Resultante

Concepto matemático en teoría polinómica.

En matemáticas , la resultante de dos polinomios es una expresión polinómica de sus coeficientes que es igual a cero si y sólo si los polinomios tienen una raíz común (posiblemente en una extensión de campo ), o, de manera equivalente, un factor común (sobre su campo de coeficientes). En algunos textos más antiguos, a la resultante también se le llama eliminante . ^[1]

La resultante se usa ampliamente en teoría de números , ya sea directamente o mediante el discriminante , que es esencialmente la resultante de un polinomio y su derivada . La resultante de dos polinomios con coeficientes racionales o polinomiales se puede calcular de manera eficiente en una computadora. Es una herramienta básica del álgebra informática y es una función incorporada en la mayoría de los sistemas de álgebra informática . Se utiliza, entre otros, para la descomposición algebraica cilíndrica , la integración de funciones racionales y el trazado de curvas definidas por una ecuación polinómica bivariada .

La resultante de n polinomios homogéneos en n variables (también llamada resultante multivariada , o resultante de Macaulay para distinguirla de la resultante habitual) es una generalización, introducida por Macaulay , de la resultante habitual. ^[2] Es, con las bases de Gröbner , una de las principales herramientas de la teoría de la eliminación .

Notación

La resultante de dos polinomios univariados A y B comúnmente se denota como ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (A,B).}$

En muchas aplicaciones de la resultante, los polinomios dependen de varios indeterminados y pueden considerarse como polinomios univariados en uno de sus indeterminados, con polinomios en los otros indeterminados como coeficientes. En este caso, el indeterminado que se selecciona para definir y calcular la resultante se indica como un subíndice: o ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{x}(A,B).}$

Los grados de los polinomios se utilizan en la definición de la resultante. Sin embargo, un polinomio de grado d también puede considerarse como un polinomio de grado superior donde los coeficientes principales son cero. Si se utiliza un grado superior para la resultante, generalmente se indica como subíndice o superíndice, como o ${\displaystyle \operatorname {res} _{d,e}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).}$

Definición

La resultante de dos polinomios univariados sobre un campo o sobre un anillo conmutativo se define comúnmente como el determinante de su matriz de Sylvester . Más precisamente, dejemos

$${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$

$${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$

deespacio vectorialmódulo libreii ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$

$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}}$$

$${\displaystyle \varphi (P,Q)=AP+BQ}$$

mapa linealbasexd + ematriz de SylvesterABMatriz de Sylvester

La resultante de A y B es, por tanto, el determinante

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&\cdots &0&b_{0}&0&\cdots &0\\a_{1}&a_{0}&\cdots &0&b_{1}&b_{0}&\cdots &0\\a_{2}&a_{1}&\ddots &0&b_{2}&b_{1}&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &a_{0}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{0}\\a_{d}&a_{d-1}&\cdots &\vdots &b_{e}&b_{e-1}&\cdots &\vdots \\0&a_{d}&\ddots &\vdots &0&b_{e}&\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &a_{d-1}&\vdots &\vdots &\ddots &b_{e-1}\\0&0&\cdots &a_{d}&0&0&\cdots &b_{e}\end{vmatrix}},}$$

ea _idb _jabd = ed = 3e = 2

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{0}&0&b_{0}&0&0\\a_{1}&a_{0}&b_{1}&b_{0}&0\\a_{2}&a_{1}&b_{2}&b_{1}&b_{0}\\a_{3}&a_{2}&0&b_{2}&b_{1}\\0&a_{3}&0&0&b_{2}\end{vmatrix}}.}$$

Si los coeficientes de los polinomios pertenecen a un dominio integral , entonces

$${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}b_{0}^{d}\prod _{\begin{array}{c}1\leq i\leq d\\1\leq j\leq e\end{array}}(\lambda _{i}-\mu _{j})=a_{0}^{e}\prod _{i=1}^{d}B(\lambda _{i})=(-1)^{de}b_{0}^{d}\prod _{j=1}^{e}A(\mu _{j}),}$$

ABcampo algebraicamente cerradolos números complejos ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{d}}$ ${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{e}}$

Propiedades

En esta sección y sus subsecciones, A y B son dos polinomios en x de grados respectivos d y e , y su resultante se denota ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B).}$

Propiedades caracterizantes

Las siguientes propiedades son válidas para la resultante de dos polinomios con coeficientes en un anillo conmutativo R. Si R es un campo o más generalmente un dominio integral , la resultante es la función única de los coeficientes de dos polinomios que satisface estas propiedades.

