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Secuencia

En matemáticas , una secuencia es una colección enumerada de objetos en los que se permiten repeticiones y el orden importa. Como un conjunto , contiene miembros (también llamados elementos o términos ). El número de elementos (posiblemente infinito ) se llama longitud de la secuencia. A diferencia de un conjunto, los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de una secuencia y, a diferencia de un conjunto, el orden sí importa. Formalmente, una secuencia se puede definir como una función desde números naturales (las posiciones de los elementos en la secuencia) hasta los elementos en cada posición. La noción de secuencia se puede generalizar a una familia indexada , definida como una función a partir de un conjunto de índices arbitrario .

Por ejemplo, (M, A, R, Y) es una secuencia de letras con la letra 'M' primero y 'Y' al final. Esta secuencia difiere de (A, R, M, Y). Además, la secuencia (1, 1, 2, 3, 5, 8), que contiene el número 1 en dos posiciones diferentes, es una secuencia válida. Las sucesiones pueden ser finitas , como en estos ejemplos, o infinitas , como la secuencia de todos los números enteros pares positivos (2, 4, 6,...).

La posición de un elemento en una secuencia es su rango o índice ; es el número natural del cual el elemento es la imagen. El primer elemento tiene índice 0 o 1, según el contexto o una convención específica. En análisis matemático , una secuencia a menudo se indica con letras en forma de , y , donde el subíndice n se refiere al enésimo elemento de la secuencia; por ejemplo, el enésimo elemento de la secuencia de Fibonacci generalmente se denota como .

En informática y ciencias de la computación , las secuencias finitas a veces se denominan cadenas , palabras o listas , y los diferentes nombres comúnmente corresponden a diferentes formas de representarlas en la memoria de la computadora ; Las secuencias infinitas se llaman corrientes . La secuencia vacía ( ) está incluida en la mayoría de las nociones de secuencia, pero puede excluirse según el contexto.

Una secuencia infinita de números reales (en azul). Esta secuencia no es ni creciente, ni decreciente, ni convergente, ni de Cauchy . Sin embargo, está limitado.

Ejemplos y notación

Se puede considerar una secuencia como una lista de elementos con un orden particular. [1] [2] Las secuencias son útiles en varias disciplinas matemáticas para estudiar funciones , espacios y otras estructuras matemáticas utilizando las propiedades de convergencia de las secuencias. En particular, las secuencias son la base de las series , que son importantes en el análisis y las ecuaciones diferenciales . Las secuencias también son de interés por derecho propio y pueden estudiarse como patrones o acertijos, como en el estudio de los números primos .

Hay varias formas de indicar una secuencia, algunas de las cuales son más útiles para tipos específicos de secuencias. Una forma de especificar una secuencia es enumerar todos sus elementos. Por ejemplo, los primeros cuatro números impares forman la secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación también se utiliza para secuencias infinitas. Por ejemplo, la secuencia infinita de números enteros impares positivos se escribe como (1, 3, 5, 7,...). Debido a que anotar secuencias con puntos suspensivos genera ambigüedad, la enumeración es más útil para secuencias infinitas habituales que pueden reconocerse fácilmente a partir de sus primeros elementos. Después de los ejemplos se analizan otras formas de indicar una secuencia.

Ejemplos

Un mosaico con cuadrados cuyos lados tienen una longitud sucesiva de números de Fibonacci.

Los números primos son los números naturales mayores que 1 que no tienen más divisores que 1 y ellos mismos. Tomando estos en su orden natural se obtiene la secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...). Los números primos se utilizan ampliamente en matemáticas , particularmente en teoría de números donde existen muchos resultados relacionados con ellos.

Los números de Fibonacci comprenden la secuencia de números enteros cuyos elementos son la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son 0 y 1 o 1 y 1, de modo que la secuencia es (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...). [1]

Otros ejemplos de secuencias incluyen aquellas formadas por números racionales , números reales y números complejos . La secuencia (.9, .99, .999, .9999, ...), por ejemplo, se aproxima al número 1. De hecho, todo número real puede escribirse como el límite de una secuencia de números racionales (por ejemplo, a través de su expansión decimal , ver también completitud de los números reales ). Como otro ejemplo, π es el límite de la secuencia (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...), que es creciente. Una secuencia relacionada es la secuencia de dígitos decimales de π , es decir, (3, 1, 4, 1, 5, 9,...). A diferencia de la secuencia anterior, esta secuencia no tiene ningún patrón que sea fácilmente discernible mediante inspección.

