitos de partículas móviles (MPFEM)
• Método de partículas de craqueo (CPM) (2004)
• Método de partículas sumergidas (IPM) (2006)

Definición

La definición matemática de los métodos de partículas captura las similitudes estructurales de todos los métodos de partículas. ^[6] Por lo tanto, permite el razonamiento formal en todos los dominios de aplicación. La definición está estructurada en tres partes: primero, la estructura del algoritmo del método de partículas, incluidos los componentes estructurales, es decir, las estructuras de datos y las funciones. Segundo, la definición de una instancia del método de partículas. Una instancia del método de partículas describe un problema o entorno específico, que se puede resolver o simular utilizando el algoritmo del método de partículas. Tercero, la definición de la función de transición de estado de partículas. La función de transición de estado describe cómo un método de partículas procede desde la instancia hasta el estado final utilizando las estructuras de datos y las funciones del algoritmo del método de partículas. ^[6]

Un algoritmo de método de partículas es una tupla de 7 , que consta de dos estructuras de datos ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&P:=A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}&&{\text{the particle space,}}\\&G:=B_{1}\times B_{2}\times ...\times B_{m}&&{\text{the global variable space,}}\end{aligned}}}$

tal que es el espacio de estados del método de partículas, y cinco funciones: ${\displaystyle [G\times P^{*}]}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&u:[G\times P^{*}]\times \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ^{*}&&{\text{the neighborhood function,}}\\&f:G\rightarrow \{\top ,\bot \}&&{\text{the stopping condition,}}\\&i:G\times P\times P\rightarrow P\times P&&{\text{the interact function,}}\\&e:G\times P\rightarrow G\times P^{*}\ &&{\text{the evolve function,}}\\&{\overset {\circ }{e}}:G\rightarrow G&&{\text{the evolve function of the global variable.}}\end{aligned}}}$

Un estado inicial define una instancia de método de partícula para un algoritmo de método de partícula dado : ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$

${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]\in [G\times P^{*}].}$

La instancia consta de un valor inicial para la variable global y una tupla inicial de partículas . ${\displaystyle g^{1}\in G}$ ${\displaystyle \mathbf {p} ^{1}\in P^{*}}$

En un método de partícula específico, se deben especificar los elementos de la tupla . Dado un punto de inicio específico definido por una instancia , el algoritmo procede en iteraciones. Cada iteración corresponde a un paso de transición de estado que avanza el estado actual del método de partícula al siguiente estado . La transición de estado utiliza las funciones para determinar el siguiente estado. La función de transición de estado genera una serie de pasos de transición de estado hasta que la función de detención es . El estado final calculado de esta manera es el resultado de la función de transición de estado. La función de transición de estado es idéntica para cada método de partícula. ${\displaystyle (P,G,u,f,i,e,{\overset {\circ }{e}})}$ ${\displaystyle [g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [g^{t},\mathbf {p} ^{t}]}$ ${\displaystyle [g^{t+1},\mathbf {p} ^{t+1}]}$ ${\displaystyle u,i,e,{\overset {\circ }{e}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle true}$

La función de transición de estado se define como

${\displaystyle S:[G\times P^{*}]\rightarrow [G\times P^{*}]}$

con

${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]:=S([g^{1},\mathbf {p} ^{1}])}$.

El pseudocódigo ilustra la función de transición de estado del método de partículas:

1 2 mientras 3 para 4 5 para 6 7 8 para 9 10
11
12
13 ​ ​
​  ${\displaystyle [g,\mathbf {p} ]=[g^{1},\mathbf {p} ^{1}]}$  ${\displaystyle f(g)=false}$  ${\displaystyle j=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =u([g,\mathbf {p} ],j)}$  ${\displaystyle l=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle (p_{j},p_{k_{j}})=i(g,p_{j},p_{k_{j}})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =()}$  ${\displaystyle j=1}$   ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle (g,{\overline {\mathbf {q} }})=e(g,p_{j})}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} \circ {\overline {\mathbf {q} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {q} }$ ${\displaystyle g={\overset {\circ }{e}}(g)}$ ${\displaystyle [g^{T},\mathbf {p} ^{T}]=[g,\mathbf {p} ]}$

Los símbolos fat son tuplas, son tuplas de partículas y es una tupla de índice. es la tupla vacía. El operador es la concatenación de las tuplas de partículas, p. ej ., y es el número de elementos en la tupla , p . ej ., ${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle ()}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})\circ (p_{3},p_{4},p_{5})=(p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5})}$ ${\displaystyle |\mathbf {p} |}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle |(p_{1},p_{2})|=2}$

Véase también

• Mecánica de medios continuos
• Método de elementos de contorno
• Método de límite inmerso
• Código de plantilla
• Métodos sin malla

Referencias

1. Gingold RA, Monaghan JJ (1977). Hidrodinámica de partículas suavizadas: teoría y aplicación a estrellas no esféricas. Mon Not R Astron Soc 181:375–389
2. Libersky, LD, Petscheck, AG, Carney, TC, Hipp, JR, Allahdadi, FA (1993). Hidrodinámica lagrangiana de alta deformación. Journal of Computational Physics .
3. Swegle, JW, Hicks, DL, Attaway, SW (1995). Análisis de estabilidad hidrodinámica de partículas suavizadas. Journal of Computational Physics . 116(1), 123-134
4. Liu, WK, Jun, S., Zhang, YF (1995), Reproducción de métodos de partículas de núcleo, Revista internacional de métodos numéricos en fluidos . 20, 1081-1106.
5. D. Sulsky, Z., Chen, H. Schreyer (1994). Un método de partículas para materiales dependientes de la historia. Métodos informáticos en mecánica aplicada e ingeniería (118) 1, 179-196.
6. Pahlke, Johannes; Sbalzarini, Ivo F. (marzo de 2023). "Una definición matemática unificadora de los métodos de partículas". Revista abierta IEEE de la Sociedad de Computación . 4 : 97–108. doi : 10.1109/OJCS.2023.3254466 . S2CID  257480034.  Este artículo incorpora texto disponible bajo la licencia CC BY 4.0.

Lectura adicional

• Liu MB, Liu GR, Zong Z, UNA VISIÓN GENERAL DE LA HIDRODINÁMICA DE PARTÍCULAS SUAVIZADAS, REVISTA INTERNACIONAL DE MÉTODOS COMPUTACIONALES Vol. 5 Número: 1, 135–188, 2008.
• Liu, GR, Liu, MB (2003). Hidrodinámica de partículas suavizadas, un método de partículas y sin malla , World Scientific, ISBN 981-238-456-1 . 

Enlaces externos

• Métodos de partículas