Función coercitiva

En matemáticas , una función coercitiva es una función que "crece rápidamente" en los extremos del espacio en el que está definida. Según el contexto, se utilizan distintas definiciones exactas de esta idea.

Campos vectoriales coercitivos

Un campo vectorial f  : R ⁿ → R ⁿ se llama coercitivo si donde " " denota el producto escalar usual y denota la norma euclidiana usual del vector x . $${\displaystyle {\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\text{ as }}\|x\|\to +\infty ,}$$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \|x\|}$

Un campo vectorial coercitivo es en particular coercitivo según la norma, ya que para , por la desigualdad de Cauchy–Schwarz . Sin embargo, una aplicación coercitiva según la norma f  : R ⁿ → R ⁿ no es necesariamente un campo vectorial coercitivo. Por ejemplo, la rotación f  : R ² → R ² , f ( x ) = (− x ₂ , x ₁ ) de 90° es una aplicación coercitiva según la norma que no es un campo vectorial coercitivo, ya que para cada . ${\displaystyle \|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle f(x)\cdot x=0}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{2}}$

Operadores y formas coercitivos

Un operador autoadjunto donde es un espacio de Hilbert real , se llama coercitivo si existe una constante tal que para todo en ${\displaystyle A:H\to H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle c>0}$ $${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H.}$

Una forma bilineal se llama coercitiva si existe una constante tal que para todo en ${\displaystyle a:H\times H\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c>0}$ $${\displaystyle a(x,x)\geq c\|x\|^{2}}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle H.}$

Del teorema de representación de Riesz se deduce que cualquier forma bilineal simétrica (definida como para todo en ), continua ( para todo en y alguna constante ) y coercitiva tiene la representación ${\displaystyle a(x,y)=a(y,x)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle a(x,y)=\langle Ax,y\rangle }$$

para algún operador autoadjunto que luego resulta ser un operador coercitivo. Además, dado un operador autoadjunto coercitivo, la forma bilineal definida como se indica anteriormente es coercitiva. ${\displaystyle A:H\to H,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle a}$

Si es un operador coercitivo, entonces es una aplicación coercitiva (en el sentido de coercitividad de un campo vectorial, donde uno tiene que reemplazar el producto escalar con el producto interno más general). De hecho, para grande (si es acotado, entonces se sigue fácilmente); entonces reemplazando por obtenemos que es un operador coercitivo. También se puede demostrar que la inversa es cierta si es autoadjunto. Las definiciones de coercitividad para campos vectoriales, operadores y formas bilineales están estrechamente relacionadas y son compatibles. ${\displaystyle A:H\to H}$ ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq C\|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\|x\|^{-2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Mapeos coercitivos de normas

Una aplicación entre dos espacios vectoriales normados se denomina norma-coercitiva si y solo si ${\displaystyle f:X\to X'}$ ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle (X',\|\cdot \|')}$ $${\displaystyle \|f(x)\|'\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$

De manera más general, una función entre dos espacios topológicos y se llama coercitiva si para cada subconjunto compacto de existe un subconjunto compacto de tal que ${\displaystyle f:X\to X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f(X\setminus K)\subseteq X'\setminus K'.}$$

La composición de una aplicación propia biyectiva seguida de una aplicación coercitiva es coercitiva.

Funciones coercitivas (valoradas extendidas)

Una función (con valor extendido) se denomina coercitiva si Una función coercitiva con valor real es, en particular, coercitiva según la norma. Sin embargo, una función coercitiva según la norma no es necesariamente coercitiva. Por ejemplo, la función identidad en es coercitiva según la norma pero no coercitiva. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ $${\displaystyle f(x)\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .}$$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Véase también

• Funciones radialmente ilimitadas

Referencias

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (segunda edición). Nueva York, NY: Springer-Verlag. pp. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0.
• Bashirov, Agamirza E (2003). Sistemas lineales parcialmente observables bajo ruidos dependientes . Basilea; Boston: Birkhäuser Verlag. ISBN 0-8176-6999-X.
• Gilbarg, D.; Trudinger, N. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, 2.ª ed . Berlín; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-41160-7.

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