Otros ejemplos son las secuencias de funciones , cuyos elementos son funciones en lugar de números.

La Enciclopedia en línea de secuencias enteras comprende una gran lista de ejemplos de secuencias enteras. [3]

Indexación

Otras notaciones pueden resultar útiles para secuencias cuyo patrón no se puede adivinar fácilmente o para secuencias que no tienen un patrón, como los dígitos de π . Una de esas notaciones consiste en escribir una fórmula general para calcular el n.ésimo término como función de n , encerrarlo entre paréntesis e incluir un subíndice que indique el conjunto de valores que n puede tomar. Por ejemplo, en esta notación la secuencia de números pares podría escribirse como . La secuencia de cuadrados podría escribirse como . La variable n se llama índice y el conjunto de valores que puede tomar se llama conjunto de índices .

A menudo resulta útil combinar esta notación con la técnica de tratar los elementos de una secuencia como variables individuales. Esto produce expresiones como , que denota una secuencia cuyo enésimo elemento está dado por la variable . Por ejemplo:

Se pueden considerar múltiples secuencias al mismo tiempo usando diferentes variables; por ejemplo, podría ser una secuencia diferente a . Incluso se puede considerar una secuencia de secuencias: denota una secuencia cuyo m- ésimo término es la secuencia .

Una alternativa a escribir el dominio de una secuencia en el subíndice es indicar el rango de valores que puede tomar el índice enumerando sus valores legales más altos y más bajos. Por ejemplo, la notación denota la secuencia de cuadrados de diez términos . Los límites y están permitidos, pero no representan valores válidos para el índice, sólo el supremo o mínimo de dichos valores, respectivamente. Por ejemplo, la secuencia es la misma que la secuencia y no contiene un término adicional "en el infinito". La secuencia es una secuencia bi-infinita y también se puede escribir como .

En los casos en que se comprende el conjunto de números de indexación, los subíndices y superíndices suelen omitirse. Es decir, simplemente se escribe para una secuencia arbitraria. A menudo, se entiende que el índice k va de 1 a ∞. Sin embargo, las secuencias frecuentemente se indexan comenzando desde cero, como en

En algunos casos, los elementos de la secuencia están relacionados naturalmente con una secuencia de números enteros cuyo patrón se puede inferir fácilmente. En estos casos, el conjunto de índices puede estar implícito en una lista de los primeros elementos abstractos. Por ejemplo, la secuencia de cuadrados de números impares podría denotarse de cualquiera de las siguientes formas.

Además, los subíndices y superíndices podrían haberse omitido en las notaciones tercera, cuarta y quinta, si se entendiera que el conjunto de indexación eran los números naturales . En las viñetas segunda y tercera, hay una secuencia bien definida , pero no es la misma que la secuencia denotada por la expresión.

Definiendo una secuencia por recursividad

Las secuencias cuyos elementos están relacionados con los elementos anteriores de manera sencilla a menudo se definen mediante recursividad . Esto contrasta con la definición de secuencias de elementos como funciones de sus posiciones.

Para definir una secuencia por recursividad, se necesita una regla, llamada relación de recurrencia , para construir cada elemento en términos de los anteriores. Además, se deben proporcionar suficientes elementos iniciales para que todos los elementos posteriores de la secuencia puedan calcularse mediante aplicaciones sucesivas de la relación de recurrencia.

La secuencia de Fibonacci es un ejemplo clásico simple, definido por la relación de recurrencia

con términos iniciales y . A partir de esto, un cálculo simple muestra que los primeros diez términos de esta secuencia son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.

Un ejemplo complicado de una secuencia definida por una relación de recurrencia es la secuencia de Recamán , [4] definida por la relación de recurrencia

con término inicial

Una recurrencia lineal con coeficientes constantes es una relación de recurrencia de la forma

¿ Dónde están las constantes ? Existe un método general para expresar el término general de dicha secuencia en función de n ; ver recurrencia lineal . En el caso de la secuencia de Fibonacci, se tiene y la función resultante de n viene dada por la fórmula de Binet .

Una secuencia holonómica es una secuencia definida por una relación de recurrencia de la forma

donde están los polinomios en n . Para la mayoría de las secuencias holonómicas, no existe una fórmula explícita para expresar en función de n . Sin embargo, las secuencias holonómicas juegan un papel importante en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, muchas funciones especiales tienen una serie de Taylor cuya secuencia de coeficientes es holonómica. El uso de la relación de recurrencia permite un cálculo rápido de los valores de dichas funciones especiales.

