formulación débil

Las formulaciones débiles son herramientas importantes para el análisis de ecuaciones matemáticas que permiten la transferencia de conceptos del álgebra lineal para resolver problemas en otros campos como las ecuaciones diferenciales parciales . En una formulación débil, ya no es necesario que las ecuaciones o condiciones se cumplan absolutamente (y esto ni siquiera está bien definido) y, en cambio, tiene soluciones débiles sólo con respecto a ciertos "vectores de prueba" o " funciones de prueba ". En una formulación fuerte , el espacio de soluciones se construye de manera que estas ecuaciones o condiciones ya se cumplan.

El teorema de Lax-Milgram , que lleva el nombre de Peter Lax y Arthur Milgram , quienes lo demostraron en 1954, proporciona formulaciones débiles para ciertos sistemas en espacios de Hilbert .

Concepto general

Sea un espacio de Banach , sea el espacio dual de , let , ^{[ se necesita aclaración ]} y let . Un vector es una solución de la ecuación. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\colon V\to V'}$ ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

si y sólo si para todos , ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle [Au](v)=f(v).}$$

Aquí, se denomina vector de prueba (en general) o función de prueba (si es un espacio funcional). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

Para llevar esto a la forma genérica de una formulación débil, encuentre tal que ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$$

definiendo la forma bilineal

$${\displaystyle a(u,v):=[Au](v).}$$

Ejemplo 1: sistema lineal de ecuaciones

Ahora, sea y sea un mapeo lineal . Entonces, la formulación débil de la ecuación ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

implica encontrar tal que para todos se cumpla la siguiente ecuación: ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$$

donde denota un producto interno . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Como es un mapeo lineal, es suficiente probar con vectores base y obtenemos ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

En realidad, ampliando , obtenemos la forma matricial de la ecuación ${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$$

dónde y . ${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$ ${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$

La forma bilineal asociada a esta formulación débil es

$${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$$

Ejemplo 2: ecuación de Poisson

Para resolver la ecuación de Poisson

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$$

en un dominio con su límite , y para especificar el espacio de solución más adelante, se puede usar el producto escalar ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$$

para derivar la formulación débil. Luego, al probar con funciones diferenciables se obtiene ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

El lado izquierdo de esta ecuación se puede hacer más simétrico integrando por partes usando la identidad de Green y asumiendo que en : ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Esto es lo que se suele llamar formulación débil de la ecuación de Poisson . Las funciones en el espacio de solución deben ser cero en el límite y tener derivadas integrables al cuadrado . El espacio apropiado para satisfacer estos requisitos es el espacio de Sobolev de funciones con derivadas débiles en y con condiciones de frontera cero, entonces . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

La forma genérica se obtiene asignando

$${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$$

y

$${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

El teorema de Lax-Milgram

Ésta es una formulación del teorema de Lax-Milgram que se basa en las propiedades de la parte simétrica de la forma bilineal . No es la forma más general.

Sea un espacio de Hilbert y una forma bilineal en , que es ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

1. acotado : y ${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}$
2. coercitivo : ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}$

Entonces, para cualquier , existe una única solución a la ecuación ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$$

y se sostiene

$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}$$

Aplicación al ejemplo 1

En este caso, la aplicación del teorema de Lax-Milgram es un resultado más sólido de lo necesario.

• Acotación: todas las formas bilineales están acotadas. En particular, tenemos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
  $${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}$$
• Coercitividad: esto en realidad significa que las partes reales de los valores propios de no son menores que . Dado que esto implica en particular que ningún valor propio es cero, el sistema tiene solución. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$

Además, esto produce la estimación

$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}$$

. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$

Aplicación al ejemplo 2

Aquí, elige con la norma. ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

$${\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}$$

donde la norma de la derecha es la norma - (esto proporciona una norma verdadera según la desigualdad de Poincaré ). Pero vemos que y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz ,. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}$ ${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}$

Por lo tanto, para cualquier , existe una solución única de la ecuación de Poisson y tenemos la estimación ${\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}$$

Ver también

• Teorema de Babuška-Lax-Milgram
• Teorema de Lions-Lax-Milgram

Referencias

• Lax, Peter D .; Milgram, Arthur N. (1954), "Ecuaciones parabólicas", Contribuciones a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , Annals of Mathematics Studies, vol. 33, Princeton, Nueva Jersey : Princeton University Press , págs. 167–190, doi :10.1515/9781400882182-010, ISBN 9781400882182, SEÑOR  0067317, Zbl  0058.08703

enlaces externos

• Página de MathWorld sobre el teorema de Lax-Milgram