Campo de desplazamiento (mecánica)

Asignación de vectores de desplazamiento para todos los puntos de una región.

En mecánica , un campo de desplazamiento es la asignación de vectores de desplazamiento para todos los puntos de una región o cuerpo que se desplazan de un estado a otro. ^{[1] [2]} Un vector de desplazamiento especifica la posición de un punto o una partícula en referencia a un origen o a una posición anterior. Por ejemplo, se puede utilizar un campo de desplazamiento para describir los efectos de la deformación en un cuerpo sólido.

Formulación

Antes de considerar el desplazamiento, se debe definir el estado antes de la deformación. Es un estado en el que las coordenadas de todos los puntos son conocidas y descritas por la función:

$${\displaystyle {\vec {R}}_{0}:\Omega \to P}$$

• ${\displaystyle {\vec {R}}_{0}}$es un vector de colocación
• ${\displaystyle \Omega }$son todos los puntos del cuerpo
• ${\displaystyle P}$Son todos los puntos del espacio en los que está presente el cuerpo.

En la mayoría de los casos se trata de un estado del cuerpo en el que no se aplican fuerzas.

Entonces, dado cualquier otro estado de este cuerpo en el que las coordenadas de todos sus puntos se describen como el campo de desplazamiento, es la diferencia entre dos estados del cuerpo: ${\displaystyle {\vec {R}}_{1}}$

$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}}$$

vector de desplazamiento ${\displaystyle {\vec {u}}}$

Descomposición

Figura 1. Movimiento de un cuerpo continuo.

El desplazamiento de un cuerpo tiene dos componentes: un desplazamiento de cuerpo rígido y una deformación.

• Un desplazamiento de un cuerpo rígido consiste en una traslación y rotación simultáneas del cuerpo sin cambiar su forma o tamaño.
• La deformación implica el cambio de forma y/o tamaño del cuerpo desde una configuración inicial o no deformada a una configuración actual o deformada (Figura 1). ${\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}$

Un cambio en la configuración de un cuerpo continuo puede describirse mediante un campo de desplazamiento. Un campo de desplazamiento es un campo vectorial de todos los vectores de desplazamiento de todas las partículas del cuerpo, que relaciona la configuración deformada con la configuración no deformada. La distancia entre dos partículas cualesquiera cambia si y sólo si se ha producido deformación. Si el desplazamiento ocurre sin deformación, entonces se trata de un desplazamiento de cuerpo rígido.

Tensor de gradiente de desplazamiento

Se pueden definir dos tipos de tensor de gradiente de desplazamiento , siguiendo las especificaciones lagrangianas y eulerianas. El desplazamiento de partículas indexado por la variable i se puede expresar de la siguiente manera. El vector que une las posiciones de una partícula en la configuración no deformada y en la configuración deformada se llama vector de desplazamiento , , denotado o inferior. ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}-P_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Coordenadas materiales (descripción lagrangiana)

Usando en lugar de y en lugar de , los cuales son vectores desde el origen del sistema de coordenadas hasta cada punto respectivo, tenemos la descripción lagrangiana del vector de desplazamiento: ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle p_{i}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

vectores unitariosbasemarco de laboratorio ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

Expresado en términos de coordenadas materiales, es decir, en función de , el campo de desplazamiento es: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$

${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$

La derivada parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas del material produce el tensor de gradiente de desplazamiento del material . Así tenemos, ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}}$$

tensor de gradiente de deformación del material ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Coordenadas espaciales (descripción euleriana)

En la descripción euleriana , el vector que se extiende desde una partícula en la configuración no deformada hasta su ubicación en la configuración deformada se llama vector de desplazamiento : ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$

${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$

Expresado en términos de coordenadas espaciales, es decir, en función de , el campo de desplazamiento es: ${\displaystyle \mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

La derivada espacial , es decir, la derivada parcial del vector de desplazamiento con respecto a las coordenadas espaciales, produce el tensor de gradiente de desplazamiento espacial . Así tenemos, ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,}$$

tensor de gradiente de deformación espacial ${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }$

Relación entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales.

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$son los cosenos directores entre los sistemas de coordenadas materiales y espaciales con vectores unitarios y , respectivamente. De este modo ${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

La relación entre y entonces viene dada por ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{J}}$

$${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Sabiendo que

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Combinando los sistemas de coordenadas de configuraciones deformadas y no deformadas.

Es común superponer los sistemas de coordenadas para las configuraciones deformadas y no deformadas, lo que da como resultado y los cosenos directores se convierten en deltas de Kronecker , es decir, ${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$

$${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Así, en coordenadas materiales (no deformadas), el desplazamiento se puede expresar como:

$${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$$

Y en coordenadas espaciales (deformadas), el desplazamiento se puede expresar como:

$${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

Ver también

• Estrés
• Cepa

Referencias

1. "Mecánica continua - Cinemática". Escuela de Ingeniería . Universidad de Brown . Consultado el 25 de julio de 2018 .
2. "2.080 Conferencia 3: El concepto de tensión, tensiones generalizadas y equilibrio" (PDF) . MIT OpenCourseWare . Consultado el 25 de julio de 2018 .