No todas las secuencias pueden especificarse mediante una relación de recurrencia. Un ejemplo es la secuencia de números primos en su orden natural (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...).

Definición formal y propiedades básicas.

Hay muchas nociones diferentes de secuencias en matemáticas, algunas de las cuales ( p. ej ., secuencia exacta ) no están cubiertas por las definiciones y notaciones que se presentan a continuación.

Definición

En este artículo, una secuencia se define formalmente como una función cuyo dominio es un intervalo de números enteros . Esta definición cubre varios usos diferentes de la palabra "secuencia", incluidas secuencias infinitas unilaterales, secuencias biinfinitas y secuencias finitas (consulte a continuación las definiciones de este tipo de secuencias). Sin embargo, muchos autores utilizan una definición más estrecha al exigir que el dominio de una secuencia sea el conjunto de los números naturales . Esta definición más estrecha tiene la desventaja de que descarta las secuencias finitas y las secuencias bi-infinitas, las cuales generalmente se denominan secuencias en la práctica matemática estándar. Otra desventaja es que, si se eliminan los primeros términos de una secuencia, es necesario volver a indexar los términos restantes para ajustarse a esta definición. En algunos contextos, para acortar la exposición, el codominio de la secuencia se fija por contexto, por ejemplo requiriendo que sea el conjunto R de números reales, [5] el conjunto C de números complejos, [6] o un espacio topológico . [7]

Aunque las secuencias son un tipo de función, generalmente se distinguen notacionalmente de las funciones en que la entrada se escribe como un subíndice en lugar de entre paréntesis, es decir, una n en lugar de una ( n ) . También existen diferencias terminológicas: el valor de una secuencia en la entrada más baja (a menudo 1) se denomina "primer elemento" de la secuencia, el valor en la segunda entrada más pequeña (a menudo 2) se denomina "segundo elemento". etc. Además, mientras que una función abstraída de su entrada generalmente se denota con una sola letra, por ejemplo, f , una secuencia abstraída de su entrada generalmente se escribe mediante una notación como , o simplemente como Aquí A es el dominio o conjunto de índices, de la secuencia.

Las secuencias y sus límites (ver más abajo) son conceptos importantes para estudiar espacios topológicos. Una generalización importante de las secuencias es el concepto de redes . Una red es una función de un conjunto dirigido (posiblemente incontable ) a un espacio topológico. Las convenciones de notación para secuencias normalmente también se aplican a las redes.

Finito e infinito

La longitud de una secuencia se define como el número de términos de la secuencia.

Una secuencia de longitud finita n también se denomina n -tupla . Las secuencias finitas incluyen la secuencia vacía  ( ) que no tiene elementos.

Normalmente, el término secuencia infinita se refiere a una secuencia que es infinita en una dirección y finita en la otra; la secuencia tiene un primer elemento, pero ningún elemento final. Tal secuencia se llama secuencia infinita simple o secuencia infinita unilateral cuando es necesaria la desambiguación. Por el contrario, una secuencia que es infinita en ambas direcciones (es decir, que no tiene ni un elemento primero ni un elemento final) se llama secuencia biinfinita , secuencia infinita bidireccional o secuencia doblemente infinita . Una función del conjunto Z de todos los números enteros en un conjunto, como por ejemplo la secuencia de todos los números enteros pares (..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8,...), es bi-infinito. Esta secuencia podría denotarse .

Creciendo y disminuyendo

Se dice que una secuencia es monótonamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Por ejemplo, la secuencia aumenta monótonamente si y solo si a n +1 a n para todo nN . Si cada término consecutivo es estrictamente mayor que (>) el término anterior, entonces la secuencia se llama estrictamente monótona creciente . Una secuencia es monótonamente decreciente si cada término consecutivo es menor o igual que el anterior, y es estrictamente monótona decreciente si cada uno es estrictamente menor que el anterior. Si una secuencia es creciente o decreciente se llama secuencia monótona . Este es un caso especial de la noción más general de función monótona .

Los términos no decreciente y no creciente se utilizan a menudo en lugar de creciente y decreciente para evitar cualquier posible confusión con estrictamente creciente y estrictamente decreciente , respectivamente.