• Si R es un subanillo de otro anillo S , entonces A y B tienen la misma resultante cuando se consideran polinomios sobre R o S. ${\displaystyle \operatorname {res} _{R}(A,B)=\operatorname {res} _{S}(A,B).}$
• Si d = 0 (es decir, si es una constante distinta de cero), entonces De manera similar, si e = 0 , entonces ${\displaystyle A=a_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=a_{0}^{e}.}$ ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=b_{0}^{d}.}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (x+a_{1},x+b_{1})=b_{1}-a_{1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (B,A)=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (AB,C)=\operatorname {res} (A,C)\operatorname {res} (B,C)}$

Ceros

• La resultante de dos polinomios con coeficientes en dominio integral es cero si y sólo si tienen un divisor común de grado positivo.
• La resultante de dos polinomios con coeficientes en un dominio integral es cero si y sólo si tienen una raíz común en un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes.
• Existe un polinomio P de grado menor que e y un polinomio Q de grado menor que d tal que Esta es una generalización de la identidad de Bézout a polinomios sobre un anillo conmutativo arbitrario. En otras palabras, la resultante de dos polinomios pertenece al ideal generado por estos polinomios. ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)=AP+BQ.}$

Invariancia por homomorfismos de anillo

Sean A y B dos polinomios de grados respectivos d y e con coeficientes en un anillo conmutativo R y un homomorfismo de anillo de R en otro anillo conmutativo S. Aplicando a los coeficientes de un polinomio se extiende a un homomorfismo de anillos polinomiales , que también se denota con esta notación, tenemos: ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle R[x]\to S[x]}$ ${\displaystyle \varphi .}$

• Si conserva los grados de A y B (es decir, si y ), entonces ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$ ${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e}$
  $${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• Si y entonces ${\displaystyle \deg(\varphi (A))<d}$ ${\displaystyle \deg(\varphi (B))<e,}$
  $${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=0.}$$
• Si y y el coeficiente principal de A es entonces ${\displaystyle \deg(\varphi (A))=d}$ ${\displaystyle \deg(\varphi (B))=f<e,}$ ${\displaystyle a_{0}}$
  $${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=\varphi (a_{0})^{e-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$
• Si y y el coeficiente principal de B es entonces ${\displaystyle \deg(\varphi (A))=f<d}$ ${\displaystyle \deg(\varphi (B))=e,}$ ${\displaystyle b_{0}}$
  $${\displaystyle \varphi (\operatorname {res} (A,B))=(-1)^{e(d-f)}\varphi (b_{0})^{d-f}\operatorname {res} (\varphi (A),\varphi (B)).}$$

Estas propiedades se deducen fácilmente de la definición de la resultante como determinante. Se utilizan principalmente en dos situaciones. Para calcular una resultante de polinomios con coeficientes enteros, generalmente es más rápido calcularla en módulo de varios primos y recuperar la resultante deseada con el teorema chino del resto . Cuando R es un anillo polinomial en otros indeterminados, y S es el anillo obtenido al especializarse en valores numéricos algunos o todos los indeterminados de R , estas propiedades pueden reformularse como si los grados fueran preservados por la especialización, la resultante de la especialización de dos polinomios es la especialización de la resultante . Esta propiedad es fundamental, por ejemplo, para la descomposición algebraica cilíndrica .

Invariancia bajo cambio de variable.

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(x+a),B(x+a))=\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• ${\displaystyle \operatorname {res} (A(ax),B(ax))=a^{de}\operatorname {res} (A(x),B(x))}$
• Si y son los polinomios recíprocos de A y B , respectivamente, entonces ${\displaystyle A_{r}(x)=x^{d}A(1/x)}$ ${\displaystyle B_{r}(x)=x^{e}B(1/x)}$
  $${\displaystyle \operatorname {res} (A_{r},B_{r})=(-1)^{de}\operatorname {res} (A,B)}$$

Esto significa que la propiedad de que la resultante sea cero es invariante ante cambios lineales y proyectivos de la variable.

Invariancia bajo cambio de polinomios.

