Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo

Herramientas de dinámica de fluidos computacional

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Perspectiva euleriana de la velocidad del fluido versus representación lagrangiana de la tensión.

En las teorías de campo clásicas , la especificación lagrangiana del campo de flujo es una forma de ver el movimiento de fluidos donde el observador sigue una parcela de fluido individual a medida que se mueve a través del espacio y el tiempo. ^{[1] [2]} Trazar la posición de una parcela individual a través del tiempo da la trayectoria de la parcela. Esto se puede visualizar como estar sentado en un bote y dejarse llevar por un río.

La especificación euleriana del campo de flujo es una forma de ver el movimiento del fluido que se centra en ubicaciones específicas en el espacio a través del cual fluye el fluido a medida que pasa el tiempo. ^{[1] [2]} Esto se puede visualizar sentándose en la orilla de un río y observando el agua pasar por la ubicación fija.

Las especificaciones lagrangianas y eulerianas del campo de flujo se denominan a veces de forma imprecisa " marco de referencia lagrangiano y euleriano" . Sin embargo, en general, tanto la especificación lagrangiana como la euleriana del campo de flujo se pueden aplicar en cualquier marco de referencia del observador y en cualquier sistema de coordenadas utilizado dentro del marco de referencia elegido.

Estas especificaciones se reflejan en la dinámica de fluidos computacional , donde las simulaciones "eulerianas" emplean una malla fija , mientras que las "lagrangianas" (como las simulaciones sin malla ) presentan nodos de simulación que pueden moverse siguiendo el campo de velocidad .

Descripción

En la especificación euleriana de un campo , el campo se representa como una función de la posición x y el tiempo t . Por ejemplo, la velocidad del flujo se representa mediante una función $${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {x} ,t\right).}$$

Por otra parte, en la especificación lagrangiana , se siguen las parcelas de fluido individuales a través del tiempo. Las parcelas de fluido están etiquetadas por algún campo vectorial (independiente del tiempo) x ₀ . (A menudo, x ₀ se elige como la posición del centro de masa de las parcelas en algún tiempo inicial t ₀ . Se elige de esta manera particular para tener en cuenta los posibles cambios de la forma a lo largo del tiempo. Por lo tanto, el centro de masa es una buena parametrización de la velocidad de flujo u de la parcela). ^[1] En la descripción lagrangiana, el flujo se describe mediante una función que da la posición de la partícula etiquetada x ₀ en el tiempo t . $${\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$$

Las dos especificaciones están relacionadas de la siguiente manera: ^[2] porque ambos lados describen la velocidad de la partícula denominada x ₀ en el tiempo t . $${\displaystyle \mathbf {u} \left(\mathbf {X} (\mathbf {x} _{0},t),t\right)={\frac {\partial \mathbf {X} }{\partial t}}\left(\mathbf {x} _{0},t\right),}$$

Dentro de un sistema de coordenadas elegido, x ₀ y x se denominan coordenadas lagrangianas y coordenadas eulerianas del flujo respectivamente.

Derivado material

Las especificaciones lagrangianas y eulerianas de la cinemática y la dinámica del campo de flujo están relacionadas por la derivada del material (también llamada derivada lagrangiana, derivada convectiva, derivada sustancial o derivada de partículas). ^[1]

Supongamos que tenemos un campo de flujo u , y también se nos da un campo genérico con especificación euleriana F ( x ,  t ). Ahora uno podría preguntarse sobre la tasa total de cambio de F experimentado por una parcela de flujo específica. Esto se puede calcular como donde ∇ denota el operador nabla con respecto a x , y el operador u ⋅∇ se debe aplicar a cada componente de F . Esto nos dice que la tasa total de cambio de la función F a medida que las parcelas de fluido se mueven a través de un campo de flujo descrito por su especificación euleriana u es igual a la suma de la tasa de cambio local y la tasa de cambio convectivo de F . Esto es una consecuencia de la regla de la cadena ya que estamos diferenciando la función F ( X ( x ₀ ,  t ),  t ) con respecto a t . $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {F} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} ,}$$

Las leyes de conservación para una unidad de masa tienen una forma lagrangiana, que junto con la conservación de la masa produce la conservación euleriana; por el contrario, cuando las partículas de un fluido pueden intercambiar una cantidad (como energía o momento), solo existen leyes de conservación eulerianas. ^[3]

Véase también

• Circulación Brewer-Dobson
• Formulario de conservación
• Advección de contorno
• Campo de desplazamiento (mecánica)
• Latitud equivalente
• Media lagrangiana generalizada
• Trayectoria (mecánica de fluidos)
• Teorema de Liouville (hamiltoniano)
• Seguimiento de partículas lagrangianas
• Laminación
• Líneas de corriente, líneas de corriente y líneas de trayectoria
• Método de límites inmersos
• Esquema semilagrangiano
• Métodos estocásticos eulerianos lagrangianos

Notas

1. Batchelor, GK (1973). Introducción a la dinámica de fluidos. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pp. 71–73. ISBN 978-0-521-09817-5.OCLC 847527173  .
2. Lamb, H. (1994) [1932]. Hidrodinámica (6.ª ed.). Cambridge University Press. §3–§7 y §13–§16. ISBN 978-0-521-45868-9.
3. Falkovich, Gregory (2011). Mecánica de fluidos (Un curso breve para físicos) . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00575-4.

Referencias

• Badin, G.; Crisciani, F. (2018). Formulación variacional de la dinámica de fluidos y de fluidos geofísicos: mecánica, simetrías y leyes de conservación . Springer. p. 218. Bibcode :2018vffg.book.....B. doi :10.1007/978-3-319-59695-2. ISBN 978-3-319-59694-5.S2CID125902566  .​
• Landau, Lev ; Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos . Curso de Física Teórica, Volumen 6 (2.ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0750627672.

Enlaces externos

[1] Objetividad en mecánica clásica del continuo: Movimientos, funciones eulerianas y lagrangianas; Gradiente de deformación; Derivadas de Lie; Fórmula de adición de velocidad, Coriolis; Objetividad.