Encerrado

Si la secuencia de números reales ( an ) es tal que todos los términos son menores que algún número real M , entonces se dice que la secuencia está acotada desde arriba . En otras palabras, esto significa que existe M tal que para todo n , a nM . Cualquier M de este tipo se denomina límite superior . Del mismo modo, si, para algún m real , un nm para todo n mayor que algún N , entonces la secuencia está acotada desde abajo y cualquier m se llama límite inferior . Si una secuencia está acotada desde arriba y desde abajo, entonces se dice que la secuencia está acotada .

Subsecuencias

Una subsecuencia de una secuencia dada es una secuencia formada a partir de la secuencia dada eliminando algunos de los elementos sin alterar las posiciones relativas de los elementos restantes. Por ejemplo, la secuencia de números enteros pares positivos (2, 4, 6,...) es una subsecuencia de los números enteros positivos (1, 2, 3,...). Las posiciones de algunos elementos cambian cuando se eliminan otros elementos. Sin embargo, se conservan las posiciones relativas.

Formalmente, una subsecuencia de la secuencia es cualquier secuencia de la forma , donde es una secuencia estrictamente creciente de números enteros positivos.

Otros tipos de secuencias

Algunos otros tipos de secuencias que son fáciles de definir incluyen:

Límites y convergencia

La gráfica de una secuencia convergente ( a n ) se muestra en azul. En el gráfico podemos ver que la secuencia converge hacia el límite cero a medida que n aumenta.

Una propiedad importante de una secuencia es la convergencia . Si una secuencia converge, converge a un valor particular conocido como límite . Si una sucesión converge hasta algún límite, entonces es convergente . Una secuencia que no converge es divergente .

Informalmente, una secuencia tiene un límite si los elementos de la secuencia se acercan cada vez más a algún valor (llamado límite de la secuencia), y se vuelven y permanecen arbitrariamente cerca de , lo que significa que dado un número real mayor que cero, todos menos un número finito de elementos de la secuencia tienen una distancia menor que .

Por ejemplo, la secuencia que se muestra a la derecha converge al valor 0. Por otro lado, las secuencias (que comienza 1, 8, 27, ...) y (que comienza −1, 1, −1, 1, . ..) son ambos divergentes.

Si una secuencia converge, entonces el valor al que converge es único. Este valor se llama límite de la secuencia. Normalmente se denota el límite de una secuencia convergente . Si es una secuencia divergente, entonces la expresión no tiene sentido.

Definición formal de convergencia

Una secuencia de números reales converge a un número real si, para todos , existe un número natural tal que para todos tenemos [5]

Si se trata de una secuencia de números complejos en lugar de una secuencia de números reales, esta última fórmula aún se puede utilizar para definir la convergencia, con la disposición que denota el módulo complejo, es decir . Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico , entonces la fórmula se puede usar para definir la convergencia, si la expresión se reemplaza por la expresión , que denota la distancia entre y .

Aplicaciones y resultados importantes

Si y son secuencias convergentes, entonces existen los siguientes límites y se pueden calcular de la siguiente manera: [5] [10]

Además:

secuencias de cauchy

La gráfica de una secuencia de Cauchy ( X n ), que se muestra en azul, como X n versus n . En el gráfico, la secuencia parece converger hasta un límite a medida que la distancia entre términos consecutivos en la secuencia se hace más pequeña a medida que n aumenta. En los números reales , toda secuencia de Cauchy converge hacia algún límite.

Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos se acercan arbitrariamente a medida que n se vuelve muy grande. La noción de secuencia de Cauchy es importante en el estudio de secuencias en espacios métricos y, en particular, en el análisis real . Un resultado particularmente importante en el análisis real es la caracterización de Cauchy de la convergencia para secuencias :

Una secuencia de números reales es convergente (en los reales) si y sólo si es Cauchy.

Por el contrario, hay secuencias de Cauchy de números racionales que no son convergentes en los racionales, por ejemplo, la secuencia definida por x 1 = 1 y x n +1 =xn + _2/xn _/2es Cauchy, pero no tiene límite racional, cf. aquí . De manera más general, cualquier secuencia de números racionales que converge a un número irracional es Cauchy, pero no convergente cuando se interpreta como una secuencia en el conjunto de números racionales.

Los espacios métricos que satisfacen la caracterización de convergencia de Cauchy para secuencias se denominan espacios métricos completos y son particularmente buenos para el análisis.

Límites infinitos

En cálculo, es común definir notación para secuencias que no convergen en el sentido discutido anteriormente, pero que en cambio se vuelven y permanecen arbitrariamente grandes, o se vuelven y permanecen arbitrariamente negativas. Si se vuelve arbitrariamente grande como , escribimos

En este caso decimos que la sucesión diverge , o que converge hasta el infinito . Un ejemplo de tal secuencia es a n = n .