• Si a y b son constantes distintas de cero (es decir, son independientes del indeterminado x ), y A y B son como antes, entonces
  $${\displaystyle \operatorname {res} (aA,bB)=a^{e}b^{d}\operatorname {res} (A,B).}$$
• Si A y B son como arriba, y C es otro polinomio tal que el grado de A – CB es δ , entonces
  $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{\delta -d}\operatorname {res} (B,A).}$$
• En particular, si B es mónico o grados C < grados A – grados B , entonces
  $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=\operatorname {res} (B,A),}$$
  y, si f = grados C > grados A – grados B = d – e , entonces
  $${\displaystyle \operatorname {res} (B,A-CB)=b_{0}^{e+f-d}\operatorname {res} (B,A).}$$

Estas propiedades implican que en el algoritmo euclidiano para polinomios , y todas sus variantes ( secuencias de pseudorestos ), la resultante de dos restos sucesivos (o pseudorestos) difiere de la resultante de los polinomios iniciales en un factor que es fácil de calcular. . Por el contrario, esto permite deducir la resultante de los polinomios iniciales a partir del valor del último resto o pseudoresto. Esta es la idea inicial del algoritmo de secuencia de pseudoresto subresultante , que utiliza las fórmulas anteriores para obtener polinomios subresultantes como pseudorestos y la resultante como último pseudoresto distinto de cero (siempre que la resultante no sea cero). Este algoritmo funciona para polinomios sobre números enteros o, más generalmente, sobre un dominio integral, sin más división que la división exacta (es decir, sin involucrar fracciones). Implica operaciones aritméticas, mientras que el cálculo del determinante de la matriz de Sylvester con algoritmos estándar requiere operaciones aritméticas. ${\displaystyle O(de)}$ ${\displaystyle O((d+e)^{3})}$

Propiedades genéricas

En esta sección, consideramos dos polinomios.

$${\displaystyle A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}}$$

$${\displaystyle B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}}$$

d + e + 2 son indeterminados

$${\displaystyle R=\mathbb {Z} [a_{0},\ldots ,a_{d},b_{0},\ldots ,b_{e}]}$$

resultante genéricade ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$

• ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$es un polinomio absolutamente irreducible .
• Si el ideal de es generado por A y B , entonces el ideal principal es generado por . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle I\cap R}$ ${\displaystyle \operatorname {res} (A,B)}$

Homogeneidad

La resultante genérica para los grados d y e es homogénea en varios sentidos. Más precisamente:

• Es homogénea de grado e en ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{d}.}$
• Es homogéneo de grado d en ${\displaystyle b_{0},\ldots ,b_{e}.}$
• Es homogénea de grado d + e en todas las variables y ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{j}.}$
• Si y se les da el peso i (es decir, el peso de cada coeficiente es su grado como polinomio simétrico elemental ), entonces es casi homogéneo del peso total de . ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$
• Si P y Q son polinomios multivariados homogéneos de grados d y e respectivos , entonces su resultante en grados d y e con respecto a un indeterminado x , denotado en § Notación, es homogéneo de grado de en los otros indeterminados. ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}^{d,e}(P,Q)}$

Propiedad de eliminación

Sea el ideal generado por dos polinomios A y B en un anillo polinomial donde es a su vez un anillo polinómico sobre un campo. Si al menos uno de A y B es mónico en x , entonces: ${\displaystyle I=\langle A,B\rangle }$ ${\displaystyle R[x],}$ ${\displaystyle R=k[y_{1},\ldots ,y_{n}]}$

• ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)\in I\cap R}$
• Los ideales y definen el mismo conjunto algebraico . Es decir, una n tupla de elementos de un campo algebraicamente cerrado es un cero común de los elementos de si y sólo es un cero de ${\displaystyle I\cap R}$ ${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$ ${\displaystyle I\cap R}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• El ideal tiene el mismo radical que el ideal principal. Es decir, cada elemento de tiene una potencia que es múltiplo de ${\displaystyle I\cap R}$ ${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B).}$ ${\displaystyle I\cap R}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B).}$
• Todos los factores irreductibles de dividen cada elemento de ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$ ${\displaystyle I\cap R.}$

La primera afirmación es una propiedad básica de la resultante. Las otras afirmaciones son corolarios inmediatos de la segunda, que puede demostrarse como sigue.

