Método de dominios de vórtices viscosos

El método de dominios de vórtices viscosos ( VVD ) es un método de dinámica de fluidos computacional sin malla para resolver numéricamente de forma directa ecuaciones de Navier-Stokes 2D en coordenadas de Lagrange . ^{[1] [2]} No implementa ningún modelo de turbulencia y está libre de parámetros arbitrarios. La idea principal de este método es presentar un campo de vorticidad con regiones discretas (dominios), que viajan con velocidad difusiva en relación con el fluido y conservan su circulación . El mismo enfoque se utilizó en el método de velocidad de difusión de Ogami y Akamatsu, ^[3] pero VVD utiliza otras fórmulas discretas.

Características

El método VVD se ocupa de fluidos viscosos incompresibles . La viscosidad y la densidad del fluido se consideran constantes. El método se puede ampliar para la simulación de flujos de fluidos conductores de calor (método de dominios térmicos de vórtices viscosos)

Las características principales son:

• Solución directa de ecuaciones de Navier-Stokes ( DNS )
• Cálculo de la fuerza de fricción en las superficies corporales.
• Descripción adecuada de las capas límite (incluso turbulentas)
• Región de computación infinita
• Simulación conveniente de límites deformables ^[4]
• Investigación de la interacción flujo-estructura, ^[5] incluso en caso de masa cero
• Estimación de criterios numéricos de difusión y estabilidad ^[6]

Ecuaciones de gobierno

Esquema del método VVD

El método VVD se basa en un teorema, ^[1] que establece que la circulación en un fluido viscoso se conserva en contornos que viajan con velocidad.

${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {V} +\mathbf {V} _{d};~~~\mathbf {V} _{d}=-\nu {\dfrac {\nabla \mathbf {\Omega } }{|\mathbf {\Omega } |}};~~~\mathbf {\Omega } =[\nabla \times \mathbf {V} ]}$,

donde V es la velocidad del fluido, V _d — velocidad de difusión, ν — viscosidad cinemática . Este teorema muestra similitud con el teorema de circulación de Kelvin , pero funciona para flujos viscosos.

Con base en este teorema, se presenta una región de flujo con circulación no nula con varios dominios (pequeñas regiones con volúmenes finitos), que se mueven con velocidad u y, por lo tanto, su circulación permanece constante. No se rastrean los límites reales de cada dominio, pero se guardan las coordenadas del único punto de rastreo en cada dominio. La matriz de coordenadas y circulaciones de los dominios se conoce a partir de las condiciones de contorno o de las condiciones iniciales . Tal movimiento da como resultado la evolución de la vorticidad y satisface las ecuaciones de Navier-Stokes. ${\displaystyle \gamma }$

Fórmulas discretas

Interacción difusiva vórtice-vórtice

Interacción difusiva cuerpo-vórtice

La velocidad del fluido V en el punto r se puede calcular con ayuda de la ley de Biot-Savart

${\displaystyle \mathbf {V} (\mathbf {r} )={\dfrac {1}{2\pi }}\sum _{i}\gamma _{i}\cdot \left[\mathbf {e} _{z}\times {\dfrac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})^{2}+\delta ^{2}}}\right]}$

donde i indica los dominios en flujo, r _i es el punto de seguimiento del dominio y γ _i es su circulación. δ es el llamado "radio de discreción", un valor pequeño que suaviza el vórtice y ayuda a eliminar la singularidad en el punto de seguimiento del dominio. ^[6] Es igual a la distancia media entre dominios.

El cálculo de la velocidad de difusión es más difícil ^{[1] [4]}

${\displaystyle \mathbf {V} _{d}(\mathbf {r} )=\nu \left({\dfrac {\mathbf {I} _{2}(\mathbf {r} )}{I_{1}(\mathbf {r} )}}+{\dfrac {\mathbf {I} _{3}(\mathbf {r} )}{2\pi \varepsilon ^{2}-I_{0}(\mathbf {r} )}}\right)}$

La primera fracción produce interacción vórtice-vórtice ( i — índice de vórtice).

${\displaystyle \mathbf {I} _{2}(\mathbf {r} )=\sum \limits _{i}{\dfrac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}}{\varepsilon \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|}}\cdot \gamma _{i}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|/\varepsilon )}$

${\displaystyle I_{1}(\mathbf {r} )={\sum \limits _{i}\gamma _{i}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|/\varepsilon )}}$

La segunda fracción representa la repulsión en el límite del vórtice. Ayuda a calcular ∇Ω cerca de la superficie del cuerpo y a describir correctamente la capa límite.

${\displaystyle \mathbf {I} _{3}(\mathbf {r} )={\sum \limits _{k}d\mathbf {S} _{k}\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon )}}$

${\displaystyle I_{0}(\mathbf {r} )={\varepsilon ^{2}\sum \limits _{k}{\dfrac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon +1}{(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k})^{2}}}\cdot ((\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k})\cdot d\mathbf {S} _{k})\cdot \exp(-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{k}\right|/\varepsilon )}}$

Aquí k indexa los segmentos límite, r _k — su centro, d S _k — su normal multiplicada por la longitud .

Referencias

1. Dynnikova, G. Ya. (1 de noviembre de 2004). "El enfoque lagrangiano para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes dependientes del tiempo". Física Doklady . 49 (11): 648–652. Bibcode :2004DokPh..49..648D. doi :10.1134/1.1831530. S2CID  120396276.
2. Dynnikova, G.Ya. (16–21 de mayo de 2010). "El método de dominios de vórtices viscosos (VVD) para la simulación de flujo incompresible viscoso no estacionario" (PDF) . Actas de la IV Conferencia Europea sobre Mecánica Computacional, París, Francia .
3. Ogami, Yoshifumi; Akamatsu, Teruaki (31 de diciembre de 1990). "Simulación de flujo viscoso utilizando el modelo de vórtice discreto: el método de velocidad de difusión". Computadoras y fluidos . 19 (3–4): 433–441. doi :10.1016/0045-7930(91)90068-S.
4. Guvernyuk, SV; Dynnikova, G. Ya. (31 de enero de 2007). "Modelado del flujo que pasa por un perfil aerodinámico oscilante mediante el método de dominios de vórtices viscosos". Fluid Dynamics . 42 (1): 1–11. doi :10.1134/S0015462807010012. S2CID  55719564.
5. Andronov, PR; Grigorenko, DA; Guvernyuk, SV; Dynnikova, G. Ya. (1 de octubre de 2007). "Simulación numérica de la autorrotación de placas en un flujo de fluido viscoso". Fluid Dynamics . 42 (5): 719–731. Bibcode :2007FlDy...42..719A. doi :10.1134/S0015462807050055. S2CID  123148208.
6. Dynnikov, Ya. A.; Dynnikova, G. Ya. (12 de octubre de 2011). "Estabilidad numérica y viscosidad numérica en ciertos métodos de vórtice sin malla aplicados a las ecuaciones de Navier-Stokes y de calor". Matemáticas computacionales y física matemática . 51 (10): 1792–1804. Código Bibliográfico :2011CMMPh..51.1792D. doi :10.1134/S096554251110006X. S2CID  56147081.

Enlaces externos

• Canal de YouTube con algunos cálculos de VVD