Si se vuelve arbitrariamente negativo (es decir, negativo y de magnitud grande) como , escribimos

y decir que la secuencia diverge o converge al infinito negativo .

Serie

Una serie es, informalmente hablando, la suma de los términos de una secuencia. Es decir, es una expresión de la forma o , donde es una secuencia de números reales o complejos. Las sumas parciales de una serie son las expresiones que resultan de sustituir el símbolo del infinito por un número finito, es decir, la enésima suma parcial de la serie es el número

Las sumas parciales mismas forman una secuencia , que se llama secuencia de sumas parciales de la serie . Si la secuencia de sumas parciales converge, entonces decimos que la serie es convergente y el límite se llama valor de la serie. Se utiliza la misma notación para indicar una serie y su valor, es decir, escribimos .

Uso en otros campos de las matemáticas.

Topología

Las secuencias juegan un papel importante en topología, especialmente en el estudio de espacios métricos . Por ejemplo:

Las secuencias se pueden generalizar a redes o filtros . Estas generalizaciones permiten extender algunos de los teoremas anteriores a espacios sin métricas.

Topología del producto

El producto topológico de una secuencia de espacios topológicos es el producto cartesiano de esos espacios, dotado de una topología natural llamada topología del producto .

Más formalmente, dada una secuencia de espacios , el espacio del producto

se define como el conjunto de todas las secuencias tales que para cada i , es un elemento de . Las proyecciones canónicas son las aplicaciones p i  : XX i definidas por la ecuación . Entonces , la topología del producto en X se define como la topología más burda (es decir, la topología con el menor número de conjuntos abiertos) para la cual todas las proyecciones pi son continuas . La topología del producto a veces se denomina topología de Tychonoff .

Análisis

Cuando se analizan secuencias en análisis , generalmente se considerarán secuencias de la forma

es decir, secuencias infinitas de elementos indexados por números naturales .

Una secuencia puede comenzar con un índice diferente de 1 o 0. Por ejemplo, la secuencia definida por x n = 1/ log ( n ) se definiría solo para n ≥ 2. Cuando se habla de secuencias infinitas, generalmente es suficiente ( y no cambia mucho para la mayoría de las consideraciones) asumir que los miembros de la secuencia están definidos al menos para todos los índices lo suficientemente grandes , es decir, mayores que algunos N dados .

El tipo de sucesiones más elemental son las numéricas, es decir, sucesiones de números reales o complejos . Este tipo se puede generalizar a secuencias de elementos de algún espacio vectorial . En el análisis, los espacios vectoriales considerados suelen ser espacios funcionales . De manera aún más general, se pueden estudiar secuencias con elementos en algún espacio topológico .

Espacios de secuencia

Un espacio de secuencia es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos . De manera equivalente, es un espacio funcional cuyos elementos son funciones desde los números naturales hasta el campo K , donde K es el campo de números reales o el campo de números complejos. El conjunto de todas estas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las secuencias infinitas posibles con elementos en K , y puede convertirse en un espacio vectorial mediante las operaciones de suma puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencia son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencia suelen estar equipados con una norma , o al menos con la estructura de un espacio vectorial topológico .

Los espacios de secuencias más importantes en el análisis son los espacios ℓ p , que consisten en secuencias sumables de potencias p , con la norma p . Estos son casos especiales de espacios L p para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de secuencias como secuencias convergentes o secuencias nulas forman espacios de secuencia, denotados respectivamente c y c 0 , con la norma sup. Cualquier espacio de secuencia también puede equiparse con la topología de convergencia puntual , bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado espacio FK .

Álgebra lineal

Las secuencias sobre un campo también pueden verse como vectores en un espacio vectorial . Específicamente, el conjunto de secuencias con valores F (donde F es un campo) es un espacio funcional (de hecho, un espacio producto ) de funciones con valores F sobre el conjunto de números naturales.

Álgebra abstracta

El álgebra abstracta emplea varios tipos de secuencias, incluidas secuencias de objetos matemáticos como grupos o anillos.

monoide libre

Si A es un conjunto, el monoide libre sobre A (denotado A * , también llamado estrella de Kleene de A ) es un monoide que contiene todas las secuencias (o cadenas) finitas de cero o más elementos de A , con la operación binaria de concatenación. El semigrupo libre A + es el subsemigrupo de A * que contiene todos los elementos excepto la secuencia vacía.