Como al menos uno de A y B es mónico, una n tupla es un cero de si y sólo si existe un cero común de A y B. Tal cero común es también un cero de todos los elementos de A la inversa, si es un cero común de los elementos de él , es un cero de la resultante, y existe un cero común de A y B. Entonces y tienen exactamente los mismos ceros. ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(A,B)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$ ${\displaystyle I\cap R.}$ ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}$ ${\displaystyle I\cap R,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\beta _{1},\ldots ,\beta _{n},\alpha )}$ ${\displaystyle I\cap R}$ ${\displaystyle R\operatorname {res} _{x}(A,B)}$

Cálculo

En teoría, la resultante podría calcularse utilizando la fórmula que la expresa como producto de diferencias de raíces. Sin embargo, como es posible que las raíces generalmente no se calculen exactamente, dicho algoritmo sería ineficiente y numéricamente inestable . Como la resultante es una función simétrica de las raíces de cada polinomio, también podría calcularse utilizando el teorema fundamental de los polinomios simétricos , pero esto sería muy ineficiente.

Como la resultante es el determinante de la matriz de Sylvester (y de la matriz de Bézout ), se puede calcular utilizando cualquier algoritmo para calcular determinantes. Esto necesita operaciones aritméticas. Como se conocen algoritmos de mayor complejidad (ver más abajo), este método no se utiliza en la práctica. ${\displaystyle O(n^{3})}$

De § Invarianza bajo cambio de polinomios se deduce que el cálculo de una resultante está fuertemente relacionado con el algoritmo euclidiano para polinomios . Esto muestra que el cálculo de la resultante de dos polinomios de grados d y e se puede realizar en operaciones aritméticas en el campo de los coeficientes. ${\displaystyle O(de)}$

Sin embargo, cuando los coeficientes son números enteros, números racionales o polinomios, estas operaciones aritméticas implican una serie de cálculos MCD de coeficientes que son del mismo orden y hacen que el algoritmo sea ineficiente. Las secuencias de pseudoresto subresultantes se introdujeron para resolver este problema y evitar cualquier fracción y cualquier cálculo de coeficientes MCD. Se obtiene un algoritmo más eficiente utilizando el buen comportamiento de la resultante bajo un homomorfismo de anillo en los coeficientes: para calcular una resultante de dos polinomios con coeficientes enteros, se calcula sus resultantes en un número suficiente de números primos y luego se reconstruye el resultado con el método chino. teorema del resto .

El uso de la multiplicación rápida de números enteros y polinomios permite algoritmos para resultantes y máximos divisores comunes que tienen una mejor complejidad temporal , que es del orden de la complejidad de la multiplicación, multiplicada por el logaritmo del tamaño de la entrada ( donde s es un límite superior del número de dígitos de los polinomios de entrada). ${\displaystyle \log(s(d+e)),}$

Aplicación a sistemas polinomiales.

Las resultantes se introdujeron para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas y proporcionan la prueba más antigua de que existen algoritmos para resolver dichos sistemas. Están destinados principalmente a sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, pero también permiten resolver sistemas generales.

Caso de dos ecuaciones en dos incógnitas.

Considere el sistema de dos ecuaciones polinómicas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}P(x,y)&=0\\Q(x,y)&=0,\end{aligned}}}$$

PQgrados totales respectivos dexgenéricamentedexRcampo algebraicamente cerradoPQ ${\displaystyle R=\operatorname {res} _{y}^{d,e}(P,Q)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle P(\alpha ,\beta )=Q(\alpha ,\beta )=0}$ ${\displaystyle \deg(P(\alpha ,y))<d}$ ${\displaystyle \deg(Q(\alpha ,y))<e}$ ${\displaystyle x=\alpha }$

Por lo tanto, las soluciones del sistema se obtienen calculando las raíces de R , y para cada raíz calculando la(s) raíz(es) común(es) de y ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle P(\alpha ,y),}$ ${\displaystyle Q(\alpha ,y),}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q).}$

El teorema de Bézout resulta del valor de , el producto de los grados de P y Q . De hecho, después de un cambio lineal de variables , se puede suponer que, para cada raíz x de la resultante, hay exactamente un valor de y tal que ( x , y ) es un cero común de P y Q. Esto muestra que el número de ceros comunes es como máximo el grado de la resultante, es decir, como máximo el producto de los grados de P y Q. Con algunos tecnicismos, esta prueba puede ampliarse para mostrar que, contando multiplicidades y ceros en el infinito, el número de ceros es exactamente el producto de los grados. ${\displaystyle \deg \left(\operatorname {res} _{y}(P,Q)\right)\leq de}$

Caso general

A primera vista, parece que las resultantes pueden aplicarse a un sistema polinómico general de ecuaciones.