Secuencias exactas

En el contexto de la teoría de grupos , una secuencia

de grupos y homomorfismos de grupo se llama exacta , si la imagen (o rango ) de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente:

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para otras estructuras algebraicas . Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales , o de módulos y homomorfismos de módulos .

Secuencias espectrales

En álgebra homológica y topología algebraica , una secuencia espectral es un medio para calcular grupos de homología mediante aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de las secuencias exactas y, desde su introducción por Jean Leray  (1946), se han convertido en una importante herramienta de investigación, particularmente en la teoría de la homotopía .

Teoría de conjuntos

Una secuencia indexada ordinal es una generalización de una secuencia. Si α es un ordinal límite y X es un conjunto, una secuencia de elementos de X indexada por α es una función de α a X. En esta terminología, una secuencia indexada en ω es una secuencia ordinaria.

Informática

En informática , las secuencias finitas se llaman listas . Las secuencias potencialmente infinitas se llaman corrientes . Las secuencias finitas de caracteres o dígitos se denominan cadenas .

Corrientes

Las secuencias infinitas de dígitos (o caracteres ) extraídas de un alfabeto finito son de particular interés en la informática teórica . A menudo se les denomina simplemente secuencias o flujos , a diferencia de cadenas finitas . Las secuencias binarias infinitas, por ejemplo, son secuencias infinitas de bits (caracteres extraídos del alfabeto {0, 1}). El conjunto C = {0, 1} de todas las secuencias binarias infinitas a veces se denomina espacio de Cantor .

Una secuencia binaria infinita puede representar un lenguaje formal (un conjunto de cadenas) estableciendo el enésimo  bit de la secuencia en 1 si y solo si la enésima  cadena (en orden shortlex ) está en el lenguaje. Esta representación es útil en el método de diagonalización de pruebas. [11]

Ver también

Operaciones
Ejemplos
Tipos
Conceptos relacionados

Notas

  1. ^ Si las desigualdades se reemplazan por desigualdades estrictas, entonces esto es falso: hay secuencias tales que para todos , pero .

Referencias

  1. ^ ab "Secuencias". www.mathsisfun.com . Archivado desde el original el 12 de agosto de 2020 . Consultado el 17 de agosto de 2020 .
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Secuencia". mathworld.wolfram.com . Archivado desde el original el 25 de julio de 2020 . Consultado el 17 de agosto de 2020 .
  3. ^ Índice de OEIS Archivado el 18 de octubre de 2022 en Wayback Machine , Enciclopedia en línea de secuencias enteras, 3 de diciembre de 2020
  4. ^ Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A005132 (Secuencia de Recamán)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS . Consultado el 26 de enero de 2018 .
  5. ^ abc Gaughan, Edward (2009). "1.1 Secuencias y Convergencia". Introducción al Análisis . AM (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
  6. ^ Edward B. Saff y Arthur David Snider (2003). "Capítulo 2.1". Fundamentos del análisis complejo . Prentice Hall. ISBN 978-01-390-7874-3. Archivado desde el original el 23 de marzo de 2023 . Consultado el 15 de noviembre de 2015 .
  7. ^ James R. Munkres (2000). "Capítulos 1 y 2". Topología . Prentice Hall, incorporada. ISBN 978-01-318-1629-9. Archivado desde el original el 23 de marzo de 2023 . Consultado el 15 de noviembre de 2015 .
  8. ^ Lando, Sergei K. (21 de octubre de 2003). "7.4 Secuencias multiplicativas". Conferencias sobre funciones generadoras . AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
  9. ^ Falcón, Sergio (2003). "La secuencia multiplicativa de Fibonacci". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 34 (2): 310–315. doi : 10.1080/0020739031000158362. S2CID  121280842.
  10. ^ Dawikins, Paul. "Series y Secuencias". Notas de matemáticas en línea de Paul/Calc II (notas) . Archivado desde el original el 30 de noviembre de 2012 . Consultado el 18 de diciembre de 2012 .
  11. ^ Oflazer, Kemal. «LENGUAJES FORMALES, AUTÓMATAS Y COMPUTACIÓN: DECIDABILIDAD» (PDF) . cmu.edu . Universidad de Carnegie mellon. Archivado (PDF) desde el original el 29 de mayo de 2015 . Consultado el 24 de abril de 2015 .

enlaces externos