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\\&\;\;\vdots \\P_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0\end{aligned}}}$$

${\displaystyle (P_{i},P_{j})}$ ${\displaystyle x_{n}}$

Un método, introducido a finales del siglo XIX, funciona de la siguiente manera: introduce k − 1 nuevos indeterminados y calcula ${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$

$${\displaystyle \operatorname {res} _{x_{n}}(P_{1},U_{2}P_{2}+\cdots +U_{k}P_{k}).}$$

en el infinito ${\displaystyle U_{2},\ldots ,U_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1},}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$ ${\displaystyle P_{i}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1},x_{n})}$

Para obtener un algoritmo correcto se deben agregar dos complementos al método. En primer lugar, en cada paso, puede ser necesario un cambio lineal de variable para que los grados de los polinomios en la última variable sean iguales a su grado total. En segundo lugar, si en cualquier paso la resultante es cero, significa que los polinomios tienen un factor común y que las soluciones se dividen en dos componentes: uno donde el factor común es cero y el otro que se obtiene factorizando este factor común. factor antes de continuar.

Este algoritmo es muy complicado y tiene una enorme complejidad temporal . Por tanto, su interés es principalmente histórico.

Otras aplicaciones

Teoría de los números

El discriminante de un polinomio, que es una herramienta fundamental en la teoría de números , es , donde es el coeficiente principal de y su grado. ${\displaystyle a_{0}^{-1}(-1)^{n(n-1)/2}\operatorname {res} _{x}(f(x),f'(x))}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle n}$

Si y son números algebraicos tales que , entonces es raíz de la resultante y es raíz de , donde es el grado de . Combinado con el hecho de que es raíz de , esto muestra que el conjunto de números algebraicos es un cuerpo . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle P(\alpha )=Q(\beta )=0}$ ${\displaystyle \gamma =\alpha +\beta }$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),Q(z-x)),}$ ${\displaystyle \tau =\alpha \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),x^{n}Q(z/x))}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q(y)}$ ${\displaystyle 1/\beta }$ ${\displaystyle y^{n}Q(1/y)=0}$

Sea una extensión de campo algebraico generada por un elemento que tiene como polinomio mínimo . Cada elemento de puede escribirse como donde es un polinomio. Entonces es una raíz de y esta resultante es una potencia del polinomio mínimo de ${\displaystyle K(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \beta \in K(\alpha )}$ ${\displaystyle \beta =Q(\alpha ),}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P(x),z-Q(x)),}$ ${\displaystyle \beta .}$

geometría algebraica

Dadas dos curvas algebraicas planas definidas como los ceros de los polinomios P ​​( x , y ) y Q ( x , y ) , la resultante permite calcular su intersección. Más precisamente, las raíces de son las coordenadas x de los puntos de intersección y de las asíntotas verticales comunes, y las raíces de son las coordenadas y de los puntos de intersección y de las asíntotas horizontales comunes. ${\displaystyle \operatorname {res} _{y}(P,Q)}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}(P,Q)}$

Una curva plana racional puede definirse mediante una ecuación paramétrica.

$${\displaystyle x={\frac {P(t)}{R(t)}},\qquad y={\frac {Q(t)}{R(t)}},}$$

PQRecuación implícita

$${\displaystyle \operatorname {res} _{t}(xR-P,yR-Q).}$$

gradoPQR

Integración simbólica

En la integración simbólica , para calcular la antiderivada de una fracción racional , se utiliza la descomposición en fracciones parciales para descomponer la integral en una "parte racional", que es una suma de fracciones racionales cuyas antiprimitivas son fracciones racionales, y una "parte logarítmica" que es una suma de fracciones racionales de la forma

$${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}},}$$

Qpolinomio sin cuadradosPQ.logaritmosQ

$${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{Q(\alpha )=0}{\frac {P(\alpha )}{Q'(\alpha )}}\log(x-\alpha ),}$$

Q.

El número de números algebraicos involucrados en esta expresión es generalmente igual al grado de Q , pero ocurre con frecuencia que se puede calcular una expresión con menos números algebraicos. El método Lazard –Rioboo–Trager produce una expresión donde el número de números algebraicos es mínimo, sin ningún cálculo con números algebraicos.

Dejar

$${\displaystyle S_{1}(r)S_{2}(r)^{2}\cdots S_{k}(r)^{k}=\operatorname {res} _{r}(rQ'(x)-P(x),Q(x))}$$

factorización libre de cuadrados

$${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx=\sum _{i=1}^{k}\sum _{S_{i}(\alpha )=0}\alpha \log(T_{i}(\alpha ,x)),}$$

suma vacíaixsubresultanteisecuencia del pseudoresto subresultante ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}=1}$ ${\displaystyle T_{i}(r,x)}$ ${\displaystyle T_{i}(r,x)}$ ${\displaystyle rQ'(x)-P(x)}$ ${\displaystyle Q(x).}$

Álgebra informática

Todas las aplicaciones anteriores, y muchas otras, muestran que la resultante es una herramienta fundamental en álgebra informática . De hecho, la mayoría de los sistemas de álgebra informática incluyen una implementación eficiente del cálculo de resultantes.

Resultante homogénea

La resultante también se define para dos polinomios homogéneos en dos indeterminados. Dados dos polinomios homogéneos P ( x , y ) y Q ( x , y ) de grados totales respectivos p y q , su resultante homogénea es el determinante de la matriz sobre la base monomial del mapa lineal

$${\displaystyle (A,B)\mapsto AP+BQ,}$$

Aq − 1Bp − 1PQP ( x , 1)Q ( x , 1)pqx

$${\displaystyle \operatorname {Res} (P(x,y),Q(x,y))=\operatorname {res} _{p,q}(P(x,1),Q(x,1)).}$$

La resultante homogénea tiene esencialmente las mismas propiedades que la resultante habitual, con esencialmente dos diferencias: en lugar de raíces polinomiales, se consideran ceros en la línea proyectiva , y el grado de un polinomio puede no cambiar bajo un homomorfismo de anillo . Eso es:

• La resultante de dos polinomios homogéneos sobre un dominio integral es cero si y sólo si tienen un cero común distinto de cero sobre un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes.
• Si P y Q son dos polinomios homogéneos bivariados con coeficientes en un anillo conmutativo R y un homomorfismo de anillo de R en otro anillo conmutativo S , entonces extendiéndose a polinomios sobre R , unos tiene ${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$ ${\displaystyle \varphi }$
  $${\displaystyle \operatorname {Res} (\varphi (P),\varphi (Q))=\varphi (\operatorname {Res} (P,Q)).}$$
• La propiedad de que una resultante homogénea sea cero es invariante ante cualquier cambio proyectivo de variables.

Cualquier propiedad de la resultante habitual puede extenderse de manera similar a la resultante homogénea, y la propiedad resultante es muy similar o más simple que la propiedad correspondiente de la resultante habitual.

Resultante de Macaulay

La resultante de Macaulay , llamada así en honor a Francis Sowerby Macaulay , también llamada resultante multivariada , o resultante multipolinomial , ^[3] es una generalización de la resultante homogénea a n polinomios homogéneos en n indeterminados . La resultante de Macaulay es un polinomio en los coeficientes de estos n polinomios homogéneos que desaparece si y sólo si los polinomios tienen una solución común distinta de cero en un campo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes o, de manera equivalente, si las n hipersuperficies definidas por los polinomios tienen un cero común en el espacio proyectivo n –1 dimensional. La resultante multivariada es, con bases de Gröbner , una de las principales herramientas de la teoría de la eliminación efectiva (teoría de la eliminación en ordenadores).

Al igual que la resultante homogénea, la de Macaulay puede definirse con determinantes y, por tanto, se comporta bien bajo homomorfismos de anillo . Sin embargo, no puede definirse por un único determinante. De ello se deduce que es más fácil definirlo primero en polinomios genéricos .

Resultante de polinomios homogéneos genéricos

Un polinomio homogéneo de grado d en n variables puede tener hasta

$${\displaystyle {\binom {n+d-1}{n-1}}={\frac {(n+d-1)!}{(n-1)!\,d!}}}$$

genérico

Sean n polinomios genéricos homogéneos en n indeterminados, de respectivos grados . En conjunto implican ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ ${\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}.}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\binom {n+d_{i}-1}{n-1}}}$$

CC. ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ ${\displaystyle C[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$

El grado de Macaulay es el número entero fundamental en la teoría de Macaulay. Para definir la resultante, se considera la matriz de Macaulay , que es la matriz sobre la base monomial del mapa lineal C. ${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1,}$

$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{n})\mapsto Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n},}$$

codominioCD. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle D-d_{i},}$

Si n = 2 , la matriz de Macaulay es la matriz de Sylvester y es una matriz cuadrada , pero esto ya no es cierto para n > 2 . Así, en lugar de considerar el determinante, se consideran todos los menores máximos , es decir, los determinantes de las submatrices cuadradas que tienen tantas filas como la matriz de Macaulay. Macaulay demostró que el ideal C generado por estos menores principales es un ideal principal , que es generado por el máximo común divisor de estos menores. Como se trabaja con polinomios con coeficientes enteros, este máximo común divisor se define hasta su signo. La resultante genérica de Macaulay es el máximo común divisor que se convierte en 1 , cuando, para cada i , se sustituye cero por todos los coeficientes de excepto el coeficiente de por el que se sustituye uno. ${\displaystyle P_{i},}$ ${\displaystyle x_{i}^{d_{i}},}$

Propiedades de la resultante genérica de Macaulay

• La resultante genérica de Macaulay es un polinomio irreducible .
• Es homogéneo de grado en los coeficientes de dónde está el límite de Bézout . ${\displaystyle B/d_{i}}$ ${\displaystyle P_{i},}$ ${\displaystyle B=d_{1}\cdots d_{n}}$
• El producto con la resultante de cada monomio de grado D en pertenece al ideal de generado por ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle C[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}.}$

Resultante de polinomios sobre un campo

En adelante, consideramos que los polinomios homogéneos de grados tienen sus coeficientes en un campo k , es decir, que pertenecen a Su resultante se define como el elemento de k obtenido sustituyendo en la resultante genérica los coeficientes indeterminados por los coeficientes reales de el ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}].}$ ${\displaystyle P_{i}.}$

La propiedad principal de la resultante es que es cero si y sólo si tiene un cero común distinto de cero en una extensión algebraicamente cerrada de k . ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$

La parte "sólo si" de este teorema resulta de la última propiedad del párrafo anterior y es una versión efectiva de Nullstellensatz proyectivo : si la resultante es distinta de cero, entonces

$${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ^{D}\subseteq \langle P_{1},\ldots ,P_{n}\rangle ,}$$

(0,..., 0) ${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1}$ ${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle }$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}.}$

Computabilidad

Como el cálculo de una resultante puede reducirse a calcular determinantes y máximos divisores comunes polinomiales , existen algoritmos para calcular resultantes en un número finito de pasos.

Sin embargo, la resultante genérica es un polinomio de muy alto grado (exponencial en n ) que depende de una gran cantidad de indeterminados. De ello se deduce que, excepto para n muy pequeños y grados muy pequeños de polinomios de entrada, la resultante genérica es, en la práctica, imposible de calcular, incluso con computadoras modernas. Además, el número de monomios de la resultante genérica es tan alto que, si fuera computable, el resultado no podría almacenarse en los dispositivos de memoria disponibles, incluso para valores bastante pequeños de n y de los grados de los polinomios de entrada.

Por lo tanto, calcular la resultante sólo tiene sentido para polinomios cuyos coeficientes pertenecen a un campo o son polinomios en unos pocos indeterminados sobre un campo.

En el caso de polinomios de entrada con coeficientes en un campo, el valor exacto de la resultante rara vez es importante, sólo importa su igualdad (o no) a cero. Como la resultante es cero si y sólo si el rango de la matriz de Macaulay es menor que el número de filas, esta igualdad a cero se puede probar aplicando la eliminación gaussiana a la matriz de Macaulay. Esto proporciona una complejidad computacional donde d es el grado máximo de polinomios de entrada. ${\displaystyle d^{O(n)},}$

Otro caso en el que el cálculo de la resultante puede proporcionar información útil es cuando los coeficientes de los polinomios de entrada son polinomios en un pequeño número de indeterminados, a menudo llamados parámetros. En este caso, el resultado, si no es cero, define una hipersuperficie en el espacio de parámetros. Un punto pertenece a esta hipersuperficie, si y sólo si existen valores de los cuales, junto con las coordenadas del punto, son un cero de los polinomios de entrada. En otras palabras, la resultante es el resultado de la " eliminación " de los polinomios de entrada. ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

U -resultante

La resultante de Macaulay proporciona un método, llamado " resultante U " por Macaulay, para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas .

Dados n − 1 polinomios homogéneos de grados en n indeterminados sobre un campo k , su U -resultante es la resultante de los n polinomios donde ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n-1},}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1},P_{n},}$

$${\displaystyle P_{n}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}}$$

forma linealU ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

La resultante U es un polinomio homogéneo en Es cero si y sólo si los ceros comunes de forman un conjunto algebraico proyectivo de dimensión positiva (es decir, hay infinitos ceros proyectivos sobre una extensión algebraicamente cerrada de k ). Si la U -resultante no es cero, su grado es el límite de Bézout. La U -resultante factoriza sobre una extensión algebraicamente cerrada de k en un producto de formas lineales. Si es un factor lineal, entonces son las coordenadas homogéneas de un cero común. Además, cada cero común se puede obtener a partir de uno de estos factores lineales, y la multiplicidad como factor es igual a la multiplicidad de intersección de en este cero. En otras palabras, la resultante U proporciona una versión completamente explícita del teorema de Bézout . ${\displaystyle k[u_{1},\ldots ,u_{n}].}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}}$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n-1}.}$ ${\displaystyle \alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n-1}.}$ ${\displaystyle P_{i}}$

Extensión a más polinomios y cálculo.

La resultante U definida por Macaulay requiere que el número de polinomios homogéneos en el sistema de ecuaciones sea , donde es el número de indeterminados. En 1981, Daniel Lazard amplió la noción al caso en el que el número de polinomios puede diferir de , y el cálculo resultante se puede realizar mediante un procedimiento de eliminación gaussiano especializado seguido de un cálculo del determinante simbólico . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$

Sean polinomios homogéneos en grados sobre un campo k . Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que, estableciendo para i > k , el límite de Macaulay es ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k},}$ ${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \cdots \geq d_{k}.}$ ${\displaystyle d_{i}=1}$ ${\displaystyle D=d_{1}+\cdots +d_{n}-n+1.}$

Sean nuevos indeterminados y definamos. En este caso, la matriz de Macaulay se define como la matriz, sobre la base de los monomios del mapa lineal. ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ ${\displaystyle P_{k+1}=u_{1}x_{1}+\cdots +u_{n}x_{n}.}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$

$${\displaystyle (Q_{1},\ldots ,Q_{k+1})\mapsto P_{1}Q_{1}+\cdots +P_{k+1}Q_{k+1},}$$

i ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle D-d_{i}}$

Reduciendo la matriz de Macaulay mediante una variante de eliminación gaussiana , se obtiene una matriz cuadrada de formas lineales en El determinante de esta matriz es la U -resultante. Al igual que con la resultante U original , es cero si y sólo si tiene infinitos ceros proyectivos comunes (es decir, si el conjunto algebraico proyectivo definido por tiene infinitos puntos sobre una clausura algebraica de k ). Nuevamente, como ocurre con la resultante U original , cuando esta resultante U no es cero, se factoriza en factores lineales sobre cualquier extensión algebraicamente cerrada de k . Los coeficientes de estos factores lineales son las coordenadas homogéneas de los ceros comunes de y la multiplicidad de un cero común es igual a la multiplicidad del factor lineal correspondiente. ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}.}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$ ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k},}$

El número de filas de la matriz de Macaulay es menor que donde e ~ 2,7182 es la constante matemática habitual y d es la media aritmética de los grados de la Se deduce que todas las soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas con un número finito de ceros proyectivos se puede determinar en el tiempo Aunque este límite es grande, es casi óptimo en el siguiente sentido: si todos los grados de entrada son iguales, entonces la complejidad temporal del procedimiento es polinómica en el número esperado de soluciones ( teorema de Bézout ). Este cálculo puede ser prácticamente viable cuando n , k y d no son grandes. ${\displaystyle (ed)^{n},}$ ${\displaystyle P_{i}.}$ ${\displaystyle d^{O(n)}.}$

Ver también

• Teoría de la eliminación
• Subresultante
• Álgebra no lineal

Referencias

1. Salmon, George (1885) [1859], Lecciones de introducción al álgebra superior moderna (4ª ed.), Dublín, Hodges, Figgis y Co., lección VIII, p. 66, ISBN 978-0-8284-0150-0
2. Macaulay, FS (1902), "Algunas fórmulas de eliminación", Proc. Matemáticas de Londres. Soc. , 35 : 3–27, doi : 10.1112/plms/s1-35.1.3
3. Cox, David; Pequeño John; O'Shea, Donal (2005), Uso de la geometría algebraica , Springer Science+Business Media , ISBN 978-0387207339, Capítulo 3. Resultantes

• Gelfand, IM; Kapranov, MM; Zelevinsky, AV (1994), Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales , Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3660-9
• Macaulay, FS (1916), La teoría algebraica de los sistemas modulares, Biblioteca Cornell de monografías matemáticas históricas, Cambridge University Press, ISBN 978-1275570412

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Resultante". MundoMatemático .